Сходимость почти всюду

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Определение

Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> пространство с мерой, и <math>f_n, f:X \to \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}</math>. Говорят, что <math>\{f_n\}</math> сходится почти всюду, и пишут <math>f_n \to f</math> <math>\mu</math>-п.в., если

<math>\mu \left(\{x \in X \mid \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \not= f(x)\}\right) = 0</math>.

Терминология теории вероятностей

Если <math>(X,\mathcal{F},\mu) = (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) </math> есть вероятностное пространство, и <math>Y_n,Y</math> — случайные величины, такие что

<math>\mathbb{P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim\limits_{n \to \infty} Y_n(\omega) = Y(\omega)\}\right) = 1</math>,

то говорят, что последовательность <math>\{Y_n\}</math> схо́дится почти́ наве́рное к <math>Y</math>.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
• Пусть <math>f_n \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)\; \forall n \in \mathbb{N}</math>, где <math>1 \le p < \infty</math>, и <math>\{f_n\}</math> сходится почти всюду к <math>f</math>. Пусть также существует функция <math> g\in L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math> такая, что <math>|f_n(x)|\leq |g(x)|</math> для всех <math>n</math> и почти всех <math>x\in X</math> (суммируемая мажоранта). Тогда <math>f \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)</math>, и <math>f_n \to f</math> в <math>L^p</math>. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в <math>L^p</math>. Например, последовательность функций <math>n\chi_{[0,1/n]}</math> сходится к 0 почти всюду на <math>[0,1]</math>, но не сходится в <math>L^1[0,1]</math>.
• Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере, если мера конечна (по вероятности). Для пространств с бесконечной мерой это неверно

См. также

• Почти всюду

Отрывок, характеризующий Сходимость почти всюду

Судя по умеренно спокойному и дружелюбному тону, с которым говорил французский император, Балашев был твердо убежден, что он желает мира и намерен вступить в переговоры.
– Sire! L'Empereur, mon maitre, [Ваше величество! Император, государь мой,] – начал Балашев давно приготовленную речь, когда Наполеон, окончив свою речь, вопросительно взглянул на русского посла; но взгляд устремленных на него глаз императора смутил его. «Вы смущены – оправьтесь», – как будто сказал Наполеон, с чуть заметной улыбкой оглядывая мундир и шпагу Балашева. Балашев оправился и начал говорить. Он сказал, что император Александр не считает достаточной причиной для войны требование паспортов Куракиным, что Куракин поступил так по своему произволу и без согласия на то государя, что император Александр не желает войны и что с Англией нет никаких сношений.
– Еще нет, – вставил Наполеон и, как будто боясь отдаться своему чувству, нахмурился и слегка кивнул головой, давая этим чувствовать Балашеву, что он может продолжать.
Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.