Суперэллипс

Суперэллипс (кривая Ламе) — геометрическая кривая, задаваемая в декартовых координатах уравнением

<math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math>

где n, a и b — положительные числа.

Формула задаёт замкнутую кривую, ограниченную прямоугольником −a ≤ x ≤ +a и −b ≤ y ≤ +b. Параметры a и b называются полуосями или полудиаметрами кривой.

Когда n заключено между 0 и 1, суперэллипс выглядит как четырёхконечная звезда с вогнутыми сторонами. В частности, при n = 1/2 стороны звезды являются параболами.

Когда n = 1, кривая представляет собой ромб с вершинами (±a, 0) и (0, ±b). При n в промежутке от 1 до 2 кривая выглядит как ромб с выпуклыми сторонами.

При n = 2 кривая превращается в эллипс (в частности, при a = b — в окружность). При n > 2, кривая выглядит как прямоугольник со скруглёнными углами. В точках (±a, 0) and (0, ±b) кривизна кривой равна нулю.

При n < 2 кривая иногда называется «гипоэллипсом», а при n > 2 — «гиперэллипсом».

Экстремальные точки суперэллипса равны (±a, 0) и (0, ±b), а координаты «углов» (то есть точек пересечения с диагоналями описанного прямоугольника) — (±sa, ±sb), где <math>s=2^{-1/n}</math>).

Алгебраические свойства

Когда n представляет собой ненулевое рациональное число p/q, суперэллипс представляет собой алгебраическую кривую. Для положительных n порядок равен pq, для отрицательных — 2pq. В частности, когда a = b = 1 и n чётное целое, суперэллипс представляет собой кривую Ферма степени n. В этом случае она не является сингулярной, хотя в общем случае сингулярна.

Например, если x^4/3 + y^4/3 = 1, то кривая является алгебраической кривой степени 12 третьего рода, задаваемая неявным уравнением

<math>(x^4+y^4)^3-3(x^4-3x^2y^2+y^4)(x^4+3x^2y^2+y^4) + </math>

<math>+ 3(x^4+y^4)-1=0 ,</math>

или параметрическим уравнением

<math>\left.

\begin{align}

x\left(\theta\right) &= \plusmn a\cos^{\frac{2}{n}} \theta \\
y\left(\theta\right) &= \plusmn b\sin^{\frac{2}{n}} \theta

\end{align} \right\} \qquad 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} </math>

или

<math>

\begin{align}

x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta).

\end{align} </math>

Площадь суперэллипса выражается формулой

<math> S = 4 a b \frac{\left(\Gamma \left(1+\tfrac{1}{n}\right)\right)^2}{\Gamma \left(1+\tfrac{2}{n}\right)} . </math>

Обобщения

Суперэллипс можно обобщить в виде:

<math>\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0.</math>

или

<math>

\begin{align}

x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot b \sgn(\sin \theta).

\end{align} </math>

(здесь <math>\theta</math> — параметр, который не следует интерпретировать как угол).

История

Суперэллипс в виде уравнения в декартовых координатах как обобщение обычного эллипса впервые предложил Габриель Ламе (1795—1870).

Иногда «изобретение» суперэллипса ошибочно приписывают датскому поэту и учёному Питу Хейну (1905—1996). В 1959 году архитектурное управление Стокгольма объявила конкурс на проектирование круговой развязки вокруг площади Сергельсторг. Пит Хейн стал победителем конкурса, предложив транспортное кольцо в виде суперэллипса с n = 2,5 и a/b = 6/5. Реконструкция площади была завершена в 1967 году. Хейн использовал суперэллипс в других дизайнерских разработках — кроватях, тарелках, столах. Вращая суперэллипс вокруг длинной оси, он получил «суперяйцо», которое стало популярной игрушкой, поскольку в отличие от обычного яйца могло стоять на плоской поверхности.

В 1968 году, когда делегации на переговорах в Париже по вьетнамской войне не могли прийти к согласию о форме стола, был предложен стол в виде суперэллипса. Суперэллиптическую форму имеет стадион «Ацтека» в Мехико, главный стадион Олимпийских игр 1968 года.

Валдо Тоблер в 1973 году разработал картографическую проекцию, известную как гиперэллиптическая проекция Тоблера, в которой меридианы представляют собой суперэллипсы.

Шрифт Melior, созданный Германом Цапфом в 1952 году имеет суперэллиптические буквы «o». Считается, что Цапф выбрал форму буквы интуитивно, не имея понятия о математическом содержании этой формы, и только позже Пит Хейн отметил сходство элементов некоторых букв шрифта с суперэллипсами. 30 лет спустя Дональд Кнут встроил в семейство своих шрифтов Computer Modern возможность выбора между настоящими эллипсами и суперэллипсами (обе формы апроксимировались кубическими сплайнами).

На логотипе футбольной команды «Питсбург Стилерз» изображены три четырёхугольных звезды, которые представляют собой суперэллипсы с n = 0,5.

См. также

• Астроида — суперэллипс с n = 2/3 и a = b, гипоциклоида с четырьмя углами.
  • Дельтоида — трёхугольная гипоциклоида.
• Сквиркл — суперэллипс n = 4 и a = b, выглядящий как «четырёхугольное колесо».
  • Треугольник Рёло — «трёхугольное колесо».
• Суперформула — обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики — трёхмерные аналоги суперэллипсов.

Ссылки

• Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa, Rensselaer Polytechnic Institute  (Ph.D. dissertation using superellipsoids)
• Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", in Kirk, David, Graphics Gems III, Academic Press, сс. 137–159 ([www.graphicsgems.org/gemsiii/sqfinal.c code]: 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1 
• Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature, Antwerp: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9 
• Sokolov, D. D. (2001), [eom.springer.de/L/l057390.htm "Lamé curve"], Springer Encyclopaedia of Mathematics, <eom.springer.de/L/l057390.htm> 
• [www.procato.com/superellipse/ Superellipse Calculator & Template Generator]
• [mathworld.wolfram.com/Superellipse.html Superellipse (MathWorld)]
• [www.geniaal.be Johan Gielis'] and [users.skynet.be/bert.beirinckx Bert Beirinckx'] «[www.genicap.com Superformula]».