Тангенциальное ускорение

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: <math>\mathbf a_\tau\ \ </math> или <math>\mathbf a_t\ \ </math>, <math>\mathbf w_\tau\ \ </math>,<math>\mathbf u_\tau\ \ </math> и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная — <math> a_\tau\ \ </math>, обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

где <math>v\ = dl/dt</math> — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение <math>\mathbf e_\tau\ </math>, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

<math>\mathbf a_\tau = \frac{dv}{dt} \mathbf e_\tau.</math>

Вывод

Вывод 1

Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде <math>\mathbf v = v\, \mathbf e_\tau</math> через единичный вектор касательной <math>\mathbf e_\tau</math>:

<math> \mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt}

          = \frac{d (v \, \mathbf e_\tau)}{dt}
          =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dt}
          =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dl} \frac{dl}{dt}
          = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau+ \frac{v^2}{R}\mathbf e_n\ ,

</math> где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение <math>e_n\ </math> для единичного вектора нормали к траектории и <math>l\ </math> — для текущей длины траектории (<math>l = l(t)\ </math>); в последнем переходе также использовано очевидное

и, из геометрических соображений,

<math>\frac{d \mathbf e_\tau}{dl} = \frac {\mathbf e_n}{R}. </math>

Вывод 2

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

изменения направления вектора <math>\mathbf v\ </math> дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по <math>dt\ </math>, которой можно поэтому пренебречь.
изменение длины вектора <math>\mathbf v\ </math> будет отличаться от проекции изменения <math>\mathbf v\ </math> на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора <math>\mathbf v\ </math> к касательной будет не ниже первого порядка по <math>dt\ </math>. Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция <math>\mathbf v\ </math> на касательную при малых <math>dt\ </math> будет практически совпадать с длиной вектора <math>\mathbf v\ </math>, поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых <math>dt\ </math> всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице ^[1].

Замечания

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Напишите отзыв о статье "Тангенциальное ускорение"

Примечания

↑ Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит <math>\mathbf v(t)\ </math>, тогда <math>\mathbf v(t+dt)\ </math> будет, очевидно, составлять с ним — а значит и с ней — малый угол из-за малости <math>dt\ </math>; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем <math>dt\ </math>.

См. также

Нормальное (центростремительное) ускорение

Отрывок, характеризующий Тангенциальное ускорение

– Вы кто? офицер?
– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.

На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.

[1] Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит <math>\mathbf v(t)\ </math>, тогда <math>\mathbf v(t+dt)\ </math> будет, очевидно, составлять с ним — а значит и с ней — малый угол из-за малости <math>dt\ </math>; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем <math>dt\ </math>.

[1]