Числовой ряд

Числовой ряд — числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов:

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.

Определение

Пусть <math>\{a_i\}_{i=1}^{\infty}</math> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

<math>\{s_k\}_{k=1}^{\infty},</math>

каждый элемент которой представляет собой сумму первых k членов исходной последовательности, называемой частичной суммой вида:

<math>s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.</math>

Рядом называется совокупность этих двух последовательностей. Вообще, для обозначения ряда используется символ:

<math>\sum_{i=1}^{\infty}a_i,</math>

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
• числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел <math>S</math> последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

<math>S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i,</math>

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> и <math>\sum_{n=0}^\infty b_n</math>. Тогда:

• Их суммой называется ряд <math>\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n)</math>
• Их произведением по Коши называется ряд <math>\sum c_n</math>, где <math> c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math>

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Критерий абсолютной сходимости

Ряд из действительных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда: ряд из положительных его членов и ряд из отрицательных членов.

Литература

• В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Отрывок, характеризующий Числовой ряд

– А вы что ж? тоже позавтракать? Порядочно кормят, – продолжал Телянин. – Давайте же.
Он протянул руку и взялся за кошелек. Ростов выпустил его. Телянин взял кошелек и стал опускать его в карман рейтуз, и брови его небрежно поднялись, а рот слегка раскрылся, как будто он говорил: «да, да, кладу в карман свой кошелек, и это очень просто, и никому до этого дела нет».
– Ну, что, юноша? – сказал он, вздохнув и из под приподнятых бровей взглянув в глаза Ростова. Какой то свет глаз с быстротою электрической искры перебежал из глаз Телянина в глаза Ростова и обратно, обратно и обратно, всё в одно мгновение.
– Подите сюда, – проговорил Ростов, хватая Телянина за руку. Он почти притащил его к окну. – Это деньги Денисова, вы их взяли… – прошептал он ему над ухом.
– Что?… Что?… Как вы смеете? Что?… – проговорил Телянин.
Но эти слова звучали жалобным, отчаянным криком и мольбой о прощении. Как только Ростов услыхал этот звук голоса, с души его свалился огромный камень сомнения. Он почувствовал радость и в то же мгновение ему стало жалко несчастного, стоявшего перед ним человека; но надо было до конца довести начатое дело.
– Здесь люди Бог знает что могут подумать, – бормотал Телянин, схватывая фуражку и направляясь в небольшую пустую комнату, – надо объясниться…
– Я это знаю, и я это докажу, – сказал Ростов.
– Я…
Испуганное, бледное лицо Телянина начало дрожать всеми мускулами; глаза всё так же бегали, но где то внизу, не поднимаясь до лица Ростова, и послышались всхлипыванья.
– Граф!… не губите молодого человека… вот эти несчастные деньги, возьмите их… – Он бросил их на стол. – У меня отец старик, мать!…
Ростов взял деньги, избегая взгляда Телянина, и, не говоря ни слова, пошел из комнаты. Но у двери он остановился и вернулся назад. – Боже мой, – сказал он со слезами на глазах, – как вы могли это сделать?
– Граф, – сказал Телянин, приближаясь к юнкеру.
– Не трогайте меня, – проговорил Ростов, отстраняясь. – Ежели вам нужда, возьмите эти деньги. – Он швырнул ему кошелек и выбежал из трактира.


Вечером того же дня на квартире Денисова шел оживленный разговор офицеров эскадрона.
– А я говорю вам, Ростов, что вам надо извиниться перед полковым командиром, – говорил, обращаясь к пунцово красному, взволнованному Ростову, высокий штаб ротмистр, с седеющими волосами, огромными усами и крупными чертами морщинистого лица.
Штаб ротмистр Кирстен был два раза разжалован в солдаты зa дела чести и два раза выслуживался.
– Я никому не позволю себе говорить, что я лгу! – вскрикнул Ростов. – Он сказал мне, что я лгу, а я сказал ему, что он лжет. Так с тем и останется. На дежурство может меня назначать хоть каждый день и под арест сажать, а извиняться меня никто не заставит, потому что ежели он, как полковой командир, считает недостойным себя дать мне удовлетворение, так…