Сходимость по Эйлеру
Поделись знанием:
В балагане, в который поступил Пьер и в котором он пробыл четыре недели, было двадцать три человека пленных солдат, три офицера и два чиновника.
Все они потом как в тумане представлялись Пьеру, но Платон Каратаев остался навсегда в душе Пьера самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего русского, доброго и круглого. Когда на другой день, на рассвете, Пьер увидал своего соседа, первое впечатление чего то круглого подтвердилось вполне: вся фигура Платона в его подпоясанной веревкою французской шинели, в фуражке и лаптях, была круглая, голова была совершенно круглая, спина, грудь, плечи, даже руки, которые он носил, как бы всегда собираясь обнять что то, были круглые; приятная улыбка и большие карие нежные глаза были круглые.
Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.
Определение
Пусть дан числовой ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n.</math> Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:[1]
- <math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\Delta ^{k} a_{0}}{2^{k+1}} = s_{e}(A)</math>
Пример
- Рассмотрим ряд <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} 2^{k}</math>. Последовательностями разностей будут <math>1, 2, 4, 8, 16, ...</math>, <math>-1, -2, -4, -8, ...</math>, <math>1, 2, 4, 8, ...</math>, <math>-1, -2, -4, -8, ...</math>, преобразование Эйлера приводит к ряду <math>\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + ... = \frac{1}{3}</math>.
Свойства
- Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным[1].
См. также
Напишите отзыв о статье "Сходимость по Эйлеру"
Примечания
- ↑ 1 2 Воробьев, 1986, с. 306.
Литература
- Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.
Отрывок, характеризующий Сходимость по Эйлеру
Наружи слышались где то вдалеке плач и крики, и сквозь щели балагана виднелся огонь; но в балагане было тихо и темно. Пьер долго не спал и с открытыми глазами лежал в темноте на своем месте, прислушиваясь к мерному храпенью Платона, лежавшего подле него, и чувствовал, что прежде разрушенный мир теперь с новой красотой, на каких то новых и незыблемых основах, воздвигался в его душе.В балагане, в который поступил Пьер и в котором он пробыл четыре недели, было двадцать три человека пленных солдат, три офицера и два чиновника.
Все они потом как в тумане представлялись Пьеру, но Платон Каратаев остался навсегда в душе Пьера самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего русского, доброго и круглого. Когда на другой день, на рассвете, Пьер увидал своего соседа, первое впечатление чего то круглого подтвердилось вполне: вся фигура Платона в его подпоясанной веревкою французской шинели, в фуражке и лаптях, была круглая, голова была совершенно круглая, спина, грудь, плечи, даже руки, которые он носил, как бы всегда собираясь обнять что то, были круглые; приятная улыбка и большие карие нежные глаза были круглые.
