Сферический многогранник

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

В геометрии сферический многогранник или сферическая мозаика — это тa мозаика на сфере, в которой поверхность разделена большими дугами на ограниченные области, называемые сферическими многоугольниками. Большая часть теории симметричных многогранников использует сферические многогранники.

Наиболее известным примером сферического многогранника служит футбольный мяч, который можно понимать как усечённый икосаэдр.

Некоторые «несобственные» многогранники, такие как осоэдры и их двойственные диэдры, существуют только как сферические многогранники и не имеют аналогов с плоскими гранями. В таблице с примерами ниже {2, 6} — осоэдр, а — {6, 2} двойственный ему диэдр.





История

Первые известные сделанные человеком многогранники — это сферические многогранники, высеченные в камне. Многие из них были найдены в Шотландии и датируются периодом Неолита.

Во времена европейских «тёмных столетий» исламский учёный Абуль-Вафа аль-Бузджани написал первую серьёзную работу о сферических многогранниках.

Две сотни лет назад, в начале 19-го века, Пуансо использовал сферические многогранники для обнаружения четырёх правильных звёздчатых многогранников.

В середине 20-го века Коксетер использовал их для перечисления всех (за исключением одного) однородных многогранников[en], посредством калейдоскопического построения (Построение Визоффа).

Примеры

Все правильные, полуправильные многогранники и их двойственные можно спроектировать на сферу как мозаику. В таблице ниже указаны символы Шлефли {p, q} и схема вершинной фигуры a.b.c. …:

Символ Шлефли {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Вершинная фигура pq q.2p.2p p.q.p.q p. 2q.2q qp q.4.p. 4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Тетраэдральные
(3 3 2)

33

3.6.6

3.3.3.3

3.6.6

33

3.4.3.4

4.6.6

3.3.3.3.3

V3.6.6

V3.3.3.3

V3.6.6

V3.4.4.4

V4.6.6

V3.3.3.3.3
Октаэдральные
(4 3 2)

43

3.8.8

3.4.3.4

4.6.6

34

3.4.4.4

4.6.8

3.3.3.3.4

V3.8.8

V3.4.3.4

V4.6.6

V3.4.4.4

V4.6.8[en]

V3.3.3.3.4[en]
Икосаэдральные
(5 3 2)

53

3.10.10

3.5.3.5

5.6.6

35

3.4.5.4

4.6.10

3.3.3.3.5

V3.10.10

V3.5.3.5

V5.6.6

V3.4.5.4

V4.6.10

V3.3.3.3.5[en]
Диэдральные
примеры=6
(2 2 6)

62

2.12.12

2.6.2.6

6.4.4

26

4.6.4

Двенадцатиугольная призма[4.4.12]

3.3.3.6
Класс 2 3 4 5 6 7 8 10
Призма
(2 2 p)
Бипирамида
(2 2 p)
Антипризма
Трапецоид[en]

Несобственные случаи

Сферические мозаики допускают случаи, которые невозможны для многогранников, а именно — осоэдры, правильные фигуры {2,n}, и диэдры, правильные фигуры {n,2}.

Семейство правильных осоэдов
Рисунок
Шлефли {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}…
Коксетер
Грани и
рёбра
2 3 4 5 6 7 8
Вершины 2
Правильные диэдры: (сферические мозаики)
Рисунок
Шлефли {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
Коксетер
Грани 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Рёбра и
вершины
2 3 4 5 6

Связь с мозаиками на проективной плоскости

Поскольку сфера является 2-к-1 накрытием проективной плоскости, проективные многогранники соответствуют двойному накрытию сферическими многогранниками, имеющими центральную симметрию.

Наиболее известными примерами проективных многогранников служат правильные проективные многогранники, образованные из центрально симметричных правильных многогранников, а также из бесконечных семейств чётных диэдров и осоэдров: [1]

См. также

Напишите отзыв о статье "Сферический многогранник"

Примечания

  1. Кокстер, 1966, с. 547-552 §3 Правильные карты.

Литература

  • Peter McMullen, Egon Schulte. 6C. Projective Regular Polytopes // Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • L. Poinsot Memoire sur les polygones et polyèdres // J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Вып. 9. — С. 16–48.
  • H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0080-4614&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0080-4614]. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
  • Г.С.М. Кокстер. Введение в геометрию. — М.: «Наука», 1966.


Отрывок, характеризующий Сферический многогранник

На другой день, полковой командир позвал к себе Денисова и сказал ему, закрыв раскрытыми пальцами глаза: «Я на это смотрю вот так, я ничего не знаю и дела не начну; но советую съездить в штаб и там, в провиантском ведомстве уладить это дело, и, если возможно, расписаться, что получили столько то провианту; в противном случае, требованье записано на пехотный полк: дело поднимется и может кончиться дурно».
Денисов прямо от полкового командира поехал в штаб, с искренним желанием исполнить его совет. Вечером он возвратился в свою землянку в таком положении, в котором Ростов еще никогда не видал своего друга. Денисов не мог говорить и задыхался. Когда Ростов спрашивал его, что с ним, он только хриплым и слабым голосом произносил непонятные ругательства и угрозы…
Испуганный положением Денисова, Ростов предлагал ему раздеться, выпить воды и послал за лекарем.
– Меня за г'азбой судить – ох! Дай еще воды – пускай судят, а буду, всегда буду подлецов бить, и госудаг'ю скажу. Льду дайте, – приговаривал он.
Пришедший полковой лекарь сказал, что необходимо пустить кровь. Глубокая тарелка черной крови вышла из мохнатой руки Денисова, и тогда только он был в состоянии рассказать все, что с ним было.
– Приезжаю, – рассказывал Денисов. – «Ну, где у вас тут начальник?» Показали. Подождать не угодно ли. «У меня служба, я зa 30 верст приехал, мне ждать некогда, доложи». Хорошо, выходит этот обер вор: тоже вздумал учить меня: Это разбой! – «Разбой, говорю, не тот делает, кто берет провиант, чтоб кормить своих солдат, а тот кто берет его, чтоб класть в карман!» Так не угодно ли молчать. «Хорошо». Распишитесь, говорит, у комиссионера, а дело ваше передастся по команде. Прихожу к комиссионеру. Вхожу – за столом… Кто же?! Нет, ты подумай!…Кто же нас голодом морит, – закричал Денисов, ударяя кулаком больной руки по столу, так крепко, что стол чуть не упал и стаканы поскакали на нем, – Телянин!! «Как, ты нас с голоду моришь?!» Раз, раз по морде, ловко так пришлось… «А… распротакой сякой и… начал катать. Зато натешился, могу сказать, – кричал Денисов, радостно и злобно из под черных усов оскаливая свои белые зубы. – Я бы убил его, кабы не отняли.
– Да что ж ты кричишь, успокойся, – говорил Ростов: – вот опять кровь пошла. Постой же, перебинтовать надо. Денисова перебинтовали и уложили спать. На другой день он проснулся веселый и спокойный. Но в полдень адъютант полка с серьезным и печальным лицом пришел в общую землянку Денисова и Ростова и с прискорбием показал форменную бумагу к майору Денисову от полкового командира, в которой делались запросы о вчерашнем происшествии. Адъютант сообщил, что дело должно принять весьма дурной оборот, что назначена военно судная комиссия и что при настоящей строгости касательно мародерства и своевольства войск, в счастливом случае, дело может кончиться разжалованьем.
Дело представлялось со стороны обиженных в таком виде, что, после отбития транспорта, майор Денисов, без всякого вызова, в пьяном виде явился к обер провиантмейстеру, назвал его вором, угрожал побоями и когда был выведен вон, то бросился в канцелярию, избил двух чиновников и одному вывихнул руку.
Денисов, на новые вопросы Ростова, смеясь сказал, что, кажется, тут точно другой какой то подвернулся, но что всё это вздор, пустяки, что он и не думает бояться никаких судов, и что ежели эти подлецы осмелятся задрать его, он им ответит так, что они будут помнить.
Денисов говорил пренебрежительно о всем этом деле; но Ростов знал его слишком хорошо, чтобы не заметить, что он в душе (скрывая это от других) боялся суда и мучился этим делом, которое, очевидно, должно было иметь дурные последствия. Каждый день стали приходить бумаги запросы, требования к суду, и первого мая предписано было Денисову сдать старшему по себе эскадрон и явиться в штаб девизии для объяснений по делу о буйстве в провиантской комиссии. Накануне этого дня Платов делал рекогносцировку неприятеля с двумя казачьими полками и двумя эскадронами гусар. Денисов, как всегда, выехал вперед цепи, щеголяя своей храбростью. Одна из пуль, пущенных французскими стрелками, попала ему в мякоть верхней части ноги. Может быть, в другое время Денисов с такой легкой раной не уехал бы от полка, но теперь он воспользовался этим случаем, отказался от явки в дивизию и уехал в госпиталь.


В июне месяце произошло Фридландское сражение, в котором не участвовали павлоградцы, и вслед за ним объявлено было перемирие. Ростов, тяжело чувствовавший отсутствие своего друга, не имея со времени его отъезда никаких известий о нем и беспокоясь о ходе его дела и раны, воспользовался перемирием и отпросился в госпиталь проведать Денисова.
Госпиталь находился в маленьком прусском местечке, два раза разоренном русскими и французскими войсками. Именно потому, что это было летом, когда в поле было так хорошо, местечко это с своими разломанными крышами и заборами и своими загаженными улицами, оборванными жителями и пьяными и больными солдатами, бродившими по нем, представляло особенно мрачное зрелище.
В каменном доме, на дворе с остатками разобранного забора, выбитыми частью рамами и стеклами, помещался госпиталь. Несколько перевязанных, бледных и опухших солдат ходили и сидели на дворе на солнушке.
Как только Ростов вошел в двери дома, его обхватил запах гниющего тела и больницы. На лестнице он встретил военного русского доктора с сигарою во рту. За доктором шел русский фельдшер.
– Не могу же я разорваться, – говорил доктор; – приходи вечерком к Макару Алексеевичу, я там буду. – Фельдшер что то еще спросил у него.
– Э! делай как знаешь! Разве не всё равно? – Доктор увидал подымающегося на лестницу Ростова.
– Вы зачем, ваше благородие? – сказал доктор. – Вы зачем? Или пуля вас не брала, так вы тифу набраться хотите? Тут, батюшка, дом прокаженных.
– Отчего? – спросил Ростов.
– Тиф, батюшка. Кто ни взойдет – смерть. Только мы двое с Макеевым (он указал на фельдшера) тут трепемся. Тут уж нашего брата докторов человек пять перемерло. Как поступит новенький, через недельку готов, – с видимым удовольствием сказал доктор. – Прусских докторов вызывали, так не любят союзники то наши.
Ростов объяснил ему, что он желал видеть здесь лежащего гусарского майора Денисова.
– Не знаю, не ведаю, батюшка. Ведь вы подумайте, у меня на одного три госпиталя, 400 больных слишком! Еще хорошо, прусские дамы благодетельницы нам кофе и корпию присылают по два фунта в месяц, а то бы пропали. – Он засмеялся. – 400, батюшка; а мне всё новеньких присылают. Ведь 400 есть? А? – обратился он к фельдшеру.
Фельдшер имел измученный вид. Он, видимо, с досадой дожидался, скоро ли уйдет заболтавшийся доктор.
– Майор Денисов, – повторил Ростов; – он под Молитеном ранен был.
– Кажется, умер. А, Макеев? – равнодушно спросил доктор у фельдшера.
Фельдшер однако не подтвердил слов доктора.
– Что он такой длинный, рыжеватый? – спросил доктор.
Ростов описал наружность Денисова.
– Был, был такой, – как бы радостно проговорил доктор, – этот должно быть умер, а впрочем я справлюсь, у меня списки были. Есть у тебя, Макеев?
– Списки у Макара Алексеича, – сказал фельдшер. – А пожалуйте в офицерские палаты, там сами увидите, – прибавил он, обращаясь к Ростову.
– Эх, лучше не ходить, батюшка, – сказал доктор: – а то как бы сами тут не остались. – Но Ростов откланялся доктору и попросил фельдшера проводить его.
– Не пенять же чур на меня, – прокричал доктор из под лестницы.
Ростов с фельдшером вошли в коридор. Больничный запах был так силен в этом темном коридоре, что Ростов схватился зa нос и должен был остановиться, чтобы собраться с силами и итти дальше. Направо отворилась дверь, и оттуда высунулся на костылях худой, желтый человек, босой и в одном белье.
Он, опершись о притолку, блестящими, завистливыми глазами поглядел на проходящих. Заглянув в дверь, Ростов увидал, что больные и раненые лежали там на полу, на соломе и шинелях.
– А можно войти посмотреть? – спросил Ростов.
– Что же смотреть? – сказал фельдшер. Но именно потому что фельдшер очевидно не желал впустить туда, Ростов вошел в солдатские палаты. Запах, к которому он уже успел придышаться в коридоре, здесь был еще сильнее. Запах этот здесь несколько изменился; он был резче, и чувствительно было, что отсюда то именно он и происходил.
В длинной комнате, ярко освещенной солнцем в большие окна, в два ряда, головами к стенам и оставляя проход по середине, лежали больные и раненые. Большая часть из них были в забытьи и не обратили вниманья на вошедших. Те, которые были в памяти, все приподнялись или подняли свои худые, желтые лица, и все с одним и тем же выражением надежды на помощь, упрека и зависти к чужому здоровью, не спуская глаз, смотрели на Ростова. Ростов вышел на середину комнаты, заглянул в соседние двери комнат с растворенными дверями, и с обеих сторон увидал то же самое. Он остановился, молча оглядываясь вокруг себя. Он никак не ожидал видеть это. Перед самым им лежал почти поперек середняго прохода, на голом полу, больной, вероятно казак, потому что волосы его были обстрижены в скобку. Казак этот лежал навзничь, раскинув огромные руки и ноги. Лицо его было багрово красно, глаза совершенно закачены, так что видны были одни белки, и на босых ногах его и на руках, еще красных, жилы напружились как веревки. Он стукнулся затылком о пол и что то хрипло проговорил и стал повторять это слово. Ростов прислушался к тому, что он говорил, и разобрал повторяемое им слово. Слово это было: испить – пить – испить! Ростов оглянулся, отыскивая того, кто бы мог уложить на место этого больного и дать ему воды.