Мера множества

Ме́ра мно́жества — неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством аддитивности — мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.

Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств <math>\R^n</math>, обобщающая понятие объёма <math>(n=3)</math>, площади <math>(n=2)</math> или длины <math>(n=1)</math> на случай множеств, более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.

Определения

Пусть задано множество <math>X</math> с некоторым выделенным классом подмножеств <math>\mathcal{F}</math>, предполагается, что данный класс подмножеств является иногда кольцом множеств или алгеброй множеств, в наиболее общем случае — полукольцом множеств.

Функция <math>\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\;\infty]</math> называется мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. <math>\mu(\varnothing)=0</math> — мера пустого множества равна нулю;
2. Для любых непересекающихся множеств <math>A,B\in\mathcal{F},</math> <math>A\cap B=\varnothing</math>

   <math>\mu(A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)</math> — мера объединения непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств (аддитивность, конечная аддитивность).

Первая аксиома является удобной, но в некотором смысле «избыточной»: достаточно предположить что существует хотя бы одно множество с конечной мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось).

Непосредственно из второй аксиомы (в случае кольца множеств) следует, что мера объединения любого конечного числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств:

<math>\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right)=\sum\limits_{i=1}^n \mu(A_i)</math>.

В случае определения над полукольцом множеств данное свойство конечной аддитивности обычно принимается вместо второй аксиомы, так как из попарной аддитивности конечная аддитивность в общем случае не следует.

Счётно-аддитивная мера

Из (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для счетного объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых счетно-аддитивными мерами.

Пусть задано множество <math>X</math> с выделенной <math>\sigma</math>-алгеброй <math>\mathcal{F}</math>.

Функция <math>\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\;\infty]</math> называется счётно-аддитивной (или <math>\sigma</math>-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. <math>\mu(\varnothing)=0.</math>
2. (<math>\sigma</math>-аддитивность) Если <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F}</math> — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из <math>\mathcal{F}</math>, то есть <math>E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j</math>, то

<math>\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n)</math>.

Замечания

• Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.
• Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
• Если мера всего пространства конечна, то есть <math>\mu(X)<\infty</math>, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.

Измеримые и неизмеримые множества

• Обычно измеримые относительно заданной меры множества составляют собственный подкласс в классе всех подмножеств пространства <math>X</math>. И хотя существует несколько общих схем, позволяющих продолжать меры на бо́льшие классы измеримых множеств, иногда продолжение меры возможно лишь ценой утраты уникальных свойств исходной меры. Например, мера Лебега в конечномерных евклидовых пространствах является инвариантной относительно движений этого пространства. Всякое продолжение меры Лебега на класс всех подмножеств евклидова пространства уже не может быть инвариантным даже относительно одних только сдвигов (смотри Пример неизмеримого множества). Так что с практической точки зрения такие продолжения теряют всякую ценность.

• На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с Борелевской <math>\sigma</math>-алгебры, на множество всех ограниченных подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры и такую, что конгруэнтные множества имеют равную меру. Начиная с размерности 3, это сделать невозможно.

Связанные определения

• Тройка <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> называется пространством с мерой, если <math>(X,\;\mathcal{F})</math> есть измеримое пространство, а <math>\mu\colon\mathcal{F}\to\R</math> — определённая на нём мера.
• Если <math>\mu</math> является вероятностной мерой, то такое пространство с мерой называется вероятностным пространством.

Свойства

Из определения следует, что мера обладает как минимум следующими свойствами (предполагается, что мера задана как минимум на полукольце множеств):

• Мера пустого множества равна нулю

  <math>\mu(\varnothing)=0</math>

  • Это свойство либо предполагается в определении меры в качестве аксиомы, либо предполагается, что существует хотя бы одно множество, мера которого конечна. Непосредственно из этого и следует, что мера пустого множества должна быть равна нулю (иначе добавление пустого множества к множеству конечной меры увеличит меру этого множества, хотя множество при этом не изменится). Случай бесконечности меры всех множеств не представляет никакого интереса и практического смысла. Поэтому наличие множеств конечной меры подразумевается изначально.
  • Из равенства меры множества нулю в общем случае не следует, что это множество пусто. Принято говорить о множествах меры ноль.

• Монотонность — мера подмножества не больше меры самого множества

  <math> A \subseteq B \Rightarrow \mu(A)\leqslant\mu(B)</math>

Это интуитивно понятное свойство — чем «меньше» множество, тем меньше его «размер».

• Мера разности вложенных множеств равна разности мер этих множеств

  <math> A \subseteq B \Rightarrow \mu(B \backslash A)=\mu(B)-\mu(A)</math>

• Мера суммы (объединения) двух произвольных множеств равна сумме мер этих множеств минус мера их пересечения:

  <math> \mu(A \cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu (A \cap B)\leqslant \mu(A)+\mu(B)</math>

Свойства счётно-аддитивных мер

Счётно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.

• Непрерывность: мера предела бесконечной последовательности вложенных множеств равна пределу последовательности мер этих множеств:

  <math> A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3... \supseteq A=\bigcap^\infty_{n=1} A_n \Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_n)=\mu(A)</math>

  • Здесь предполагается, что мера первого множества конечна.
• Также имеет место данное свойство для «обратной» последовательности множеств

  <math> A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3... \subseteq A=\bigcup^\infty_{n=1} A_n \Rightarrow\lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_n)=\mu(A)</math>

• Счётная монотонность означает, что мера подмножества счётного объединения множеств не больше суммы мер этих множеств:

  <math>A\subseteq \bigcup^\infty_{i=1}A_i \Rightarrow \mu(A) \leqslant \sum^\infty_{i=1} \mu(A_i)</math>

Примеры

• Мера Жордана — пример конечно-аддитивной меры.
• Мера Лебега — пример счетно-аддитивной меры.
• Вероятность — пример конечной меры.
• Мера Хаусдорфа
• Мера Стилтьеса
• Мера Бореля
• Мера Хаара
• Ультрафильтр может быть определён как конечно-аддитивная мера со значениями в множестве из двух элементов <math>\{0,1\}</math>

Продолжение мер

Определять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом.

Продолжение с полукольца

Класс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.

Пусть начальный класс измеримых множеств <math>\mathcal{F}_0</math> имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из <math>\mathcal{F}_0</math> их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из <math>\mathcal{F}_0</math>, то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств <math>C_1, C_2, ..., C_n</math> из <math>\mathcal{F}_0</math>, таких что

<math>A\setminus B = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_n</math>.

Пусть <math>\mathcal{F}</math> означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из <math>\mathcal{F}_0</math>. Класс <math>\mathcal{F}</math> замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим <math>\mathcal{F}_0</math> (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция <math>\mu</math> на <math>\mathcal{F}_0</math> однозначно продолжается до аддитивной функции на <math>\mathcal{F}</math>, тогда и только тогда, когда её значения согласованы на <math>\mathcal{F}_0</math>. Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств <math>A_1, A_2, ... , A_n</math> и <math>B_1, B_2, ..., B_m</math> из <math>\mathcal{F}_0</math>, если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:

Если <math>\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i = \bigcup\limits_{j=1}^{m}B_j</math>, то <math>\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(A_i) = \sum\limits_{j=1}^{m}\mu(B_j)</math>.

Пример

Пусть <math>\mathcal{F}_1</math> и <math>\mathcal{F}_2</math> — классы измеримых множеств на пространствах <math>X_1</math> и <math>X_2</math>, имеющие структуру полукольца. Множества вида <math>A\times B</math>, где <math>A\in \mathcal{F}_1</math>, <math>B\in \mathcal{F}_2</math> образуют полукольцо <math>\mathcal{F}</math> множеств на пространстве <math>X = X_1\times X_2</math>.

Если на <math>\mathcal{F}_1</math> и <math>\mathcal{F}_2</math> заданы меры <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math>, то на <math>\mathcal{F}</math> определена аддитивная функция <math>\mu(A\times B) = \mu_1(A)\mu_2(B)</math>, удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее <math>\mathcal{F}</math>, называется прямым произведением мер <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math> и обозначается <math>\mu = \mu_1 \otimes \mu_2</math>. Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера <math>\mu</math> будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини).

Вариации и обобщения

• Сигма-конечная мера
• Заряд (теория меры)
• Термин «мера» может означать любую конечно-аддитивную с областью значений абелева полугруппа. Для счётно-аддитивной меры естественная область значений — топологическая абелева полугруппа (топология нужна для того, чтобы можно было говорить о сходимости ряда из мер счётного числа измеримых частей, на которые в определении счётной аддитивности разбивается измеримое множество).
  • Примером нечисловой меры является мера со значениями в линейном пространстве, в частности, проекторонозначная мера, участвующая в геометрической формулировке спектральной теоремы.

Литература

• Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.

• П. Халмош. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953. — 282 с. icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (книга в 2011 году является библиографической редкостью)
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа Наука, 1976.
• Богачев В. И., Основы теории меры, 2-е изд., в двух томах, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва-Ижевск, 2006.
• В. И. Богачев, О. Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ. Издательства: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
• Богачев В. И., Гауссовские меры, Наука, Москва, 1997.
• Богачев В. И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2008.

Отрывок, характеризующий Мера множества

– Полноте смеяться, перестаньте, – закричала Наташа, – всю кровать трясете. Ужасно вы на меня похожи, такая же хохотунья… Постойте… – Она схватила обе руки графини, поцеловала на одной кость мизинца – июнь, и продолжала целовать июль, август на другой руке. – Мама, а он очень влюблен? Как на ваши глаза? В вас были так влюблены? И очень мил, очень, очень мил! Только не совсем в моем вкусе – он узкий такой, как часы столовые… Вы не понимаете?…Узкий, знаете, серый, светлый…
– Что ты врешь! – сказала графиня.
Наташа продолжала:
– Неужели вы не понимаете? Николенька бы понял… Безухий – тот синий, темно синий с красным, и он четвероугольный.
– Ты и с ним кокетничаешь, – смеясь сказала графиня.
– Нет, он франмасон, я узнала. Он славный, темно синий с красным, как вам растолковать…
– Графинюшка, – послышался голос графа из за двери. – Ты не спишь? – Наташа вскочила босиком, захватила в руки туфли и убежала в свою комнату.
Она долго не могла заснуть. Она всё думала о том, что никто никак не может понять всего, что она понимает, и что в ней есть.
«Соня?» подумала она, глядя на спящую, свернувшуюся кошечку с ее огромной косой. «Нет, куда ей! Она добродетельная. Она влюбилась в Николеньку и больше ничего знать не хочет. Мама, и та не понимает. Это удивительно, как я умна и как… она мила», – продолжала она, говоря про себя в третьем лице и воображая, что это говорит про нее какой то очень умный, самый умный и самый хороший мужчина… «Всё, всё в ней есть, – продолжал этот мужчина, – умна необыкновенно, мила и потом хороша, необыкновенно хороша, ловка, – плавает, верхом ездит отлично, а голос! Можно сказать, удивительный голос!» Она пропела свою любимую музыкальную фразу из Херубиниевской оперы, бросилась на постель, засмеялась от радостной мысли, что она сейчас заснет, крикнула Дуняшу потушить свечку, и еще Дуняша не успела выйти из комнаты, как она уже перешла в другой, еще более счастливый мир сновидений, где всё было так же легко и прекрасно, как и в действительности, но только было еще лучше, потому что было по другому.

На другой день графиня, пригласив к себе Бориса, переговорила с ним, и с того дня он перестал бывать у Ростовых.


31 го декабря, накануне нового 1810 года, le reveillon [ночной ужин], был бал у Екатерининского вельможи. На бале должен был быть дипломатический корпус и государь.
На Английской набережной светился бесчисленными огнями иллюминации известный дом вельможи. У освещенного подъезда с красным сукном стояла полиция, и не одни жандармы, но полицеймейстер на подъезде и десятки офицеров полиции. Экипажи отъезжали, и всё подъезжали новые с красными лакеями и с лакеями в перьях на шляпах. Из карет выходили мужчины в мундирах, звездах и лентах; дамы в атласе и горностаях осторожно сходили по шумно откладываемым подножкам, и торопливо и беззвучно проходили по сукну подъезда.
Почти всякий раз, как подъезжал новый экипаж, в толпе пробегал шопот и снимались шапки.
– Государь?… Нет, министр… принц… посланник… Разве не видишь перья?… – говорилось из толпы. Один из толпы, одетый лучше других, казалось, знал всех, и называл по имени знатнейших вельмож того времени.
Уже одна треть гостей приехала на этот бал, а у Ростовых, долженствующих быть на этом бале, еще шли торопливые приготовления одевания.
Много было толков и приготовлений для этого бала в семействе Ростовых, много страхов, что приглашение не будет получено, платье не будет готово, и не устроится всё так, как было нужно.
Вместе с Ростовыми ехала на бал Марья Игнатьевна Перонская, приятельница и родственница графини, худая и желтая фрейлина старого двора, руководящая провинциальных Ростовых в высшем петербургском свете.
В 10 часов вечера Ростовы должны были заехать за фрейлиной к Таврическому саду; а между тем было уже без пяти минут десять, а еще барышни не были одеты.
Наташа ехала на первый большой бал в своей жизни. Она в этот день встала в 8 часов утра и целый день находилась в лихорадочной тревоге и деятельности. Все силы ее, с самого утра, были устремлены на то, чтобы они все: она, мама, Соня были одеты как нельзя лучше. Соня и графиня поручились вполне ей. На графине должно было быть масака бархатное платье, на них двух белые дымковые платья на розовых, шелковых чехлах с розанами в корсаже. Волоса должны были быть причесаны a la grecque [по гречески].
Все существенное уже было сделано: ноги, руки, шея, уши были уже особенно тщательно, по бальному, вымыты, надушены и напудрены; обуты уже были шелковые, ажурные чулки и белые атласные башмаки с бантиками; прически были почти окончены. Соня кончала одеваться, графиня тоже; но Наташа, хлопотавшая за всех, отстала. Она еще сидела перед зеркалом в накинутом на худенькие плечи пеньюаре. Соня, уже одетая, стояла посреди комнаты и, нажимая до боли маленьким пальцем, прикалывала последнюю визжавшую под булавкой ленту.
– Не так, не так, Соня, – сказала Наташа, поворачивая голову от прически и хватаясь руками за волоса, которые не поспела отпустить державшая их горничная. – Не так бант, поди сюда. – Соня присела. Наташа переколола ленту иначе.
– Позвольте, барышня, нельзя так, – говорила горничная, державшая волоса Наташи.
– Ах, Боже мой, ну после! Вот так, Соня.
– Скоро ли вы? – послышался голос графини, – уж десять сейчас.
– Сейчас, сейчас. – А вы готовы, мама?
– Только току приколоть.
– Не делайте без меня, – крикнула Наташа: – вы не сумеете!
– Да уж десять.
На бале решено было быть в половине одиннадцатого, a надо было еще Наташе одеться и заехать к Таврическому саду.
Окончив прическу, Наташа в коротенькой юбке, из под которой виднелись бальные башмачки, и в материнской кофточке, подбежала к Соне, осмотрела ее и потом побежала к матери. Поворачивая ей голову, она приколола току, и, едва успев поцеловать ее седые волосы, опять побежала к девушкам, подшивавшим ей юбку.
Дело стояло за Наташиной юбкой, которая была слишком длинна; ее подшивали две девушки, обкусывая торопливо нитки. Третья, с булавками в губах и зубах, бегала от графини к Соне; четвертая держала на высоко поднятой руке всё дымковое платье.
– Мавруша, скорее, голубушка!
– Дайте наперсток оттуда, барышня.
– Скоро ли, наконец? – сказал граф, входя из за двери. – Вот вам духи. Перонская уж заждалась.
– Готово, барышня, – говорила горничная, двумя пальцами поднимая подшитое дымковое платье и что то обдувая и потряхивая, высказывая этим жестом сознание воздушности и чистоты того, что она держала.
Наташа стала надевать платье.
– Сейчас, сейчас, не ходи, папа, – крикнула она отцу, отворившему дверь, еще из под дымки юбки, закрывавшей всё ее лицо. Соня захлопнула дверь. Через минуту графа впустили. Он был в синем фраке, чулках и башмаках, надушенный и припомаженный.
– Ах, папа, ты как хорош, прелесть! – сказала Наташа, стоя посреди комнаты и расправляя складки дымки.
– Позвольте, барышня, позвольте, – говорила девушка, стоя на коленях, обдергивая платье и с одной стороны рта на другую переворачивая языком булавки.
– Воля твоя! – с отчаянием в голосе вскрикнула Соня, оглядев платье Наташи, – воля твоя, опять длинно!
Наташа отошла подальше, чтоб осмотреться в трюмо. Платье было длинно.
– Ей Богу, сударыня, ничего не длинно, – сказала Мавруша, ползавшая по полу за барышней.
– Ну длинно, так заметаем, в одну минутую заметаем, – сказала решительная Дуняша, из платочка на груди вынимая иголку и опять на полу принимаясь за работу.
В это время застенчиво, тихими шагами, вошла графиня в своей токе и бархатном платье.
– Уу! моя красавица! – закричал граф, – лучше вас всех!… – Он хотел обнять ее, но она краснея отстранилась, чтоб не измяться.
– Мама, больше на бок току, – проговорила Наташа. – Я переколю, и бросилась вперед, а девушки, подшивавшие, не успевшие за ней броситься, оторвали кусочек дымки.
– Боже мой! Что ж это такое? Я ей Богу не виновата…
– Ничего, заметаю, не видно будет, – говорила Дуняша.
– Красавица, краля то моя! – сказала из за двери вошедшая няня. – А Сонюшка то, ну красавицы!…
В четверть одиннадцатого наконец сели в кареты и поехали. Но еще нужно было заехать к Таврическому саду.
Перонская была уже готова. Несмотря на ее старость и некрасивость, у нее происходило точно то же, что у Ростовых, хотя не с такой торопливостью (для нее это было дело привычное), но также было надушено, вымыто, напудрено старое, некрасивое тело, также старательно промыто за ушами, и даже, и так же, как у Ростовых, старая горничная восторженно любовалась нарядом своей госпожи, когда она в желтом платье с шифром вышла в гостиную. Перонская похвалила туалеты Ростовых.
Ростовы похвалили ее вкус и туалет, и, бережа прически и платья, в одиннадцать часов разместились по каретам и поехали.


Наташа с утра этого дня не имела ни минуты свободы, и ни разу не успела подумать о том, что предстоит ей.
В сыром, холодном воздухе, в тесноте и неполной темноте колыхающейся кареты, она в первый раз живо представила себе то, что ожидает ее там, на бале, в освещенных залах – музыка, цветы, танцы, государь, вся блестящая молодежь Петербурга. То, что ее ожидало, было так прекрасно, что она не верила даже тому, что это будет: так это было несообразно с впечатлением холода, тесноты и темноты кареты. Она поняла всё то, что ее ожидает, только тогда, когда, пройдя по красному сукну подъезда, она вошла в сени, сняла шубу и пошла рядом с Соней впереди матери между цветами по освещенной лестнице. Только тогда она вспомнила, как ей надо было себя держать на бале и постаралась принять ту величественную манеру, которую она считала необходимой для девушки на бале. Но к счастью ее она почувствовала, что глаза ее разбегались: она ничего не видела ясно, пульс ее забил сто раз в минуту, и кровь стала стучать у ее сердца. Она не могла принять той манеры, которая бы сделала ее смешною, и шла, замирая от волнения и стараясь всеми силами только скрыть его. И эта то была та самая манера, которая более всего шла к ней. Впереди и сзади их, так же тихо переговариваясь и так же в бальных платьях, входили гости. Зеркала по лестнице отражали дам в белых, голубых, розовых платьях, с бриллиантами и жемчугами на открытых руках и шеях.
Наташа смотрела в зеркала и в отражении не могла отличить себя от других. Всё смешивалось в одну блестящую процессию. При входе в первую залу, равномерный гул голосов, шагов, приветствий – оглушил Наташу; свет и блеск еще более ослепил ее. Хозяин и хозяйка, уже полчаса стоявшие у входной двери и говорившие одни и те же слова входившим: «charme de vous voir», [в восхищении, что вижу вас,] так же встретили и Ростовых с Перонской.
Две девочки в белых платьях, с одинаковыми розами в черных волосах, одинаково присели, но невольно хозяйка остановила дольше свой взгляд на тоненькой Наташе. Она посмотрела на нее, и ей одной особенно улыбнулась в придачу к своей хозяйской улыбке. Глядя на нее, хозяйка вспомнила, может быть, и свое золотое, невозвратное девичье время, и свой первый бал. Хозяин тоже проводил глазами Наташу и спросил у графа, которая его дочь?
– Charmante! [Очаровательна!] – сказал он, поцеловав кончики своих пальцев.
В зале стояли гости, теснясь у входной двери, ожидая государя. Графиня поместилась в первых рядах этой толпы. Наташа слышала и чувствовала, что несколько голосов спросили про нее и смотрели на нее. Она поняла, что она понравилась тем, которые обратили на нее внимание, и это наблюдение несколько успокоило ее.
«Есть такие же, как и мы, есть и хуже нас» – подумала она.
Перонская называла графине самых значительных лиц, бывших на бале.