Сходимость в Lp

Поделись знанием:
(перенаправлено с «Сходимость в L1»)
Перейти к: навигация, поиск

Сходи́мость в <math>L^p</math> в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.



Определение

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — пространство с мерой. Тогда пространство <math>L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> измеримых функций, таких что их <math>p</math>-я степень, где <math>p \geqslant 1</math>, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

<math>d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}</math>.

Пусть дана последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p</math>. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в <math>L^p</math> к функции <math>f \in L^p</math>, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

<math>\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0</math>.

Пишут: <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math>. Иногда также используют обозначение <math>f(x)=\mathop{\mathrm{l.i.m.}}_{n\to\infty} f_n(x)</math> — от англ.  «limit in mean» .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> сходится к <math>X</math> из того же пространства, если

<math>\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0</math>.

Пишут: <math>X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X</math>.

Терминология

  • Сходимость в пространстве <math>L^1</math> называется сходимостью в среднем.
  • Сходимость в пространстве <math>L^2</math> называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в <math>L^p</math>

  • Единственность предела. Если <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math> и <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g</math>, то <math>f = g</math> <math>\mu</math>-почти всюду (<math>\mathbb{P}</math>-почти наверное).
  • Пространство <math>L^p</math> полно. Если <math>\|f_n-f_m\|_p \to 0</math> при <math>\min(n,m) \to \infty</math>, то существует <math>f \in L^p</math>, такой что <math>f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} f</math>.

Напишите отзыв о статье "Сходимость в Lp"

Отрывок, характеризующий Сходимость в Lp

– Mais a propos de votre famille,[Кстати о вашей семье,] – сказала она, – знаете ли, что ваша дочь с тех пор, как выезжает, fait les delices de tout le monde. On la trouve belle, comme le jour. [составляет восторг всего общества. Ее находят прекрасною, как день.]
Князь наклонился в знак уважения и признательности.
– Я часто думаю, – продолжала Анна Павловна после минутного молчания, подвигаясь к князю и ласково улыбаясь ему, как будто выказывая этим, что политические и светские разговоры кончены и теперь начинается задушевный, – я часто думаю, как иногда несправедливо распределяется счастие жизни. За что вам судьба дала таких двух славных детей (исключая Анатоля, вашего меньшого, я его не люблю, – вставила она безапелляционно, приподняв брови) – таких прелестных детей? А вы, право, менее всех цените их и потому их не стоите.
И она улыбнулась своею восторженною улыбкой.
– Que voulez vous? Lafater aurait dit que je n'ai pas la bosse de la paterienite, [Чего вы хотите? Лафатер сказал бы, что у меня нет шишки родительской любви,] – сказал князь.
– Перестаньте шутить. Я хотела серьезно поговорить с вами. Знаете, я недовольна вашим меньшим сыном. Между нами будь сказано (лицо ее приняло грустное выражение), о нем говорили у ее величества и жалеют вас…
Князь не отвечал, но она молча, значительно глядя на него, ждала ответа. Князь Василий поморщился.
– Что вы хотите, чтоб я делал! – сказал он наконец. – Вы знаете, я сделал для их воспитания все, что может отец, и оба вышли des imbeciles. [дураки.] Ипполит, по крайней мере, покойный дурак, а Анатоль – беспокойный. Вот одно различие, – сказал он, улыбаясь более неестественно и одушевленно, чем обыкновенно, и при этом особенно резко выказывая в сложившихся около его рта морщинах что то неожиданно грубое и неприятное.
– И зачем родятся дети у таких людей, как вы? Ежели бы вы не были отец, я бы ни в чем не могла упрекнуть вас, – сказала Анна Павловна, задумчиво поднимая глаза.