Сферы Берже
Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии.
Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.
Построение
Рассмотрим <math>S^3</math> как сферу в комплексном пространстве <math>\mathbb C^2</math>. На ней действует <math>S^1\subset \mathbb C</math> комплексными умножениями. Таким образом на <math>\R\times S^3</math> можно построить изометрическое действие <math>\R\times S^1</math> с помощью комплексных поворотов <math>S^3</math> и сдвигов по <math>\R</math>. В <math>\R\times S^1</math> есть однопараметрическое семейство подгрупп <math>\R_\alpha</math> изоморфных <math>\R</math>, с элементами типа <math>(t,e^{\alpha t})\in \R\times S^1</math>. Фактор <math>\R\times S^3</math> по действию <math>\R_\alpha</math> диффеоморфен <math>S^3</math>, но индуцированная риманова метрика <math>g_\alpha</math> на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие <math>(S^3, g_\alpha)</math> называется сферой Берже.
Свойства
- Из формулы О’Нэйла, секционая кривизна <math>g_\alpha</math> положительна.
- При <math>\alpha\to\infty</math> пространства <math>(S^3, g_\alpha)</math> коллапсируют к <math>S^2_{1/2}</math>, стандартной 2-сфере радиуса <math>1/2</math>.
- При <math>\alpha\to\infty</math>, тензор кривизны <math>(S^3, g_\alpha)</math> сходится к тензору кривизны пространства <math>\R\times S^2_{1/2}</math>
- Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на <math>S^3=Spin_4</math>
- Круговые сферы в комплексной проективной плоскости <math>\mathbb C P^2</math> с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже
- На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших <math>\alpha</math> являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).
Напишите отзыв о статье "Сферы Берже"
Отрывок, характеризующий Сферы Берже
– Это та же комната, как мне говорили, в которой жил император Александр. Странно, не правда ли, генерал? – сказал он, очевидно, не сомневаясь в том, что это обращение не могло не быть приятно его собеседнику, так как оно доказывало превосходство его, Наполеона, над Александром.Балашев ничего не мог отвечать на это и молча наклонил голову.
– Да, в этой комнате, четыре дня тому назад, совещались Винцингероде и Штейн, – с той же насмешливой, уверенной улыбкой продолжал Наполеон. – Чего я не могу понять, – сказал он, – это того, что император Александр приблизил к себе всех личных моих неприятелей. Я этого не… понимаю. Он не подумал о том, что я могу сделать то же? – с вопросом обратился он к Балашеву, и, очевидно, это воспоминание втолкнуло его опять в тот след утреннего гнева, который еще был свеж в нем.
– И пусть он знает, что я это сделаю, – сказал Наполеон, вставая и отталкивая рукой свою чашку. – Я выгоню из Германии всех его родных, Виртембергских, Баденских, Веймарских… да, я выгоню их. Пусть он готовит для них убежище в России!
Балашев наклонил голову, видом своим показывая, что он желал бы откланяться и слушает только потому, что он не может не слушать того, что ему говорят. Наполеон не замечал этого выражения; он обращался к Балашеву не как к послу своего врага, а как к человеку, который теперь вполне предан ему и должен радоваться унижению своего бывшего господина.
– И зачем император Александр принял начальство над войсками? К чему это? Война мое ремесло, а его дело царствовать, а не командовать войсками. Зачем он взял на себя такую ответственность?
Наполеон опять взял табакерку, молча прошелся несколько раз по комнате и вдруг неожиданно подошел к Балашеву и с легкой улыбкой так уверенно, быстро, просто, как будто он делал какое нибудь не только важное, но и приятное для Балашева дело, поднял руку к лицу сорокалетнего русского генерала и, взяв его за ухо, слегка дернул, улыбнувшись одними губами.
