Сфера Лоренца
Сфера Лоренца — метод вычисления локального поля в микроскопической теории диэлектриков. Позволяет найти диэлектрическую проницаемость материала, если известна дипольная поляризуемость частиц материала. Широкую известность получил после выхода в свет классического труда Хендрика Антона Лоренца «Теория электронов и её применение к явлениям света и теплового излучения».
Описание метода
Диэлектрик предполагается состоящим из большого числа независимо поляризующихся частиц-диполей. Каждая частица реагирует на действующее на неё локальное электрическое поле <math>\mathbf{E}^{\rm loc}</math>, которое складывается из заданного электрического поля <math>\mathbf{E}</math>, приложенного к образцу диэлектрика, и дополнительного поля (поля взаимодействия) <math>\mathbf{E}^{\rm int}</math>, обусловленного поляризацией частиц:
- <math>\mathbf{E}^{\rm loc} = \mathbf{E} + \mathbf{E}^{\rm int}.</math>
Для вычисления поля взаимодействия <math>\mathbf{E}^{\rm int}</math> Лоренц предложил следующий метод. Окружим частицу образца, для которой мы ищем локальное поле, воображаемой сферой некоторого радиуса (см. рис.). Радиус сферы должен быть достаточно велик, чтобы внутрь сферы попало значительное число частиц диэлектрика. С другой стороны, этот радиус должен быть достаточно мал, чтобы приложенное электрическое поле менялось незначительно в пределах выбранной сферы. Первое условие позволяет не рассматривать по отдельности частицы, находящиеся вне сферы, и заменить в этой области дискретное распределение дипольных моментов усредненным непрерывным распределением. Второе условие позволяет предположить, что частицы, попавшие внутрь сферы, поляризованы одинаково, то есть, что их электрические дипольные моменты равны.
Лоренц показал, что поля от отдельных частиц-диполей, попавших внутрь сферы, в сумме компенсируют друг друга (в центре сферы). В результате, поле взаимодействия определяется поляризацией образца вблизи границы сферы Лоренца. С учетом упомянутых выше условий, это поле может быть выражено (см. ниже) через вектор электрической поляризации <math>\mathbf{P}</math> (в системе единиц СИ):
- <math>\mathbf{E}^{\rm int} = \frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}.</math>
Таким образом, для локального поля в диэлектрике Лоренц получил выражение
- <math>\mathbf{E}^{\rm loc} = \mathbf{E} + \frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}.</math>
Расчёт поля взаимодействия
Найдем дополнительное поле, созданное поляризацией за пределами сферы Лоренца. При указанных выше условиях, такая задача эквивалентна нахождению электрического поля в центре сферической полости, вырезанной в образце однородно поляризованного диэлектрика.
Вырезание полости приводит к тому, что на границе полости появляются связанные электрические заряды. Поместим начало координат в центр полости. Тогда, в сферической системе координат поверхностная плотность связанных зарядов выразится как
- <math>\sigma(\vartheta) = -P\cos\vartheta,</math>
где <math>\ P</math> — модуль вектора поляризации <math>\mathbf{P}</math>, а <math>\ \vartheta</math> — угол между положительным направлением вектора <math>\mathbf{P}</math> и радиус-вектором в текущую точку на границе сферической полости. Поскольку <math>\ \sigma</math> не зависит от <math>\ \varphi</math>, вектор искомого электрического поля сонаправлен с <math>\mathbf{P}</math> и его модуль равен
- <math>E^{\rm int} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint\frac{\sigma\cos\vartheta}{r^2}\,dS,</math>
где <math>r</math> — радиус сферы, а интеграл берется по поверхности полости. Учитывая, что в сферической системе координат <math>dS = r^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi</math>, получаем
- <math>E^{\rm int} = \frac{P}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi}\cos^2\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta =
\frac{P}{3\varepsilon_0}.</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Сфера Лоренца"
Литература
- Лорентц Г. А. Теория электронов и её применение к явлениям света и теплового излучения. М.: ГТТИ, 1953.
Отрывок, характеризующий Сфера Лоренца
– Уж вы меня вызвольте, батюшка Федор Иваныч или ваше сиятельство, – говорил он. – Обезлошадничал вовсе, на ярманку ехать уж ссудите, что можете.И Анатоль и Долохов, когда бывали в деньгах, давали ему по тысяче и по две рублей.
Балага был русый, с красным лицом и в особенности красной, толстой шеей, приземистый, курносый мужик, лет двадцати семи, с блестящими маленькими глазами и маленькой бородкой. Он был одет в тонком синем кафтане на шелковой подкладке, надетом на полушубке.
Он перекрестился на передний угол и подошел к Долохову, протягивая черную, небольшую руку.
– Федору Ивановичу! – сказал он, кланяясь.
– Здорово, брат. – Ну вот и он.
– Здравствуй, ваше сиятельство, – сказал он входившему Анатолю и тоже протянул руку.
– Я тебе говорю, Балага, – сказал Анатоль, кладя ему руки на плечи, – любишь ты меня или нет? А? Теперь службу сослужи… На каких приехал? А?
– Как посол приказал, на ваших на зверьях, – сказал Балага.
– Ну, слышишь, Балага! Зарежь всю тройку, а чтобы в три часа приехать. А?
– Как зарежешь, на чем поедем? – сказал Балага, подмигивая.
– Ну, я тебе морду разобью, ты не шути! – вдруг, выкатив глаза, крикнул Анатоль.
– Что ж шутить, – посмеиваясь сказал ямщик. – Разве я для своих господ пожалею? Что мочи скакать будет лошадям, то и ехать будем.
– А! – сказал Анатоль. – Ну садись.
– Что ж, садись! – сказал Долохов.
– Постою, Федор Иванович.
– Садись, врешь, пей, – сказал Анатоль и налил ему большой стакан мадеры. Глаза ямщика засветились на вино. Отказываясь для приличия, он выпил и отерся шелковым красным платком, который лежал у него в шапке.
– Что ж, когда ехать то, ваше сиятельство?
– Да вот… (Анатоль посмотрел на часы) сейчас и ехать. Смотри же, Балага. А? Поспеешь?
– Да как выезд – счастлив ли будет, а то отчего же не поспеть? – сказал Балага. – Доставляли же в Тверь, в семь часов поспевали. Помнишь небось, ваше сиятельство.
– Ты знаешь ли, на Рожество из Твери я раз ехал, – сказал Анатоль с улыбкой воспоминания, обращаясь к Макарину, который во все глаза умиленно смотрел на Курагина. – Ты веришь ли, Макарка, что дух захватывало, как мы летели. Въехали в обоз, через два воза перескочили. А?
– Уж лошади ж были! – продолжал рассказ Балага. – Я тогда молодых пристяжных к каурому запрег, – обратился он к Долохову, – так веришь ли, Федор Иваныч, 60 верст звери летели; держать нельзя, руки закоченели, мороз был. Бросил вожжи, держи, мол, ваше сиятельство, сам, так в сани и повалился. Так ведь не то что погонять, до места держать нельзя. В три часа донесли черти. Издохла левая только.
Анатоль вышел из комнаты и через несколько минут вернулся в подпоясанной серебряным ремнем шубке и собольей шапке, молодцовато надетой на бекрень и очень шедшей к его красивому лицу. Поглядевшись в зеркало и в той самой позе, которую он взял перед зеркалом, став перед Долоховым, он взял стакан вина.
– Ну, Федя, прощай, спасибо за всё, прощай, – сказал Анатоль. – Ну, товарищи, друзья… он задумался… – молодости… моей, прощайте, – обратился он к Макарину и другим.
Несмотря на то, что все они ехали с ним, Анатоль видимо хотел сделать что то трогательное и торжественное из этого обращения к товарищам. Он говорил медленным, громким голосом и выставив грудь покачивал одной ногой. – Все возьмите стаканы; и ты, Балага. Ну, товарищи, друзья молодости моей, покутили мы, пожили, покутили. А? Теперь, когда свидимся? за границу уеду. Пожили, прощай, ребята. За здоровье! Ура!.. – сказал он, выпил свой стакан и хлопнул его об землю.
– Будь здоров, – сказал Балага, тоже выпив свой стакан и обтираясь платком. Макарин со слезами на глазах обнимал Анатоля. – Эх, князь, уж как грустно мне с тобой расстаться, – проговорил он.
