Схема Бернулли
Проводятся <math>n</math> опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью <math>p</math> (или не произойти — «неудача» — с вероятностью <math>q=1-p</math>). Задача — найти вероятность получения ровно <math>m</math> успехов в этих <math>n</math> опытах.
Решение:
- <math>P_n(m)=C_n^m p^m(1-p)^{n-m}</math> (формула Бернулли).
Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.
Определение
Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:
- Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
- Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
- Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.
Рассмотрим стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0». Пусть вероятность успеха <math>0<p<1</math>, тогда вероятность неудачи <math>1-p=q</math>.
Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в <math>n</math>-кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.
Понятно, что пространство элементарных событий <math>\Omega</math>, которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет <math> \left \{ \Omega=(a_1,...,a_n)|a_i=\overline{0,1}, i=\overline{1,n}\right\rbrace</math> (1), <math>N(\Omega)=2^n</math>. За <math>\sigma</math>-алгебру событий <math>\mathcal{A}</math> возьмём булеан пространства элементарных событий <math>P(\Omega)</math> (2). Каждому элементарному событию <math>\omega\in\Omega</math> поставим в соответствие число <math>p(\omega)=p^{\sum_{i=1}^n a_i} q^{n-\sum_{i=1}^n a_i}</math>. Если в элементарном событии <math>\omega</math> успех наблюдается <math>k</math> раз, а неудача — <math>(n-k)</math> раз, то <math>p(\omega)=p^k q^{n-k}</math>. Пусть <math>A_k=\{\omega\in\Omega|\sum_{i=1}^n a_i=k\}, k=\overline{0,n}</math>, тогда <math>P(A_k)=\sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=C_n^k p^k q^{n-k}</math>. Также является очевидной нормированность вероятности: <math>\sum_{\omega\in\Omega} P(\omega)=\sum_{k=0}^n \sum_{\omega\in A_k} P(\omega)=\sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1^n=1</math>.
Поставив в соответствие каждому событию <math>A\in\mathcal{A}</math> числовое значение <math>P(A)=\sum_{\omega\in A} P(\omega)</math> (3), мы найдём вероятность <math>P:\mathcal{A}\to\mathbb{R}</math>. Построенное пространство <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math>, где <math>\Omega</math> — пространство элементарных событий, определено равенством (1), <math>\mathcal{A}</math> — <math>\sigma</math>-алгебра, определена равенством (2), P — вероятность, определена равенством (3), называется схемой Бернулли для <math>n</math> испытаний.
Набор чисел <math>P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}, k=\overline{0,n}, n\in\mathbb{N}</math> называется биномиальным распределением.
Обобщение (полиномиальная схема)
Обычная формула Бернулли применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух событий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из <math> k>2 </math> событий с вероятностью <math> p_i (i=1,2,...,k)</math>, где <math> p_1+...+p_k=1 </math>. Вероятность появления <math> m_1 </math> раз первого события и <math> m_2 </math> - второго и <math> m_k </math> раз k-го находится по формуле
- <math>P_n(m_1,m_2,...,m_k)= \frac{n!}{m_1! m_2! ... m_k!} {p_1}^{m_1} {p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k} </math>,
где <math> n=m_1+m_2+...+m_k. </math>
Свойства
Теоремы
В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Напишите отзыв о статье "Схема Бернулли"
Ссылки
- www.mathelp.spb.ru/book2/tv8.htm
- Испытание Бернулли
Отрывок, характеризующий Схема Бернулли
В назначенный час, напудренный и выбритый, князь вышел в столовую, где ожидала его невестка, княжна Марья, m lle Бурьен и архитектор князя, по странной прихоти его допускаемый к столу, хотя по своему положению незначительный человек этот никак не мог рассчитывать на такую честь. Князь, твердо державшийся в жизни различия состояний и редко допускавший к столу даже важных губернских чиновников, вдруг на архитекторе Михайле Ивановиче, сморкавшемся в углу в клетчатый платок, доказывал, что все люди равны, и не раз внушал своей дочери, что Михайла Иванович ничем не хуже нас с тобой. За столом князь чаще всего обращался к бессловесному Михайле Ивановичу.В столовой, громадно высокой, как и все комнаты в доме, ожидали выхода князя домашние и официанты, стоявшие за каждым стулом; дворецкий, с салфеткой на руке, оглядывал сервировку, мигая лакеям и постоянно перебегая беспокойным взглядом от стенных часов к двери, из которой должен был появиться князь. Князь Андрей глядел на огромную, новую для него, золотую раму с изображением генеалогического дерева князей Болконских, висевшую напротив такой же громадной рамы с дурно сделанным (видимо, рукою домашнего живописца) изображением владетельного князя в короне, который должен был происходить от Рюрика и быть родоначальником рода Болконских. Князь Андрей смотрел на это генеалогическое дерево, покачивая головой, и посмеивался с тем видом, с каким смотрят на похожий до смешного портрет.
– Как я узнаю его всего тут! – сказал он княжне Марье, подошедшей к нему.
Княжна Марья с удивлением посмотрела на брата. Она не понимала, чему он улыбался. Всё сделанное ее отцом возбуждало в ней благоговение, которое не подлежало обсуждению.
– У каждого своя Ахиллесова пятка, – продолжал князь Андрей. – С его огромным умом donner dans ce ridicule! [поддаваться этой мелочности!]
Княжна Марья не могла понять смелости суждений своего брата и готовилась возражать ему, как послышались из кабинета ожидаемые шаги: князь входил быстро, весело, как он и всегда ходил, как будто умышленно своими торопливыми манерами представляя противоположность строгому порядку дома.
В то же мгновение большие часы пробили два, и тонким голоском отозвались в гостиной другие. Князь остановился; из под висячих густых бровей оживленные, блестящие, строгие глаза оглядели всех и остановились на молодой княгине. Молодая княгиня испытывала в то время то чувство, какое испытывают придворные на царском выходе, то чувство страха и почтения, которое возбуждал этот старик во всех приближенных. Он погладил княгиню по голове и потом неловким движением потрепал ее по затылку.
– Я рад, я рад, – проговорил он и, пристально еще взглянув ей в глаза, быстро отошел и сел на свое место. – Садитесь, садитесь! Михаил Иванович, садитесь.
Он указал невестке место подле себя. Официант отодвинул для нее стул.
– Го, го! – сказал старик, оглядывая ее округленную талию. – Поторопилась, нехорошо!
Он засмеялся сухо, холодно, неприятно, как он всегда смеялся, одним ртом, а не глазами.
– Ходить надо, ходить, как можно больше, как можно больше, – сказал он.