Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

<math>\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S</math>

где <math>A_n, E_n</math> определяются как коэффициенты разложения:

<math>\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},

</math>

<math>\sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-\alpha},

</math>

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S,</math> где <math> s_j = a_1 + \cdots + a_j</math> — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при <math>k \geq 0</math> и не являются регулярными при <math>k < 0</math>. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k^' при k^' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> является (C, k)-сходящимся, то <math>a_n = o(n^k)</math>.

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример

Пусть a_n = (-1)ⁿ⁺¹ для n ≥ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

<math>1, -1, 1, -1, \ldots.</math>

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид:

<math>1, 0, 1, 0, \ldots,</math>

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

<math>\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,</math>

и в общей сложности

<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.</math>

Поэтому ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

Ссылки

• [planetmath.org/encyclopedia/CesaroSummability.html Сходимость по Чезаро] (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .

Отрывок, характеризующий Сходимость по Чезаро

Пьера поразила скромность маленького, хотя и чистенького домика после тех блестящих условий, в которых последний раз он видел своего друга в Петербурге. Он поспешно вошел в пахнущую еще сосной, не отштукатуренную, маленькую залу и хотел итти дальше, но Антон на цыпочках пробежал вперед и постучался в дверь.
– Ну, что там? – послышался резкий, неприятный голос.
– Гость, – отвечал Антон.
– Проси подождать, – и послышался отодвинутый стул. Пьер быстрыми шагами подошел к двери и столкнулся лицом к лицу с выходившим к нему, нахмуренным и постаревшим, князем Андреем. Пьер обнял его и, подняв очки, целовал его в щеки и близко смотрел на него.
– Вот не ждал, очень рад, – сказал князь Андрей. Пьер ничего не говорил; он удивленно, не спуская глаз, смотрел на своего друга. Его поразила происшедшая перемена в князе Андрее. Слова были ласковы, улыбка была на губах и лице князя Андрея, но взгляд был потухший, мертвый, которому, несмотря на видимое желание, князь Андрей не мог придать радостного и веселого блеска. Не то, что похудел, побледнел, возмужал его друг; но взгляд этот и морщинка на лбу, выражавшие долгое сосредоточение на чем то одном, поражали и отчуждали Пьера, пока он не привык к ним.
При свидании после долгой разлуки, как это всегда бывает, разговор долго не мог остановиться; они спрашивали и отвечали коротко о таких вещах, о которых они сами знали, что надо было говорить долго. Наконец разговор стал понемногу останавливаться на прежде отрывочно сказанном, на вопросах о прошедшей жизни, о планах на будущее, о путешествии Пьера, о его занятиях, о войне и т. д. Та сосредоточенность и убитость, которую заметил Пьер во взгляде князя Андрея, теперь выражалась еще сильнее в улыбке, с которою он слушал Пьера, в особенности тогда, когда Пьер говорил с одушевлением радости о прошедшем или будущем. Как будто князь Андрей и желал бы, но не мог принимать участия в том, что он говорил. Пьер начинал чувствовать, что перед князем Андреем восторженность, мечты, надежды на счастие и на добро не приличны. Ему совестно было высказывать все свои новые, масонские мысли, в особенности подновленные и возбужденные в нем его последним путешествием. Он сдерживал себя, боялся быть наивным; вместе с тем ему неудержимо хотелось поскорей показать своему другу, что он был теперь совсем другой, лучший Пьер, чем тот, который был в Петербурге.
– Я не могу вам сказать, как много я пережил за это время. Я сам бы не узнал себя.
– Да, много, много мы изменились с тех пор, – сказал князь Андрей.
– Ну а вы? – спрашивал Пьер, – какие ваши планы?
– Планы? – иронически повторил князь Андрей. – Мои планы? – повторил он, как бы удивляясь значению такого слова. – Да вот видишь, строюсь, хочу к будущему году переехать совсем…
Пьер молча, пристально вглядывался в состаревшееся лицо (князя) Андрея.
– Нет, я спрашиваю, – сказал Пьер, – но князь Андрей перебил его: