Суперформула (уравнение)
Поделись знанием:
3 мерная суперформула: a = b = 1; m, n1, n2 И n3 , показаны на изображениях.
– Ежели бы Его не было, – сказал он тихо, – мы бы с вами не говорили о Нем, государь мой. О чем, о ком мы говорили? Кого ты отрицал? – вдруг сказал он с восторженной строгостью и властью в голосе. – Кто Его выдумал, ежели Его нет? Почему явилось в тебе предположение, что есть такое непонятное существо? Почему ты и весь мир предположили существование такого непостижимого существа, существа всемогущего, вечного и бесконечного во всех своих свойствах?… – Он остановился и долго молчал.
Пьер не мог и не хотел прерывать этого молчания.
– Он есть, но понять Его трудно, – заговорил опять масон, глядя не на лицо Пьера, а перед собою, своими старческими руками, которые от внутреннего волнения не могли оставаться спокойными, перебирая листы книги. – Ежели бы это был человек, в существовании которого ты бы сомневался, я бы привел к тебе этого человека, взял бы его за руку и показал тебе. Но как я, ничтожный смертный, покажу всё всемогущество, всю вечность, всю благость Его тому, кто слеп, или тому, кто закрывает глаза, чтобы не видать, не понимать Его, и не увидать, и не понять всю свою мерзость и порочность? – Он помолчал. – Кто ты? Что ты? Ты мечтаешь о себе, что ты мудрец, потому что ты мог произнести эти кощунственные слова, – сказал он с мрачной и презрительной усмешкой, – а ты глупее и безумнее малого ребенка, который бы, играя частями искусно сделанных часов, осмелился бы говорить, что, потому что он не понимает назначения этих часов, он и не верит в мастера, который их сделал. Познать Его трудно… Мы веками, от праотца Адама и до наших дней, работаем для этого познания и на бесконечность далеки от достижения нашей цели; но в непонимании Его мы видим только нашу слабость и Его величие… – Пьер, с замиранием сердца, блестящими глазами глядя в лицо масона, слушал его, не перебивал, не спрашивал его, а всей душой верил тому, что говорил ему этот чужой человек. Верил ли он тем разумным доводам, которые были в речи масона, или верил, как верят дети интонациям, убежденности и сердечности, которые были в речи масона, дрожанию голоса, которое иногда почти прерывало масона, или этим блестящим, старческим глазам, состарившимся на том же убеждении, или тому спокойствию, твердости и знанию своего назначения, которые светились из всего существа масона, и которые особенно сильно поражали его в сравнении с своей опущенностью и безнадежностью; – но он всей душой желал верить, и верил, и испытывал радостное чувство успокоения, обновления и возвращения к жизни.
Суперформула является обобщением суперэллипса и впервые была выведена Йоханом Гиелисом в 2003 году.[1] Гиелис предположил использовать формулу для описания сложных форм и кривых, которые встречаются в природе.
В полярной системе координат, с <math>r</math> радиусом, а <math>\varphi</math> угол, суперформула выглядит так:
- <math>r\left(\varphi\right) =
\left(
\left|
\frac{\cos\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{a}
\right| ^{n_2}
+
\left|
\frac{\sin\left(\frac{m\varphi}{4}\right)}{b}
\right| ^{n_3}
\right) ^{-\frac{1}{n_{1}}}. </math> Выбирая различные значения параметров <math>a, b, m, n_1, n_2, n_3</math>, получаются различные формы.
Формула получена путём обобщения суперэллипса, который, в свою очередь, вывел французский математик Габриель Ламе и был назван и популяризирован датским математиком Питом Хейном.
Содержание
Обобщение
Суперформулу можно обобщить, заменив параметр m, двумя новыми параметрами y и z:[2]
- <math>r\left(\varphi\right) =
\left(
\left|
\frac{\cos\left(\frac{y\varphi}{4}\right)}{a}
\right| ^{n_2}
+
\left|
\frac{\sin\left(\frac{z\varphi}{4}\right)}{b}
\right| ^{n_3}
\right) ^{-\frac{1}{n_{1}}} </math> Это позволяет создавать асимметричные и вложенные структуры. В следующих примерах <math>a, b, n_2</math> и <math>{n_3}</math> равны 1:
Построения
function sf2d(n,a)
u=[0:.001:2*pi];
raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);
r=abs(raux).^(-1/n(2));
x=r.*cos(u);
y=r.*sin(u);
plot(x,y);
end- Sf3d 3257.svg
- Sf3d 3.5.5.5.svg
- Sf3d 3301515.svg
- Sf3d 7284.svg
- Sf3d 5111.svg
- Sf3d 4.5.54.svg
- Sf3d 8.5.58.svg
- Sf3d 4121515.svg
function sf3d(n, a)
u=[-pi:.05:pi];
v=[-pi/2:.05:pi/2];
nu=length(u);
nv=length(v);
for i=1:nu
for j=1:nv
raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4);
r1=abs(raux1).^(-1/n(2));
raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4);
r2=abs(raux2).^(-1/n(2));
x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j));
y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j));
z(i,j)=r2*sin(v(j));
endfor;
endfor;
mesh(x,y,z);
endfunction;References
- ↑ Gielis, Johan (2003), "[www.amjbot.org/cgi/content/abstract/90/3/333 A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes]", American Journal of Botany Т. 90 (3): 333–338, ISSN [worldcat.org/issn/0002-9122 0002-9122], doi:[dx.doi.org/10.3732%2Fajb.90.3.333 10.3732/ajb.90.3.333], <www.amjbot.org/cgi/content/abstract/90/3/333>
- ↑ Stöhr, Uwe (2004), [fkurth.de/uwest/usti/Superformel/SuperformulaU.pdf SuperformulaU], <fkurth.de/uwest/usti/Superformel/SuperformulaU.pdf>
Внешние ссылки
- Сайт о суперформуле и ее создателе Джоне Гиелисе genicap.com/
Напишите отзыв о статье "Суперформула (уравнение)"
Отрывок, характеризующий Суперформула (уравнение)
Он помолчал и вздохнул, видимо стараясь успокоиться.– Ежели бы Его не было, – сказал он тихо, – мы бы с вами не говорили о Нем, государь мой. О чем, о ком мы говорили? Кого ты отрицал? – вдруг сказал он с восторженной строгостью и властью в голосе. – Кто Его выдумал, ежели Его нет? Почему явилось в тебе предположение, что есть такое непонятное существо? Почему ты и весь мир предположили существование такого непостижимого существа, существа всемогущего, вечного и бесконечного во всех своих свойствах?… – Он остановился и долго молчал.
Пьер не мог и не хотел прерывать этого молчания.
– Он есть, но понять Его трудно, – заговорил опять масон, глядя не на лицо Пьера, а перед собою, своими старческими руками, которые от внутреннего волнения не могли оставаться спокойными, перебирая листы книги. – Ежели бы это был человек, в существовании которого ты бы сомневался, я бы привел к тебе этого человека, взял бы его за руку и показал тебе. Но как я, ничтожный смертный, покажу всё всемогущество, всю вечность, всю благость Его тому, кто слеп, или тому, кто закрывает глаза, чтобы не видать, не понимать Его, и не увидать, и не понять всю свою мерзость и порочность? – Он помолчал. – Кто ты? Что ты? Ты мечтаешь о себе, что ты мудрец, потому что ты мог произнести эти кощунственные слова, – сказал он с мрачной и презрительной усмешкой, – а ты глупее и безумнее малого ребенка, который бы, играя частями искусно сделанных часов, осмелился бы говорить, что, потому что он не понимает назначения этих часов, он и не верит в мастера, который их сделал. Познать Его трудно… Мы веками, от праотца Адама и до наших дней, работаем для этого познания и на бесконечность далеки от достижения нашей цели; но в непонимании Его мы видим только нашу слабость и Его величие… – Пьер, с замиранием сердца, блестящими глазами глядя в лицо масона, слушал его, не перебивал, не спрашивал его, а всей душой верил тому, что говорил ему этот чужой человек. Верил ли он тем разумным доводам, которые были в речи масона, или верил, как верят дети интонациям, убежденности и сердечности, которые были в речи масона, дрожанию голоса, которое иногда почти прерывало масона, или этим блестящим, старческим глазам, состарившимся на том же убеждении, или тому спокойствию, твердости и знанию своего назначения, которые светились из всего существа масона, и которые особенно сильно поражали его в сравнении с своей опущенностью и безнадежностью; – но он всей душой желал верить, и верил, и испытывал радостное чувство успокоения, обновления и возвращения к жизни.
