Схема с разностями против потока
Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).
Например, одномерное уравнение волны имеет вид
<math> \qquad \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 </math>
Оно описывает распространение волны в направлении <math>x</math> со скоростью <math>a</math>. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки <math>i</math>, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если <math>a</math> положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если <math>a</math> отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной <math>\partial u / \partial x</math> содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока[1].
Первого порядка
Простейший пример, пример первого порядка:[2]
- <math>\quad (1) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_i^n - u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a > 0</math>
- <math>\quad (2) \qquad \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} + a \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} = 0 \quad \text{for} \quad a < 0</math>
Компактная форма
Определяя
- <math>\qquad \qquad a^+ = \text{max}(a,0)\,, \qquad a^- = \text{min}(a,0)</math>
- <math>\qquad \qquad u_x^- = \frac{u_i^{n} - u_{i-1}^{n}}{\Delta x}\,, \qquad u_x^+ = \frac{u_{i+1}^{n} - u_{i}^{n}}{\Delta x}</math>,
два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:
- <math>\quad (3) \qquad u_i^{n+1} = u_i^n - \Delta t \left[ a^+ u_x^- + a^- u_x^+ \right]</math>
Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.[3]
Источники
- ↑ Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. — Springer, 1992. — ISBN 9783540530589.
- ↑ Patankar S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. — Taylor & Francis, 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4.
- ↑ Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 978-0-471-92452-4.
Напишите отзыв о статье "Схема с разностями против потока"
Отрывок, характеризующий Схема с разностями против потока
– Ежели бы я знала… – сквозь слезы сказала она. – Я боялась войти.Он пожал ее руку.
– Не спала ты?
– Нет, я не спала, – сказала княжна Марья, отрицательно покачав головой. Невольно подчиняясь отцу, она теперь так же, как он говорил, старалась говорить больше знаками и как будто тоже с трудом ворочая язык.
– Душенька… – или – дружок… – Княжна Марья не могла разобрать; но, наверное, по выражению его взгляда, сказано было нежное, ласкающее слово, которого он никогда не говорил. – Зачем не пришла?
«А я желала, желала его смерти! – думала княжна Марья. Он помолчал.
– Спасибо тебе… дочь, дружок… за все, за все… прости… спасибо… прости… спасибо!.. – И слезы текли из его глаз. – Позовите Андрюшу, – вдруг сказал он, и что то детски робкое и недоверчивое выразилось в его лице при этом спросе. Он как будто сам знал, что спрос его не имеет смысла. Так, по крайней мере, показалось княжне Марье.
– Я от него получила письмо, – отвечала княжна Марья.
Он с удивлением и робостью смотрел на нее.
– Где же он?
– Он в армии, mon pere, в Смоленске.
Он долго молчал, закрыв глаза; потом утвердительно, как бы в ответ на свои сомнения и в подтверждение того, что он теперь все понял и вспомнил, кивнул головой и открыл глаза.
– Да, – сказал он явственно и тихо. – Погибла Россия! Погубили! – И он опять зарыдал, и слезы потекли у него из глаз. Княжна Марья не могла более удерживаться и плакала тоже, глядя на его лицо.
Он опять закрыл глаза. Рыдания его прекратились. Он сделал знак рукой к глазам; и Тихон, поняв его, отер ему слезы.
Потом он открыл глаза и сказал что то, чего долго никто не мог понять и, наконец, понял и передал один Тихон. Княжна Марья отыскивала смысл его слов в том настроении, в котором он говорил за минуту перед этим. То она думала, что он говорит о России, то о князе Андрее, то о ней, о внуке, то о своей смерти. И от этого она не могла угадать его слов.
– Надень твое белое платье, я люблю его, – говорил он.
Поняв эти слова, княжна Марья зарыдала еще громче, и доктор, взяв ее под руку, вывел ее из комнаты на террасу, уговаривая ее успокоиться и заняться приготовлениями к отъезду. После того как княжна Марья вышла от князя, он опять заговорил о сыне, о войне, о государе, задергал сердито бровями, стал возвышать хриплый голос, и с ним сделался второй и последний удар.
