Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, <math>A \subset B</math> обозначает то же, что и <math>B \supset A.</math>

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

• Плюс: +
• Минус: −
• Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
• Знаки деления: :, /, ∕, ÷
• Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
• Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { },〈 〉
• Знак тождественности: ≡
• Знаки сравнения: <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
• Знак порядка (тильда): ~
• Знак плюс-минус: ±
• Знак корня (радикал): √
• Факториал: !
• Знак интеграла: ∫
• Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в «линейной» текстовой записи формул).

Символ (TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
		Раздел математики
<math>\Rightarrow</math> <math>\rightarrow</math> <math>\supset</math>	⇒ → ⊃	Импликация, следование	<math>A \Rightarrow B</math> означает «если <math>A</math> верно, то <math>B</math> также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначения надмножества, см. ниже.).	<math>x = 2 \Rightarrow x^2 = 4</math> верно, но <math>x^2 = 4 \Rightarrow x = 2</math> неверно (так как <math>x=-2</math> также является решением).
		«влечёт» или «если…, то»
		везде
<math>\Leftrightarrow</math>	⇔	Равносильность	<math>A \Leftrightarrow B</math> означает «<math>A</math> верно тогда и только тогда, когда <math>B</math> верно».	<math>x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y</math>
		«если и только если» или «равносильно»
		везде
<math>\wedge</math>	∧	Конъюнкция	<math>A \wedge B</math> истинно тогда и только тогда, когда <math>A</math> и <math>B</math> оба истинны.	<math>(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)</math>, если <math>n</math> — натуральное число.
		«и»
		Математическая логика
<math>\vee</math>	∨	Дизъюнкция	<math>A\vee B</math> истинно, когда хотя бы одно из условий <math>A</math> и <math>B</math> истинно.	<math>(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3</math>, если <math>n</math> — натуральное число.
		«или»
		Математическая логика
<math display="block">\neg</math>	¬	Отрицание	<math>\neg A</math> истинно тогда и только тогда, когда ложно <math>A</math>.	<math>\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)</math> <math>x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S)</math>
		«не»
		Математическая логика
<math>\forall</math>	∀	Квантор всеобщности	<math>\forall x, P\left( x \right)</math> обозначает «<math>P\left( x \right)</math> верно для всех <math>x</math>».	<math>\forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n</math>
		«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
		Математическая логика
<math>\exists</math>	∃	Квантор существования	<math>\exists x,\;P\left( x \right)</math> означает «существует хотя бы один <math>x</math> такой, что верно <math>P\left( x \right)</math>»	<math>\exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n</math> (подходит число 5)
		«существует»
		Математическая логика
<math>=</math>	=	Равенство	<math>x=y</math> обозначает «<math>x</math> и <math>y</math> обозначают одно и то же значение».	1 + 2 = 6 − 3
		«равно»
		везде
<math>:=</math> <math>:\Leftrightarrow</math> <math>\stackrel{\rm{def}}{=}</math>	:= :⇔	Определение	<math>x := y</math> означает «<math>x</math> по определению равен <math>y</math>». <math>P :\Leftrightarrow Q</math> означает «<math>P</math> по определению равносильно <math>Q</math>»	<math>{\rm ch} \left( x \right) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right)</math> (определение гиперболического косинуса) <math>A \oplus B :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)</math> (определение исключающего «ИЛИ»)
		«равно/равносильно по определению»
		везде
<math>\{,\}</math>	{ }	Множество элементов	<math>\{a,\;b,\;c\}</math> означает множество, элементами которого являются <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>.	<math>\mathbb N = \{1,\;2,\;\ldots \}</math> (множество натуральных чисел)
		«Множество…»
		Теория множеств
<math>\{|\}</math>	{|}	Множество элементов, удовлетворяющих условию	<math>\{x\,|\,P\left( x \right)\}</math> означает множество всех <math>x</math> таких, что верно <math>P\left( x \right)</math>.	<math>\{n\in \mathbb N\,|\,n^2<20\} = \{1,\;2,\;3,\;4\}</math>
		«Множество всех… таких, что верно…»
		Теория множеств
<math>\varnothing</math> <math>\{\}</math>	∅ {}	Пустое множество	<math>\{\}</math> и <math>\varnothing</math> означают множество, не содержащее ни одного элемента.	<math>\{n\in \mathbb N\,|\,1<n^2<4\} = \varnothing</math>
		«Пустое множество»
		Теория множеств
<math>\in</math> <math>\notin</math>	∈ ∉	Принадлежность/непринадлежность к множеству	<math>a\in S</math> означает «<math>a</math> является элементом множества <math>S</math>» <math>a\notin S</math> означает «<math>a</math> не является элементом множества <math>S</math>»	<math>2\in \mathbb N</math> <math>{1\over 2}\notin \mathbb N</math>
		«принадлежит», «из» «не принадлежит»
		Теория множеств
<math>\subseteq</math> <math>\subset</math>	⊆ ⊂	Подмножество	<math>A\subseteq B</math> означает «каждый элемент из <math>A</math> также является элементом из <math>B</math>». <math>A\subset B</math> обычно означает то же, что и <math>A\subseteq B</math>. Однако некоторые авторы используют <math>\subset</math>, чтобы показать строгое включение (то есть <math>\subsetneq</math>).	<math>(A\cap B) \subseteq A</math> <math>\mathbb Q\subseteq \mathbb R</math>
		«является подмножеством», «включено в»
		Теория множеств
<math>\supseteq</math> <math>\supset</math>	⊇ ⊃	Надмножество	<math>A\supseteq B</math> означает «каждый элемент из <math>B</math> также является элементом из <math>A</math>». <math>A\supset B</math> обычно означает то же, что и <math>A\supseteq B</math>. Однако некоторые авторы используют <math>\supset</math>, чтобы показать строгое включение (то есть <math>\supsetneq</math>).	<math>(A\cup B) \supseteq A</math> <math>\mathbb R\supseteq \mathbb Q</math>
		«является надмножеством», «включает в себя»
		Теория множеств
<math>\subsetneq</math>	⊊	Собственное подмножество	<math>A\subsetneq B</math> означает <math>A\subseteq B</math> и <math>A\ne B</math>.	<math>\mathbb N\subsetneq \mathbb Q</math>
		«является собственным подмножеством», «строго включается в»
		Теория множеств
<math>\supsetneq</math>	⊋	Собственное надмножество	<math>A\supsetneq B</math> означает <math>A\supseteq B</math> и <math>A\ne B</math>.	<math>\mathbb Q\supsetneq \mathbb N</math>
		«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
		Теория множеств
<math>\cup</math>	∪	Объединение	<math>A\cup B</math> означает множество элементов, принадлежащих <math>A</math> и <math>B</math>	<math>A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B</math>
		«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
		Теория множеств
<math>\cap</math>	⋂	Пересечение	<math>A\cap B</math> означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и <math>A</math>, и <math>B</math>.	<math>\{x\in \R\,|\,x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}</math>
		"Пересечение … и … ", «…, пересечённое с …»
		Теория множеств
<math>\setminus</math>	\	Разность множеств	<math>A\setminus B</math> означает множество элементов, принадлежащих <math>A</math>, но не принадлежащих <math>B</math>.	<math>\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\} = \{1,\;2\}</math>
		«разность … и …», «минус», «… без …»
		Теория множеств
<math>\to</math>	→	Функция (отображение)	<math>f\colon X \to Y</math> означает функцию <math>f</math> с областью определения <math>X</math> и областью значений <math>Y</math>.	Функция <math>f\colon \mathbb Z \to \mathbb N\cup\{0\}</math>, определённая как <math>f\left( x \right)=x^2</math>
		«из … в …»,
		везде
<math>\mapsto</math>	↦	Отображение	<math>f\colon x \mapsto f\left( x \right)</math> означает, что образом <math>x</math> после применения функции <math>f</math> будет <math>f\left( x \right)</math>.	Функцию, определённую как <math>f\left( x \right)=x^2</math>, можно записать так: <math>f\colon x \mapsto x^2</math>
		«отображается в»
		везде
<math>\mathbb N</math>	N или ℕ	Натуральные числа	<math>\mathbb N</math> означает множество <math>\{1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math> или реже <math>\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math> (в зависимости от ситуации).	<math>\{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb Z\}=\mathbb N</math>
		«Эн»
		Числа
<math>\mathbb Z</math>	Z или ℤ	Целые числа	<math>\mathbb Z</math> означает множество <math>\{\ldots,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math>	<math>\{a,\;-a\,|\,a\in\mathbb N\} \cup \{ 0 \}=\mathbb Z</math>
		«Зед»
		Числа
<math>\mathbb Q</math>	Q или ℚ	Рациональные числа	<math>\mathbb Q</math> означает <math>\left\{\left.{p\over q} \right| p\in \mathbb Z \wedge q\in \mathbb Z\wedge q\ne 0\right\}</math>	<math>3,\!14\in \mathbb Q</math> <math>\pi \notin \mathbb Q</math>
		«Ку» или «Къю»
		Числа
<math>\mathbb R</math>	R или ℝ	Вещественные (действительные) числа	<math>\R</math> означает множество всех пределов последовательностей из <math>\mathbb Q</math>	<math>\pi \in \R</math> <math>i \notin \R</math> (<math>i</math> — мнимая единица: <math>i^2=-1</math>)
		«Эр»
		Числа
<math>\mathbb C</math>	C или ℂ	Комплексные числа	<math>\mathbb C</math> означает множество <math>\{a+b\cdot i\,|\,a\in \R \wedge b\in \R\}</math>	<math>i\in \mathbb C</math>
		«Це»
		Числа
<math>\mathbb H</math>	H или <math>\mathbb H</math>	Кватернионы	<math>\mathbb H</math> означает множество <math>\{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \R \wedge b\in \R \wedge c\in \R \wedge d\in \R\}</math>	<math>i\in \mathbb H</math>
		«Аш»
		Числа
<math><</math> <math>></math>	< >	Сравнение	<math>x<y</math> обозначает, что <math>x</math> строго меньше <math>y</math>. <math>x>y</math> означает, что <math>x</math> строго больше <math>y</math>.	<math>x<y\Leftrightarrow y>x</math>
		«меньше чем», «больше чем»
		Отношение порядка
<math>\leqslant</math> или <math>\leq</math> <math>\geqslant</math> или <math>\geq</math>	⩽ или ≤ ⩾ или ≥	Сравнение	<math>x\leqslant y</math> означает, что <math>x</math> меньше или равен <math>y</math>. <math>x\geqslant y</math> означает, что <math>x</math> больше или равен <math>y</math>.	<math>x\geqslant 1\Rightarrow x^2\geqslant x</math>
		«меньше или равно»; «больше или равно»
		Отношение порядка
<math>\approx</math>	≈	Приблизительное равенство	<math>e\approx 2,\!718</math> с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от <math>e</math> не больше чем на 10−3.	<math>\pi \approx 3,\!1415926</math> с точностью до 10−7.
		«приблизительно равно»
		Числа
<math>\sqrt{}</math>	√	Арифметический квадратный корень	<math>\sqrt x</math> означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт <math>x</math>.	<math>\sqrt 4=2</math> <math>\sqrt {x^2}= \left|x\right|</math>
		«Корень квадратный из …»
		Числа
<math>\infty</math>	∞	Бесконечность	<math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	<math>\lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty</math>
		«Плюс/минус бесконечность»
		Числа
<math>\left|\;\right|</math>	| |	Абсолютная величина (абсолютное значение, модуль) числа, или мощность множества	<math>\left|x\right|</math> обозначает абсолютную величину <math>x</math>. <math>|A|</math> обозначает мощность множества <math>A</math> и равняется, если <math>A</math> конечно, числу элементов <math>A</math>.	<math>\left|a+b \ i\right|=\sqrt {a^2+b^2}</math>
		«Модуль»; «мощность»
		Числа и Теория множеств
<math>\sum</math>	∑	Сумма (набора чисел), сумма ряда	<math>\sum_{k=1}^n a_k</math> означает «сумма <math>a_k</math>, где <math>k</math> принимает значения от 1 до <math>n</math>», то есть <math>a_1+a_2+\ldots+a_n</math>. <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> означает сумму ряда, состоящего из <math>a_k</math>.	<math>\sum_{k=1}^4 k^2=</math> <math>= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2</math> <math>= 30</math>
		«Сумма … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
<math>\prod</math>	∏	Произведение	<math>\prod_{k=1}^n a_k</math> означает «произведение <math>a_k</math> для всех <math>k</math> от 1 до <math>n</math>», то есть <math>a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n</math>	<math>\prod_{k=1}^4 (k+2)=</math> <math>=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360</math>
		«Произведение … по … от … до …»
		Арифметика
<math>!</math>	!	Факториал	<math>n!</math> означает произведение всех натуральных чисел от 1 до <math>n</math> включительно, то есть <math>1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n</math>	<math>n! = \prod_{k=1}^n k = (n-1)!n</math> <math>0! = 1</math> <math>5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120</math>
		«<math>n</math> факториал»
		Комбинаторика
<math>\int dx</math>	∫	Интеграл	<math>\int\limits_a^b f\left( x \right)\, dx</math> означает «интеграл от <math>a</math> до <math>b</math> функции <math>f</math> от <math>x</math> по переменной <math>x</math>».	<math>\int\limits_0^b x^2\, dx = \frac{b^3}{3}</math> <math>\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C</math>
		«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
		Математический анализ
<math>\begin{align} & \frac{df}{dx} \\ & f'\left( x \right)\, \\ \end{align} </math>	df/dx f'(x)	Производная	<math>\frac{df}{dx}</math> или <math>f'\left( x \right)</math> означает «(первая) производная функции <math>f</math> от <math>x</math> по переменной <math>x</math>».	<math>\frac{d \cos x}{dx} = -\sin x</math>
		«Производная … по …»
		Математический анализ
<math>\frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y}</math>	∂f/∂y	Частная производная	<math>\frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y}</math> означает «(первая) частная производная функции <math>f</math> от переменных <math>x, y, z, \ldots</math> по переменной <math>y</math>».	<math>\begin{align} & \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 \cos xy \right) = \\ & = \left. \frac{d}{dy} \left( x^2 \cos xy \right) \right| _{x\,=\,\mathrm{const}} \\ & = -x^3 \sin xy \\ \end{align}</math>
		«Частная производная … по …»
		Математический анализ
<math>\begin{align} & \frac{d^n f}{dx^n} \\ & f^{\left( n \right)} \left( x \right)\, \\ \end{align} </math>	dnf/dxn f(n)(x)	Производная <math>n</math>-го порядка	<math>\frac{d^n f}{dx^n}</math> или <math>f^{\left( n \right)} \left( x \right)</math> (во втором случае если <math>n</math> — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «<math>n</math>-я производная функции <math>f</math> от <math>x</math> по переменной <math>x</math>».	<math>\frac{d^4 \cos x}{dx^4} = \cos x</math>
		«<math>n</math>-я производная … по …»
		Математический анализ

См. также

• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• История математических обозначений
• Список математических аббревиатур
• Список обозначений в физике

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Отрывок, характеризующий Таблица математических символов

– Ах, ничего, – сказал он, как будто ему уже надоел этот всё один и тот же вопрос.
– Папенька скоро приедет?
– Я думаю.
«У них всё то же. Они ничего не знают! Куда мне деваться?», подумал Николай и пошел опять в залу, где стояли клавикорды.
Соня сидела за клавикордами и играла прелюдию той баркароллы, которую особенно любил Денисов. Наташа собиралась петь. Денисов восторженными глазами смотрел на нее.
Николай стал ходить взад и вперед по комнате.
«И вот охота заставлять ее петь? – что она может петь? И ничего тут нет веселого», думал Николай.
Соня взяла первый аккорд прелюдии.
«Боже мой, я погибший, я бесчестный человек. Пулю в лоб, одно, что остается, а не петь, подумал он. Уйти? но куда же? всё равно, пускай поют!»
Николай мрачно, продолжая ходить по комнате, взглядывал на Денисова и девочек, избегая их взглядов.
«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
О! как задрожала эта терция, и как тронулось что то лучшее, что было в душе Ростова. И это что то было независимо от всего в мире, и выше всего в мире. Какие тут проигрыши, и Долоховы, и честное слово!… Всё вздор! Можно зарезать, украсть и всё таки быть счастливым…


Давно уже Ростов не испытывал такого наслаждения от музыки, как в этот день. Но как только Наташа кончила свою баркароллу, действительность опять вспомнилась ему. Он, ничего не сказав, вышел и пошел вниз в свою комнату. Через четверть часа старый граф, веселый и довольный, приехал из клуба. Николай, услыхав его приезд, пошел к нему.
– Ну что, повеселился? – сказал Илья Андреич, радостно и гордо улыбаясь на своего сына. Николай хотел сказать, что «да», но не мог: он чуть было не зарыдал. Граф раскуривал трубку и не заметил состояния сына.
«Эх, неизбежно!» – подумал Николай в первый и последний раз. И вдруг самым небрежным тоном, таким, что он сам себе гадок казался, как будто он просил экипажа съездить в город, он сказал отцу.
– Папа, а я к вам за делом пришел. Я было и забыл. Мне денег нужно.
– Вот как, – сказал отец, находившийся в особенно веселом духе. – Я тебе говорил, что не достанет. Много ли?
– Очень много, – краснея и с глупой, небрежной улыбкой, которую он долго потом не мог себе простить, сказал Николай. – Я немного проиграл, т. е. много даже, очень много, 43 тысячи.
– Что? Кому?… Шутишь! – крикнул граф, вдруг апоплексически краснея шеей и затылком, как краснеют старые люди.
– Я обещал заплатить завтра, – сказал Николай.
– Ну!… – сказал старый граф, разводя руками и бессильно опустился на диван.
– Что же делать! С кем это не случалось! – сказал сын развязным, смелым тоном, тогда как в душе своей он считал себя негодяем, подлецом, который целой жизнью не мог искупить своего преступления. Ему хотелось бы целовать руки своего отца, на коленях просить его прощения, а он небрежным и даже грубым тоном говорил, что это со всяким случается.
Граф Илья Андреич опустил глаза, услыхав эти слова сына и заторопился, отыскивая что то.
– Да, да, – проговорил он, – трудно, я боюсь, трудно достать…с кем не бывало! да, с кем не бывало… – И граф мельком взглянул в лицо сыну и пошел вон из комнаты… Николай готовился на отпор, но никак не ожидал этого.
– Папенька! па…пенька! – закричал он ему вслед, рыдая; простите меня! – И, схватив руку отца, он прижался к ней губами и заплакал.

В то время, как отец объяснялся с сыном, у матери с дочерью происходило не менее важное объяснение. Наташа взволнованная прибежала к матери.
– Мама!… Мама!… он мне сделал…
– Что сделал?
– Сделал, сделал предложение. Мама! Мама! – кричала она. Графиня не верила своим ушам. Денисов сделал предложение. Кому? Этой крошечной девочке Наташе, которая еще недавно играла в куклы и теперь еще брала уроки.
– Наташа, полно, глупости! – сказала она, еще надеясь, что это была шутка.
– Ну вот, глупости! – Я вам дело говорю, – сердито сказала Наташа. – Я пришла спросить, что делать, а вы мне говорите: «глупости»…
Графиня пожала плечами.
– Ежели правда, что мосьё Денисов сделал тебе предложение, то скажи ему, что он дурак, вот и всё.
– Нет, он не дурак, – обиженно и серьезно сказала Наташа.
– Ну так что ж ты хочешь? Вы нынче ведь все влюблены. Ну, влюблена, так выходи за него замуж! – сердито смеясь, проговорила графиня. – С Богом!
– Нет, мама, я не влюблена в него, должно быть не влюблена в него.
– Ну, так так и скажи ему.
– Мама, вы сердитесь? Вы не сердитесь, голубушка, ну в чем же я виновата?
– Нет, да что же, мой друг? Хочешь, я пойду скажу ему, – сказала графиня, улыбаясь.
– Нет, я сама, только научите. Вам всё легко, – прибавила она, отвечая на ее улыбку. – А коли бы видели вы, как он мне это сказал! Ведь я знаю, что он не хотел этого сказать, да уж нечаянно сказал.
– Ну всё таки надо отказать.
– Нет, не надо. Мне так его жалко! Он такой милый.
– Ну, так прими предложение. И то пора замуж итти, – сердито и насмешливо сказала мать.
– Нет, мама, мне так жалко его. Я не знаю, как я скажу.
– Да тебе и нечего говорить, я сама скажу, – сказала графиня, возмущенная тем, что осмелились смотреть, как на большую, на эту маленькую Наташу.
– Нет, ни за что, я сама, а вы слушайте у двери, – и Наташа побежала через гостиную в залу, где на том же стуле, у клавикорд, закрыв лицо руками, сидел Денисов. Он вскочил на звук ее легких шагов.
– Натали, – сказал он, быстрыми шагами подходя к ней, – решайте мою судьбу. Она в ваших руках!
– Василий Дмитрич, мне вас так жалко!… Нет, но вы такой славный… но не надо… это… а так я вас всегда буду любить.
Денисов нагнулся над ее рукою, и она услыхала странные, непонятные для нее звуки. Она поцеловала его в черную, спутанную, курчавую голову. В это время послышался поспешный шум платья графини. Она подошла к ним.
– Василий Дмитрич, я благодарю вас за честь, – сказала графиня смущенным голосом, но который казался строгим Денисову, – но моя дочь так молода, и я думала, что вы, как друг моего сына, обратитесь прежде ко мне. В таком случае вы не поставили бы меня в необходимость отказа.
– Г'афиня, – сказал Денисов с опущенными глазами и виноватым видом, хотел сказать что то еще и запнулся.
Наташа не могла спокойно видеть его таким жалким. Она начала громко всхлипывать.
– Г'афиня, я виноват перед вами, – продолжал Денисов прерывающимся голосом, – но знайте, что я так боготво'ю вашу дочь и всё ваше семейство, что две жизни отдам… – Он посмотрел на графиню и, заметив ее строгое лицо… – Ну п'ощайте, г'афиня, – сказал он, поцеловал ее руку и, не взглянув на Наташу, быстрыми, решительными шагами вышел из комнаты.

На другой день Ростов проводил Денисова, который не хотел более ни одного дня оставаться в Москве. Денисова провожали у цыган все его московские приятели, и он не помнил, как его уложили в сани и как везли первые три станции.
После отъезда Денисова, Ростов, дожидаясь денег, которые не вдруг мог собрать старый граф, провел еще две недели в Москве, не выезжая из дому, и преимущественно в комнате барышень.
Соня была к нему нежнее и преданнее чем прежде. Она, казалось, хотела показать ему, что его проигрыш был подвиг, за который она теперь еще больше любит его; но Николай теперь считал себя недостойным ее.
Он исписал альбомы девочек стихами и нотами, и не простившись ни с кем из своих знакомых, отослав наконец все 43 тысячи и получив росписку Долохова, уехал в конце ноября догонять полк, который уже был в Польше.



После своего объяснения с женой, Пьер поехал в Петербург. В Торжке на cтанции не было лошадей, или не хотел их смотритель. Пьер должен был ждать. Он не раздеваясь лег на кожаный диван перед круглым столом, положил на этот стол свои большие ноги в теплых сапогах и задумался.
– Прикажете чемоданы внести? Постель постелить, чаю прикажете? – спрашивал камердинер.
Пьер не отвечал, потому что ничего не слыхал и не видел. Он задумался еще на прошлой станции и всё продолжал думать о том же – о столь важном, что он не обращал никакого .внимания на то, что происходило вокруг него. Его не только не интересовало то, что он позже или раньше приедет в Петербург, или то, что будет или не будет ему места отдохнуть на этой станции, но всё равно было в сравнении с теми мыслями, которые его занимали теперь, пробудет ли он несколько часов или всю жизнь на этой станции.
Смотритель, смотрительша, камердинер, баба с торжковским шитьем заходили в комнату, предлагая свои услуги. Пьер, не переменяя своего положения задранных ног, смотрел на них через очки, и не понимал, что им может быть нужно и каким образом все они могли жить, не разрешив тех вопросов, которые занимали его. А его занимали всё одни и те же вопросы с самого того дня, как он после дуэли вернулся из Сокольников и провел первую, мучительную, бессонную ночь; только теперь в уединении путешествия, они с особенной силой овладели им. О чем бы он ни начинал думать, он возвращался к одним и тем же вопросам, которых он не мог разрешить, и не мог перестать задавать себе. Как будто в голове его свернулся тот главный винт, на котором держалась вся его жизнь. Винт не входил дальше, не выходил вон, а вертелся, ничего не захватывая, всё на том же нарезе, и нельзя было перестать вертеть его.
Вошел смотритель и униженно стал просить его сиятельство подождать только два часика, после которых он для его сиятельства (что будет, то будет) даст курьерских. Смотритель очевидно врал и хотел только получить с проезжего лишние деньги. «Дурно ли это было или хорошо?», спрашивал себя Пьер. «Для меня хорошо, для другого проезжающего дурно, а для него самого неизбежно, потому что ему есть нечего: он говорил, что его прибил за это офицер. А офицер прибил за то, что ему ехать надо было скорее. А я стрелял в Долохова за то, что я счел себя оскорбленным, а Людовика XVI казнили за то, что его считали преступником, а через год убили тех, кто его казнил, тоже за что то. Что дурно? Что хорошо? Что надо любить, что ненавидеть? Для чего жить, и что такое я? Что такое жизнь, что смерть? Какая сила управляет всем?», спрашивал он себя. И не было ответа ни на один из этих вопросов, кроме одного, не логического ответа, вовсе не на эти вопросы. Ответ этот был: «умрешь – всё кончится. Умрешь и всё узнаешь, или перестанешь спрашивать». Но и умереть было страшно.
Торжковская торговка визгливым голосом предлагала свой товар и в особенности козловые туфли. «У меня сотни рублей, которых мне некуда деть, а она в прорванной шубе стоит и робко смотрит на меня, – думал Пьер. И зачем нужны эти деньги? Точно на один волос могут прибавить ей счастья, спокойствия души, эти деньги? Разве может что нибудь в мире сделать ее и меня менее подверженными злу и смерти? Смерть, которая всё кончит и которая должна притти нынче или завтра – всё равно через мгновение, в сравнении с вечностью». И он опять нажимал на ничего не захватывающий винт, и винт всё так же вертелся на одном и том же месте.
Слуга его подал ему разрезанную до половины книгу романа в письмах m mе Suza. [мадам Сюза.] Он стал читать о страданиях и добродетельной борьбе какой то Аmelie de Mansfeld. [Амалии Мансфельд.] «И зачем она боролась против своего соблазнителя, думал он, – когда она любила его? Не мог Бог вложить в ее душу стремления, противного Его воле. Моя бывшая жена не боролась и, может быть, она была права. Ничего не найдено, опять говорил себе Пьер, ничего не придумано. Знать мы можем только то, что ничего не знаем. И это высшая степень человеческой премудрости».