Сферическая система координат

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат <math>(r,\;\theta,\;\varphi)</math>, где <math>r</math> — кратчайшее расстояние до начала координат, а <math>\theta</math> и <math>\varphi</math> — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты <math>(r,\;\theta,\;\varphi)</math> определены как:

• <math>r\geqslant 0</math> — расстояние от начала координат до заданной точки <math>P</math>.
• <math>0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ</math> — угол между осью <math>Z</math> и отрезком, соединяющим начало координат и точку <math>P</math>.
• <math>0\leqslant\varphi< 360^\circ</math> — угол между осью <math>X</math> и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой <math>P</math>, на плоскость <math>XY</math> (в некоторых случаях углы <math>\theta</math> и <math>\varphi</math> меняются ролями en.wikipedia.org/wiki/File:3D_Spherical_2.svg).

Угол <math>\theta</math> называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол <math>\varphi</math> — азимутальным. Углы <math>\theta</math> и <math>\varphi</math> не имеют значения при <math>r=0</math>, а <math>\varphi</math> не имеет значения при <math>\sin(\theta)=0</math> (то есть при <math>\theta=0</math> или <math>\theta=180^\circ</math>).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11</span>^ru_en). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла <math>\theta</math>, используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный <math>90^\circ</math> — <math>\theta</math>. Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой <math>\theta</math>. Широта может изменяться в пределах <math>-90^\circ\leqslant\theta\leqslant 90^\circ</math>. При этом соглашении углы <math>\theta</math> и <math>\varphi</math> не имеют значения при <math>r=0</math>, так же как и в первом случае, а <math>\varphi</math> не имеет значения при <math>\cos(\theta)=0</math> (то есть при <math>\theta=-90^\circ</math> или <math>\theta=90^\circ</math>).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

<math>\begin{cases}

x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}</math> Обратно, от декартовых к сферическим:

<math>\begin{cases}

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right). \end{cases}</math> (здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений <math>\varphi</math> вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты <math>\theta</math>).

Якобиан преобразования от декартовых к сферическим будет равен:

<math>J=r^2\sin\theta.\ </math>

Вывод

Переход от декартовых координат к сферическим координатам (x, y, z) к (r, θ, φ):

<math> x = r\, \sin\theta\, \cos\phi</math>

<math> y = r\, \sin\theta\, \sin\phi</math>

<math> z = r\, \cos\theta.</math>

Матрица Якоби имеет следующий вид

<math>\hat{I}(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}

\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial \phi} \\[3pt] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\phi & r\, \cos\theta\, \cos\phi & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\, \cos\theta\, \sin\phi & r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix}. </math>

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:<math> J(r,\theta,\phi) = \det \hat{I}(r,\theta,\phi) =\det \begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\phi & r\, \cos\theta\, \cos\phi & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\ \sin\theta\, \sin\phi & r\, \cos\theta\, \sin\phi & r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix} = r^2 \sin\theta. </math>

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

<math>

\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = J(r,\theta,\phi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin \theta \, \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi </math>

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

<math>\begin{cases}

\rho=r\sin\theta, \\ \varphi=\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}</math> Обратно от цилиндрических к сферическим:

<math>\begin{cases}

r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\ \theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\ \varphi=\varphi. \end{cases}</math> Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

<math>J=r.\ </math>

Дифференциальные характеристики

Вектор <math>\mathrm{d}\mathbf{r}</math>, проведённый из точки <math>(r,\theta,\varphi)</math> в точку <math>(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \varphi+\mathrm{d}\varphi)</math>, равен

<math>\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \varphi}},</math>

где

<math>

\boldsymbol{\hat r} =\sin \theta \cos \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \sin \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} + \cos \theta \boldsymbol{\hat{k}} </math>

<math> \boldsymbol{\hat\theta }

=\cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \theta \sin \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} -\sin \theta \boldsymbol{\hat{k}} </math>

<math>

\boldsymbol{\hat \varphi} =-\sin \phi \boldsymbol{\hat{\imath}} + \cos \phi \boldsymbol{\hat{\jmath}} </math> ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения <math>r,\theta,\varphi</math>, соответственно, а <math>\boldsymbol{\hat{\imath}}, \boldsymbol{\hat{\jmath}}, \boldsymbol{\hat{k}}</math> — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

<math>g_{ij}=\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta} \end{pmatrix}</math>

• <math>\det(g_{ij})=r^4\sin^2\theta.\ </math>
• Квадрат дифференциала длины дуги:

<math>ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2.</math>

• Коэффициенты Ламе:

<math>H_r=1,\quad H_\theta=r,\quad H_\varphi=r\sin\theta.</math>

• Символы Кристоффеля <math>\{r,\;\theta,\;\varphi\}</math>:

<math>\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta,</math>

<math>\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r},</math>

<math>\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta,\quad \Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\mathrm{ctg}\,\theta.</math>

Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Сферические координаты] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Сферическая система координат

На всех лицах было одно общее выражение умиления и восторга. Одна купчиха, стоявшая подле Пети, рыдала, и слезы текли у нее из глаз.
– Отец, ангел, батюшка! – приговаривала она, отирая пальцем слезы.
– Ура! – кричали со всех сторон. С минуту толпа простояла на одном месте; но потом опять бросилась вперед.
Петя, сам себя не помня, стиснув зубы и зверски выкатив глаза, бросился вперед, работая локтями и крича «ура!», как будто он готов был и себя и всех убить в эту минуту, но с боков его лезли точно такие же зверские лица с такими же криками «ура!».
«Так вот что такое государь! – думал Петя. – Нет, нельзя мне самому подать ему прошение, это слишком смело!Несмотря на то, он все так же отчаянно пробивался вперед, и из за спин передних ему мелькнуло пустое пространство с устланным красным сукном ходом; но в это время толпа заколебалась назад (спереди полицейские отталкивали надвинувшихся слишком близко к шествию; государь проходил из дворца в Успенский собор), и Петя неожиданно получил в бок такой удар по ребрам и так был придавлен, что вдруг в глазах его все помутилось и он потерял сознание. Когда он пришел в себя, какое то духовное лицо, с пучком седевших волос назади, в потертой синей рясе, вероятно, дьячок, одной рукой держал его под мышку, другой охранял от напиравшей толпы.
– Барчонка задавили! – говорил дьячок. – Что ж так!.. легче… задавили, задавили!
Государь прошел в Успенский собор. Толпа опять разровнялась, и дьячок вывел Петю, бледного и не дышащего, к царь пушке. Несколько лиц пожалели Петю, и вдруг вся толпа обратилась к нему, и уже вокруг него произошла давка. Те, которые стояли ближе, услуживали ему, расстегивали его сюртучок, усаживали на возвышение пушки и укоряли кого то, – тех, кто раздавил его.
– Этак до смерти раздавить можно. Что же это! Душегубство делать! Вишь, сердечный, как скатерть белый стал, – говорили голоса.
Петя скоро опомнился, краска вернулась ему в лицо, боль прошла, и за эту временную неприятность он получил место на пушке, с которой он надеялся увидать долженствующего пройти назад государя. Петя уже не думал теперь о подаче прошения. Уже только ему бы увидать его – и то он бы считал себя счастливым!
Во время службы в Успенском соборе – соединенного молебствия по случаю приезда государя и благодарственной молитвы за заключение мира с турками – толпа пораспространилась; появились покрикивающие продавцы квасу, пряников, мака, до которого был особенно охотник Петя, и послышались обыкновенные разговоры. Одна купчиха показывала свою разорванную шаль и сообщала, как дорого она была куплена; другая говорила, что нынче все шелковые материи дороги стали. Дьячок, спаситель Пети, разговаривал с чиновником о том, кто и кто служит нынче с преосвященным. Дьячок несколько раз повторял слово соборне, которого не понимал Петя. Два молодые мещанина шутили с дворовыми девушками, грызущими орехи. Все эти разговоры, в особенности шуточки с девушками, для Пети в его возрасте имевшие особенную привлекательность, все эти разговоры теперь не занимали Петю; ou сидел на своем возвышении пушки, все так же волнуясь при мысли о государе и о своей любви к нему. Совпадение чувства боли и страха, когда его сдавили, с чувством восторга еще более усилило в нем сознание важности этой минуты.
Вдруг с набережной послышались пушечные выстрелы (это стреляли в ознаменование мира с турками), и толпа стремительно бросилась к набережной – смотреть, как стреляют. Петя тоже хотел бежать туда, но дьячок, взявший под свое покровительство барчонка, не пустил его. Еще продолжались выстрелы, когда из Успенского собора выбежали офицеры, генералы, камергеры, потом уже не так поспешно вышли еще другие, опять снялись шапки с голов, и те, которые убежали смотреть пушки, бежали назад. Наконец вышли еще четверо мужчин в мундирах и лентах из дверей собора. «Ура! Ура! – опять закричала толпа.
– Который? Который? – плачущим голосом спрашивал вокруг себя Петя, но никто не отвечал ему; все были слишком увлечены, и Петя, выбрав одного из этих четырех лиц, которого он из за слез, выступивших ему от радости на глаза, не мог ясно разглядеть, сосредоточил на него весь свой восторг, хотя это был не государь, закричал «ура!неистовым голосом и решил, что завтра же, чего бы это ему ни стоило, он будет военным.
Толпа побежала за государем, проводила его до дворца и стала расходиться. Было уже поздно, и Петя ничего не ел, и пот лил с него градом; но он не уходил домой и вместе с уменьшившейся, но еще довольно большой толпой стоял перед дворцом, во время обеда государя, глядя в окна дворца, ожидая еще чего то и завидуя одинаково и сановникам, подъезжавшим к крыльцу – к обеду государя, и камер лакеям, служившим за столом и мелькавшим в окнах.
За обедом государя Валуев сказал, оглянувшись в окно:
– Народ все еще надеется увидать ваше величество.
Обед уже кончился, государь встал и, доедая бисквит, вышел на балкон. Народ, с Петей в середине, бросился к балкону.
– Ангел, отец! Ура, батюшка!.. – кричали народ и Петя, и опять бабы и некоторые мужчины послабее, в том числе и Петя, заплакали от счастия. Довольно большой обломок бисквита, который держал в руке государь, отломившись, упал на перилы балкона, с перил на землю. Ближе всех стоявший кучер в поддевке бросился к этому кусочку бисквита и схватил его. Некоторые из толпы бросились к кучеру. Заметив это, государь велел подать себе тарелку бисквитов и стал кидать бисквиты с балкона. Глаза Пети налились кровью, опасность быть задавленным еще более возбуждала его, он бросился на бисквиты. Он не знал зачем, но нужно было взять один бисквит из рук царя, и нужно было не поддаться. Он бросился и сбил с ног старушку, ловившую бисквит. Но старушка не считала себя побежденною, хотя и лежала на земле (старушка ловила бисквиты и не попадала руками). Петя коленкой отбил ее руку, схватил бисквит и, как будто боясь опоздать, опять закричал «ура!», уже охриплым голосом.
Государь ушел, и после этого большая часть народа стала расходиться.
– Вот я говорил, что еще подождать – так и вышло, – с разных сторон радостно говорили в народе.
Как ни счастлив был Петя, но ему все таки грустно было идти домой и знать, что все наслаждение этого дня кончилось. Из Кремля Петя пошел не домой, а к своему товарищу Оболенскому, которому было пятнадцать лет и который тоже поступал в полк. Вернувшись домой, он решительно и твердо объявил, что ежели его не пустят, то он убежит. И на другой день, хотя и не совсем еще сдавшись, но граф Илья Андреич поехал узнавать, как бы пристроить Петю куда нибудь побезопаснее.