Схема (математика)

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.

Основным аппаратом теории схем являются теория категорий, теория пучков, коммутативная и гомологическая алгебра.

В дальнейшем изложении слово «кольцо» всегда означает «коммутативное ассоциативное кольцо с единицей».

История и мотивировка определения

Алгебраические геометры итальянской школы использовали довольно туманную концепцию «общей точки» при доказательстве теорем об алгебраических многообразиях. Предполагалось, что утвеждения, верные для общей точки, верны для всех точек многообразия, за исключением небольшого числа «специальных» точек. Эмми Нётер в 1920-х годах предложила способ прояснения этой концепции: в координатном кольце алгебраического многообразия (то есть в кольце полиномиальных функций на многообразии) максимальные идеалы соответствуют точкам многообразия, а немаксимальные простые идеалы соответствуют различным общим точкам — по одной для каждого подмногообразия. Впрочем, Нётер не стала развивать этот подход.

В 1930-х годах Вольфганг Крулль сделал следующий шаг: взяв совершенно произвольное коммутативное кольцо, можно рассмотреть множество его простых идеалов, снабдить топологией Зарисского и развивать геометрию этих более общих объектов. Другие математики не видели смысла в столь большой общности, и Крулль забросил эту идею.

В 1950-х годах Жан-Пьер Серр, Клод Шевалле и Масаёси Нагата с целью приблизиться к доказательству гипотез Вейля, начали использовать сходный подход, рассматривающий простые идеалы как точки. Согласно Пьеру Картье, слово схема было впервые использовано в 1956 году на семинаре Шевалле.

После этого Александр Гротендик дал современное определение схемы, подводящее итог предыдущим экспериментальным предложениям. Он по-прежнему определяет спектр коммутативного кольца как множество простых идеалов с топологией Зарисского, но также снабжает его пучком колец: каждому открытому подмножеству спектра сопоставляется коммутативное кольцо, по аналогии с кольцом полиномиальных функций на этом множестве. Получившиеся объекты суть аффинные схемы; общие схемы получаются склейкой нескольких аффинных схем, по аналогии с тем, как общие алгебраические многообразия получаются склейкой аффинных многообразий, а обычные многообразия — склейкой открытых подмножеств <math>\R^n</math>.

Многие критиковали это определение за чрезмерную общность: некоторые схемы в этом смысле не имеют очевидной геометрической интерпретации. Однако принятие этих схем к рассмотрению делает свойства категории всех схем более «разумными». Кроме того, изучение пространств модулей приводит к схемам, не являющимся «классическими». Необходимость рассмотрения схем, которые не являются сами по себе алгебраическими многообразиями (но построены из многообразий) привела к постепенному принятию нового определения.

Определение

Одно из базовых понятий теории схем — локально окольцованные пространства. Окольцованное пространство — это топологическое пространство, на котором задан пучок колец, называемый структурным пучком. Пространство называется локально окольцованным, если слой пучка в каждой точке является локальным кольцом. Основные объекты изучения дифференциальной геометрии и топологии являются локально окольцованными пространствами; в качестве структурного пучка при этом выступает соответствующий пучок функций. Например, топологическим пространствам соответствует пучок непрерывных функций, гладким многообразиям — пучок гладких функций, комплексным многообразиям — пучок голоморфных функций. Утверждение о том, что слой пучка является локальным кольцом, означает, что для любого элемента кольца структурного пучка можно определить его значения в каждой точке, принадлежащие некоторому полю, так что элементы структурного пучка действительно можно рассматривать как функции. Отметим, что в общем случае такая «функция» не определяется своими поточечными значениями, хотя в классической геометрии аналога этому явлению нет.

Аффинная схема — это локально окольцованное пространство, изоморфное спектру некоторого кольца с соответствующим ему структурным пучком. Эти определения позволяют рассматривать любое открытое подмножество <math>\mathrm{Spec}\; A</math> как аффинную схему, при этом для аффинных схем выполняется тождество <math>\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}\;A}(\mathrm{Spec}\;A) = A</math>, что означает эквивалентность геометрического и алгебраического взгляда на кольцо (а именно, любому кольцу можно сопоставить аффинную схему, и по аффинной схеме можно однозначно восстановить исходное кольцо).

Схема — это локально окольцованное пространство <math>(X,\mathcal O_X)</math>, допускающее покрытие открытыми множествами <math>U_i</math>, такое что каждое <math>U_i</math> вместе с ограничением на него структурного пучка <math>\mathcal O_X</math> является аффинной схемой. Это определение можно понимать разными способами: можно считать, что у каждой точки схемы имеется окрестность, являющаяся аффинной схемой, также можно думать о схеме как о результате склейки множества аффинных схем, согласующейся со структурой пучка.

Категория схем

Сюда перенаправляется запрос «Функтор глобальных сечений». На эту тему нужна отдельная статья.

Схемы образуют категорию, морфизмы которой — морфизмы схем как локально окольцованных пространств.

Конструкция, снабжающая спектр структурным пучком, определяет контравариантный функтор:

<math>\mathrm{Spec}\colon \mathrm{CRing} \to \mathrm{Aff}</math>

из категории колец в категорию аффинных схем. Имеется также обратный контравариантный функтор:

<math>\mathcal{O}\colon \mathrm{Aff} \to \mathrm{CRing}</math> (функтор глобальных сечений),

сопоставляющий локально окольцованному пространству <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> кольцо <math>\mathcal{O}_X(X)</math> его структурного пучка. Эта пара функторов задаёт эквивалентность категорий <math>\mathrm{CRing^{op}} \simeq \mathrm{Aff}</math>. Функтор глобальных сечений можно определить для произвольных схем, так как любая схема является локально окольцованным пространством. В этой общности функтор спектра сопряжён справа функтору глобальных сечений:

<math>\mathrm{Hom}_{\rm Schemes} (X ,\; \mathrm{Spec}\; A) \simeq \mathrm{Hom}_{\rm CRing^{op}}(\mathcal{O}(X) ,\; A) \simeq \mathrm{Hom}_{\rm CRing}(A,\; \mathcal{O}(X))</math>

Спектр полагается правым сопряжённым, так как склейки аффинных схем могут порождать схемы, не являющиеся аффинными. Склейка схем по пустой подсхеме является копределом в категории схем. Так как <math>\mathrm{CRing}^{op}</math> кополна, то при условии левой сопряжённости спектра любая склейка аффинных схем была бы аффинной, и нетривиальная (не сводящаяся к теории колец) теория схем просто не могла бы существовать. В свете сказанного отметим также, что, хотя диаграмма склейки аффинных схем по подсхеме лежит в кополной категории аффинных схем, её предел требуется вычислять в большей категории — категории всех схем. Это поучительный пример того, что функтор вложения категорий не обязан сохранять пределы.

Существование приведённых выше сопряженных функторов позволяет описать морфизмы из произвольной схемы в аффинную при помощи гомоморфизмов колец. Например, поскольку <math>\mathbb Z</math> — начальный объект категории коммутативных колец, <math>\mathrm{Spec}\; \mathbb Z</math> является терминальным объектом категории схем.

Категория схем имеет конечные произведения, однако при их использовании нужно быть осторожным, так как топологическое пространство, соответствующее схеме <math>(X,\mathcal O_X)\times (Y,\mathcal O_Y)</math> не всегда изоморфно топологическому пространству <math>X\times Y</math>, а часто имеет «больше» точек. Например, если K — поле из девяти элементов, то:

<math>\mathrm{Spec}\; K\times \mathrm{Spec}\; K\cong \mathrm{Spec}\; K\otimes_{\mathbb Z}K\cong \mathrm{Spec}\; K\times K</math> —

состоит из двух точек, тогда как Spec K состоит из одной точки (нулевого идеала).

Для фиксированной схемы S категория схем над S имеет также расслоённые произведения, а из того, что она имеет терминальный объект S следует, что в ней существуют все конечные пределы, то есть категория схем над данной схемой является конечно полной.

Второе определение схем

В алгебраической геометрии схемы обычно определяют приведённым выше способом. Однако в некоторых её приложениях (например, в теории линейных алгебраических групп) более полезен другой подход, значительно более абстрактный и требующий хорошего знания теории категорий. На этом языке схема определяется не как геометрический объект, а как функтор из категории колец. Мы не будем здесь рассматривать этот подход подробно, за деталями обращайтесь к книге.

Аффинная схема <math>\mathrm{Spec}\; A</math> — это представимый функтор <math>\mathrm{Spec}\; A\colon \mathrm{CRing} \to \mathrm{Set}</math>:

<math>(\mathrm{Spec}\; A)(R) = \text{Hom}(A,R)</math>

Среди всех функторов выделяется особенно важный и удобный для изучения класс, называемый схемами. А именно, схема <math>X</math> — это функтор <math>X\colon \mathrm{CRing} \to \mathrm{Set}</math>, являющийся пучком множеств относительно топологии Гротендика, порождённой открытыми по Зарисскому эпиморфизмами колец, и покрывающийся открытыми по Зарисскому отображениями аффинных схем в категории функторов <math>\left[ \mathcal{R}ing; \mathcal{S}et \right]</math>. Схемы, не являющиеся аффинными, являются непредставимыми функторами на категории колец. Морфизм схем определяется как естественное преобразование соответствующих функторов. Согласно лемме Йонеды,

<math>X(A) = \left[ (A;\cdot) ; X\right] = \left[ \mathrm{Spec}A ; X\right]</math>

Это утверждение устанавливает связь с приведённой выше геометрической теорией схем, так как основная теорема о морфизмах схем утверждает, что функтор

<math>Y\colon \mathrm{Schemes} \to \left[ \mathrm{Aff}^{op} ; \mathrm{Set} \right]</math>

<math>Y(X) = \left( \cdot ; X \right)</math>

является вполне унивалентным. При этом образ вложения — в точности те функторы на аффинных схемах, которые удовлетворяют указанным выше условиям.

Примеры

1. Аффинная прямая <math>O</math> — забывающий функтор <math>O\colon \mathrm{CRing} \to \mathrm{Set}</math>, сопоставляющий каждому кольцу его подлежащее множество. Структура кольца на нём задаёт структуру кольца на множестве <math>[X;O]</math> для любой схемы <math>X</math>, поэтому <math>[X; O]</math> называется кольцом функций на <math>X</math>. Аффинная прямая — это аффинная схема, она соответствует спектру кольца многочленов <math>\Z[T]</math>.
2. Грассманиан <math>G_{r,n}</math> (<math>n</math> — размерность грассманиана) — это функтор, сопоставляющий кольцу <math>R</math> множество прямых слагаемых <math>P</math> ранга <math>r</math> в модуле <math>R^{r+n}</math>. Стрелке <math>\phi: R\to S</math> сопоставляется отображение <math>P \mapsto P\otimes_R S</math>. В частности, <math>\Bbb{P}_n = G_{1,n}</math> — n-мерное проективное пространство, <math>\Bbb{P}_1</math> — проективная прямая.

Литература

• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах = The Red Book of Varieties and Schemes. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. — ISBN 978-5-94057-195-7.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия = Algebraic Geometry. — М.: Мир, 1981. — 597 с.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1988. — Т. 2. Схемы. Комплексные многообразия. — 304 с. — 5900 экз. — ISBN 5-02-014412-4.
• David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag, 1998 — ISBN 0-387-98637-5.

Ссылки

• Ravi Vakil, [math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf Math 216: Foundations of Algebraic Geometry] (версия 11.06.2013) — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.

Отрывок, характеризующий Схема (математика)

Долохов, в этом году появившийся опять в Москве после своего изгнания и персидских похождений, и ведший роскошную игорную и кутежную жизнь, сблизился с старым петербургским товарищем Курагиным и пользовался им для своих целей.
Анатоль искренно любил Долохова за его ум и удальство. Долохов, которому были нужны имя, знатность, связи Анатоля Курагина для приманки в свое игорное общество богатых молодых людей, не давая ему этого чувствовать, пользовался и забавлялся Курагиным. Кроме расчета, по которому ему был нужен Анатоль, самый процесс управления чужою волей был наслаждением, привычкой и потребностью для Долохова.
Наташа произвела сильное впечатление на Курагина. Он за ужином после театра с приемами знатока разобрал перед Долоховым достоинство ее рук, плеч, ног и волос, и объявил свое решение приволокнуться за нею. Что могло выйти из этого ухаживанья – Анатоль не мог обдумать и знать, как он никогда не знал того, что выйдет из каждого его поступка.
– Хороша, брат, да не про нас, – сказал ему Долохов.
– Я скажу сестре, чтобы она позвала ее обедать, – сказал Анатоль. – А?
– Ты подожди лучше, когда замуж выйдет…
– Ты знаешь, – сказал Анатоль, – j'adore les petites filles: [обожаю девочек:] – сейчас потеряется.
– Ты уж попался раз на petite fille [девочке], – сказал Долохов, знавший про женитьбу Анатоля. – Смотри!
– Ну уж два раза нельзя! А? – сказал Анатоль, добродушно смеясь.


Следующий после театра день Ростовы никуда не ездили и никто не приезжал к ним. Марья Дмитриевна о чем то, скрывая от Наташи, переговаривалась с ее отцом. Наташа догадывалась, что они говорили о старом князе и что то придумывали, и ее беспокоило и оскорбляло это. Она всякую минуту ждала князя Андрея, и два раза в этот день посылала дворника на Вздвиженку узнавать, не приехал ли он. Он не приезжал. Ей было теперь тяжеле, чем первые дни своего приезда. К нетерпению и грусти ее о нем присоединились неприятное воспоминание о свидании с княжной Марьей и с старым князем, и страх и беспокойство, которым она не знала причины. Ей всё казалось, что или он никогда не приедет, или что прежде, чем он приедет, с ней случится что нибудь. Она не могла, как прежде, спокойно и продолжительно, одна сама с собой думать о нем. Как только она начинала думать о нем, к воспоминанию о нем присоединялось воспоминание о старом князе, о княжне Марье и о последнем спектакле, и о Курагине. Ей опять представлялся вопрос, не виновата ли она, не нарушена ли уже ее верность князю Андрею, и опять она заставала себя до малейших подробностей воспоминающею каждое слово, каждый жест, каждый оттенок игры выражения на лице этого человека, умевшего возбудить в ней непонятное для нее и страшное чувство. На взгляд домашних, Наташа казалась оживленнее обыкновенного, но она далеко была не так спокойна и счастлива, как была прежде.
В воскресение утром Марья Дмитриевна пригласила своих гостей к обедни в свой приход Успенья на Могильцах.
– Я этих модных церквей не люблю, – говорила она, видимо гордясь своим свободомыслием. – Везде Бог один. Поп у нас прекрасный, служит прилично, так это благородно, и дьякон тоже. Разве от этого святость какая, что концерты на клиросе поют? Не люблю, одно баловство!
Марья Дмитриевна любила воскресные дни и умела праздновать их. Дом ее бывал весь вымыт и вычищен в субботу; люди и она не работали, все были празднично разряжены, и все бывали у обедни. К господскому обеду прибавлялись кушанья, и людям давалась водка и жареный гусь или поросенок. Но ни на чем во всем доме так не бывал заметен праздник, как на широком, строгом лице Марьи Дмитриевны, в этот день принимавшем неизменяемое выражение торжественности.
Когда напились кофе после обедни, в гостиной с снятыми чехлами, Марье Дмитриевне доложили, что карета готова, и она с строгим видом, одетая в парадную шаль, в которой она делала визиты, поднялась и объявила, что едет к князю Николаю Андреевичу Болконскому, чтобы объясниться с ним насчет Наташи.
После отъезда Марьи Дмитриевны, к Ростовым приехала модистка от мадам Шальме, и Наташа, затворив дверь в соседней с гостиной комнате, очень довольная развлечением, занялась примериваньем новых платьев. В то время как она, надев сметанный на живую нитку еще без рукавов лиф и загибая голову, гляделась в зеркало, как сидит спинка, она услыхала в гостиной оживленные звуки голоса отца и другого, женского голоса, который заставил ее покраснеть. Это был голос Элен. Не успела Наташа снять примериваемый лиф, как дверь отворилась и в комнату вошла графиня Безухая, сияющая добродушной и ласковой улыбкой, в темнолиловом, с высоким воротом, бархатном платье.
– Ah, ma delicieuse! [О, моя прелестная!] – сказала она красневшей Наташе. – Charmante! [Очаровательна!] Нет, это ни на что не похоже, мой милый граф, – сказала она вошедшему за ней Илье Андреичу. – Как жить в Москве и никуда не ездить? Нет, я от вас не отстану! Нынче вечером у меня m lle Georges декламирует и соберутся кое кто; и если вы не привезете своих красавиц, которые лучше m lle Georges, то я вас знать не хочу. Мужа нет, он уехал в Тверь, а то бы я его за вами прислала. Непременно приезжайте, непременно, в девятом часу. – Она кивнула головой знакомой модистке, почтительно присевшей ей, и села на кресло подле зеркала, живописно раскинув складки своего бархатного платья. Она не переставала добродушно и весело болтать, беспрестанно восхищаясь красотой Наташи. Она рассмотрела ее платья и похвалила их, похвалилась и своим новым платьем en gaz metallique, [из газа цвета металла,] которое она получила из Парижа и советовала Наташе сделать такое же.
– Впрочем, вам все идет, моя прелестная, – говорила она.
С лица Наташи не сходила улыбка удовольствия. Она чувствовала себя счастливой и расцветающей под похвалами этой милой графини Безуховой, казавшейся ей прежде такой неприступной и важной дамой, и бывшей теперь такой доброй с нею. Наташе стало весело и она чувствовала себя почти влюбленной в эту такую красивую и такую добродушную женщину. Элен с своей стороны искренно восхищалась Наташей и желала повеселить ее. Анатоль просил ее свести его с Наташей, и для этого она приехала к Ростовым. Мысль свести брата с Наташей забавляла ее.
Несмотря на то, что прежде у нее была досада на Наташу за то, что она в Петербурге отбила у нее Бориса, она теперь и не думала об этом, и всей душой, по своему, желала добра Наташе. Уезжая от Ростовых, она отозвала в сторону свою protegee.
– Вчера брат обедал у меня – мы помирали со смеху – ничего не ест и вздыхает по вас, моя прелесть. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Он сходит с ума, но сходит с ума от любви к вам, моя милая.]
Наташа багрово покраснела услыхав эти слова.
– Как краснеет, как краснеет, ma delicieuse! [моя прелесть!] – проговорила Элен. – Непременно приезжайте. Si vous aimez quelqu'un, ma delicieuse, ce n'est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes promise, je suis sure que votre рromis aurait desire que vous alliez dans le monde en son absence plutot que de deperir d'ennui. [Из того, что вы любите кого нибудь, моя прелестная, никак не следует жить монашенкой. Даже если вы невеста, я уверена, что ваш жених предпочел бы, чтобы вы в его отсутствии выезжали в свет, чем погибали со скуки.]
«Стало быть она знает, что я невеста, стало быть и oни с мужем, с Пьером, с этим справедливым Пьером, думала Наташа, говорили и смеялись про это. Стало быть это ничего». И опять под влиянием Элен то, что прежде представлялось страшным, показалось простым и естественным. «И она такая grande dame, [важная барыня,] такая милая и так видно всей душой любит меня, думала Наташа. И отчего не веселиться?» думала Наташа, удивленными, широко раскрытыми глазами глядя на Элен.
К обеду вернулась Марья Дмитриевна, молчаливая и серьезная, очевидно понесшая поражение у старого князя. Она была еще слишком взволнована от происшедшего столкновения, чтобы быть в силах спокойно рассказать дело. На вопрос графа она отвечала, что всё хорошо и что она завтра расскажет. Узнав о посещении графини Безуховой и приглашении на вечер, Марья Дмитриевна сказала:
– С Безуховой водиться я не люблю и не посоветую; ну, да уж если обещала, поезжай, рассеешься, – прибавила она, обращаясь к Наташе.


Граф Илья Андреич повез своих девиц к графине Безуховой. На вечере было довольно много народу. Но всё общество было почти незнакомо Наташе. Граф Илья Андреич с неудовольствием заметил, что всё это общество состояло преимущественно из мужчин и дам, известных вольностью обращения. M lle Georges, окруженная молодежью, стояла в углу гостиной. Было несколько французов и между ними Метивье, бывший, со времени приезда Элен, домашним человеком у нее. Граф Илья Андреич решился не садиться за карты, не отходить от дочерей и уехать как только кончится представление Georges.
Анатоль очевидно у двери ожидал входа Ростовых. Он, тотчас же поздоровавшись с графом, подошел к Наташе и пошел за ней. Как только Наташа его увидала, тоже как и в театре, чувство тщеславного удовольствия, что она нравится ему и страха от отсутствия нравственных преград между ею и им, охватило ее. Элен радостно приняла Наташу и громко восхищалась ее красотой и туалетом. Вскоре после их приезда, m lle Georges вышла из комнаты, чтобы одеться. В гостиной стали расстанавливать стулья и усаживаться. Анатоль подвинул Наташе стул и хотел сесть подле, но граф, не спускавший глаз с Наташи, сел подле нее. Анатоль сел сзади.
M lle Georges с оголенными, с ямочками, толстыми руками, в красной шали, надетой на одно плечо, вышла в оставленное для нее пустое пространство между кресел и остановилась в ненатуральной позе. Послышался восторженный шопот. M lle Georges строго и мрачно оглянула публику и начала говорить по французски какие то стихи, где речь шла о ее преступной любви к своему сыну. Она местами возвышала голос, местами шептала, торжественно поднимая голову, местами останавливалась и хрипела, выкатывая глаза.
– Adorable, divin, delicieux! [Восхитительно, божественно, чудесно!] – слышалось со всех сторон. Наташа смотрела на толстую Georges, но ничего не слышала, не видела и не понимала ничего из того, что делалось перед ней; она только чувствовала себя опять вполне безвозвратно в том странном, безумном мире, столь далеком от прежнего, в том мире, в котором нельзя было знать, что хорошо, что дурно, что разумно и что безумно. Позади ее сидел Анатоль, и она, чувствуя его близость, испуганно ждала чего то.
После первого монолога всё общество встало и окружило m lle Georges, выражая ей свой восторг.
– Как она хороша! – сказала Наташа отцу, который вместе с другими встал и сквозь толпу подвигался к актрисе.
– Я не нахожу, глядя на вас, – сказал Анатоль, следуя за Наташей. Он сказал это в такое время, когда она одна могла его слышать. – Вы прелестны… с той минуты, как я увидал вас, я не переставал….
– Пойдем, пойдем, Наташа, – сказал граф, возвращаясь за дочерью. – Как хороша!
Наташа ничего не говоря подошла к отцу и вопросительно удивленными глазами смотрела на него.
После нескольких приемов декламации m lle Georges уехала и графиня Безухая попросила общество в залу.
Граф хотел уехать, но Элен умоляла не испортить ее импровизированный бал. Ростовы остались. Анатоль пригласил Наташу на вальс и во время вальса он, пожимая ее стан и руку, сказал ей, что она ravissante [обворожительна] и что он любит ее. Во время экосеза, который она опять танцовала с Курагиным, когда они остались одни, Анатоль ничего не говорил ей и только смотрел на нее. Наташа была в сомнении, не во сне ли она видела то, что он сказал ей во время вальса. В конце первой фигуры он опять пожал ей руку. Наташа подняла на него испуганные глаза, но такое самоуверенно нежное выражение было в его ласковом взгляде и улыбке, что она не могла глядя на него сказать того, что она имела сказать ему. Она опустила глаза.
– Не говорите мне таких вещей, я обручена и люблю другого, – проговорила она быстро… – Она взглянула на него. Анатоль не смутился и не огорчился тем, что она сказала.
– Не говорите мне про это. Что мне зa дело? – сказал он. – Я говорю, что безумно, безумно влюблен в вас. Разве я виноват, что вы восхитительны? Нам начинать.
Наташа, оживленная и тревожная, широко раскрытыми, испуганными глазами смотрела вокруг себя и казалась веселее чем обыкновенно. Она почти ничего не помнила из того, что было в этот вечер. Танцовали экосез и грос фатер, отец приглашал ее уехать, она просила остаться. Где бы она ни была, с кем бы ни говорила, она чувствовала на себе его взгляд. Потом она помнила, что попросила у отца позволения выйти в уборную оправить платье, что Элен вышла за ней, говорила ей смеясь о любви ее брата и что в маленькой диванной ей опять встретился Анатоль, что Элен куда то исчезла, они остались вдвоем и Анатоль, взяв ее за руку, нежным голосом сказал: