Схема преобразования

Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:

• <math>\forall x \exist^{\{1\}} y \ (\phi[x,y]) \to \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ )</math>, где <math>\forall x \exists^{\{1\}}y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist ! y \ (\phi[x,y]) \Leftrightarrow \forall x \exist y \forall y' (\phi[x,y] \leftrightarrow y = y')</math>

Схему преобразования можно сформулировать по-русски, а именно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество <math>d</math>, высказав функциональное суждение <math>\phi</math> обо всех элементах <math>b</math> данного множества <math>a</math>."

Пример

В следующем примере функциональное суждение <math>y = x</math> преобразует каждое множество <math>a</math> в самого себя.

<math>\phi[x,y] \leftrightarrow y = x \quad \Rightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ c = b)) \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in a)</math>

Другие формулировки схемы преобразования

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• <math>\forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exist^{\{1\}}y \ (\phi[b,y]) \ ) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c]) \ ))</math>

Примеры

1. В следующем примере функциональное суждение <math>y = 2b'</math> преобразует множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в множество чётных чисел <math>\{0,2,4,...\}</math>.

<math>\begin{align}

a = \mathbb{N} \ \land \ (\phi[b',y] \leftrightarrow y = 2b') \quad \Rightarrow \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \ \land \ c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,...\}) \end{align}</math>

2. В следующем примере функциональное суждение <math>(b' = 0 \to y = a_1) \ \land \ (b' \ne 0 \to y = a_2)</math> преобразует множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> в [неупорядоченную] пару <math>\{a_1, \ a_2\}</math>.

<math>\begin{align}

a = \mathbb{R} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (b' = 0 \to y = a_1) \ \land \ (b' \ne 0 \to y = a_2)) \quad \Rightarrow \\ \ \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{R} \ \land \ (b = 0 \to c = a_1) \land (b \ne 0 \to c = a_2) \ )) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c = a_1 \ \lor \ c = a_2) \end{align}</math>

3. В следующем примере функциональное суждение <math>(0 \le b' \le 1 \to y = b') \ \land \ (\neg (0 \le b' \le 1) \to y = 1)</math> преобразует множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> в подмножество натуральных чисел <math>\{n: \ n \in \mathbb{N} \ \land \ n < 2\}</math>.

<math>\begin{align}

a = \mathbb{Z} \quad \land \quad (\phi[b',y] \leftrightarrow (0 \le b' \le 1 \to y = b') \land (\neg(0 \le b' \le 1) \to y = 1)) \quad \Rightarrow \\ \ \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{Z} \land (0 \le b \le 1 \to c = b) \land (b < 0 \lor b > 1 \to c = 1))) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{n: \ n \in \mathbb{N} \ \land \ n < 2\} \ ) \end{align}</math>

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• <math>\forall a \ ( \ \forall b \ (b \in a \to \exists^{\{0,1\}}y \ (\phi[b,y])) \quad \to \quad \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \ \land \ \phi[b,c])\ ))</math>, где <math>\exist^{\{0,1\}} y \ (\phi[b,y]) \Leftrightarrow \forall y \forall y' \ (\phi[b,y] \ \land \ \phi[b,y'] \to y = y')</math>

Примечания

1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:

• <math>\begin{align}

\forall a_1 \forall a_2 \ (a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (b' = \varnothing \to y = a_1) \land (b' \ne \varnothing \to y = a_2) \ ) \\ \ \rightarrow \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c]))

\ \rightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b = a_1 \lor b = a_2) \ )),  

\end{align}</math>

где <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))</math> - булеан булеана пустого множества.

2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:

• <math>\begin{align} \forall a \ (\ x \in \{b: b \in a \land \Phi[b]\} \quad \land \quad (\phi[b',y] \ \leftrightarrow \ (\Phi[b'] \to y = b') \land (\neg \Phi[b'] \to y = x)\ )

\\ \ \to \quad (\exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \exist b \ (b \in a \land \phi[b,c])) \ \leftrightarrow \ \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in a \land \Phi[b])) \ ) \end{align}</math>

Историческая справка

Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.

Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.

См. также

• Аксиоматика теории множеств

Отрывок, характеризующий Схема преобразования

[«Затем молю бога, да будете вы, мой друг, под святым сильным его покровом. Друг ваш Елена»]
Это письмо было привезено в дом Пьера в то время, как он находился на Бородинском поле.


Во второй раз, уже в конце Бородинского сражения, сбежав с батареи Раевского, Пьер с толпами солдат направился по оврагу к Князькову, дошел до перевязочного пункта и, увидав кровь и услыхав крики и стоны, поспешно пошел дальше, замешавшись в толпы солдат.
Одно, чего желал теперь Пьер всеми силами своей души, было то, чтобы выйти поскорее из тех страшных впечатлений, в которых он жил этот день, вернуться к обычным условиям жизни и заснуть спокойно в комнате на своей постели. Только в обычных условиях жизни он чувствовал, что будет в состоянии понять самого себя и все то, что он видел и испытал. Но этих обычных условий жизни нигде не было.
Хотя ядра и пули не свистали здесь по дороге, по которой он шел, но со всех сторон было то же, что было там, на поле сражения. Те же были страдающие, измученные и иногда странно равнодушные лица, та же кровь, те же солдатские шинели, те же звуки стрельбы, хотя и отдаленной, но все еще наводящей ужас; кроме того, была духота и пыль.
Пройдя версты три по большой Можайской дороге, Пьер сел на краю ее.
Сумерки спустились на землю, и гул орудий затих. Пьер, облокотившись на руку, лег и лежал так долго, глядя на продвигавшиеся мимо него в темноте тени. Беспрестанно ему казалось, что с страшным свистом налетало на него ядро; он вздрагивал и приподнимался. Он не помнил, сколько времени он пробыл тут. В середине ночи трое солдат, притащив сучьев, поместились подле него и стали разводить огонь.
Солдаты, покосившись на Пьера, развели огонь, поставили на него котелок, накрошили в него сухарей и положили сала. Приятный запах съестного и жирного яства слился с запахом дыма. Пьер приподнялся и вздохнул. Солдаты (их было трое) ели, не обращая внимания на Пьера, и разговаривали между собой.
– Да ты из каких будешь? – вдруг обратился к Пьеру один из солдат, очевидно, под этим вопросом подразумевая то, что и думал Пьер, именно: ежели ты есть хочешь, мы дадим, только скажи, честный ли ты человек?
– Я? я?.. – сказал Пьер, чувствуя необходимость умалить как возможно свое общественное положение, чтобы быть ближе и понятнее для солдат. – Я по настоящему ополченный офицер, только моей дружины тут нет; я приезжал на сраженье и потерял своих.
– Вишь ты! – сказал один из солдат.
Другой солдат покачал головой.
– Что ж, поешь, коли хочешь, кавардачку! – сказал первый и подал Пьеру, облизав ее, деревянную ложку.
Пьер подсел к огню и стал есть кавардачок, то кушанье, которое было в котелке и которое ему казалось самым вкусным из всех кушаний, которые он когда либо ел. В то время как он жадно, нагнувшись над котелком, забирая большие ложки, пережевывал одну за другой и лицо его было видно в свете огня, солдаты молча смотрели на него.
– Тебе куды надо то? Ты скажи! – спросил опять один из них.
– Мне в Можайск.
– Ты, стало, барин?
– Да.
– А как звать?
– Петр Кириллович.
– Ну, Петр Кириллович, пойдем, мы тебя отведем. В совершенной темноте солдаты вместе с Пьером пошли к Можайску.
Уже петухи пели, когда они дошли до Можайска и стали подниматься на крутую городскую гору. Пьер шел вместе с солдатами, совершенно забыв, что его постоялый двор был внизу под горою и что он уже прошел его. Он бы не вспомнил этого (в таком он находился состоянии потерянности), ежели бы с ним не столкнулся на половине горы его берейтор, ходивший его отыскивать по городу и возвращавшийся назад к своему постоялому двору. Берейтор узнал Пьера по его шляпе, белевшей в темноте.