Тело Кеплера — Пуансо

Тела Кеплера — Пуансо. Каждое из них идентифицируется названием и символом Шлефли в виде {p, q}. Одна из поверхностей тела выделена жёлтым цветом.

Тело Кеплера — Пуансо — тело, представляющее собой правильный звёздчатый многогранник, не являющийся соединением платоновых и звёздчатых тел.

В 1811 году французский математик Огюстен Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела, которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

История

Некоторые из многогранников Кеплера — Пуансо в той или иной форме были известны ещё до Кеплера. Так, изображение малого звёздчатого додекаэдра присутствует в мраморной мозаике, украшающей пол собора Святого Марка в Венеции. Эта мозаика датируется XV веком, авторство иногда приписывается Паоло Уччелло. В XVI веке немецкий ювелир Венцель Ямнитцер в своём труде Perspectiva corporum regularium (рус. Перспективы правильных тел) изображает большой додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. По-видимому, до Кеплера никто из художников и учёных не знал всех свойств этих тел.

Малый и большой звёздчатые додекаэдры, которые иногда именуют «многогранники Кеплера», впервые были полностью описаны в трактате Иоганна Кеплера 1619 года Harmonices Mundi. Каждое из этих тел имеет центральную выпуклую область каждой грани, «скрытую» внутри, при этом видны только треугольные плоскости. Кеплер описывает многогранники, используя ту же модель, с помощью которой Платон в диалоге Тимей описывает построение правильных многогранников на основе правильных треугольников. Последним шагом Кеплера было признание, что эти многогранники являются правильными, даже если они не являются выпуклыми, в отличие от обычных платоновых тел.

В 1809 году Луи Пуансо вновь исследовал многогранники Кеплера и обнаружил ещё два правильных звёздчатых многогранника — большой икосаэдр и большой додекаэдр. При этом Пуансо не был уверен, что выявил все возможные виды правильных звездчатых многогранников. Но в 1811 году Огюстен Луи Коши доказал, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела, которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел, а в 1858 году, Жозеф Бертран представил более общее доказательство. В 1859 году Артур Кэли дал многогранникам Кеплера — Пуансо названия, под которыми они, как правило, известны сегодня. Сто лет спустя Джон Конвей разработал терминологию для звёздчатых многоугольников. В рамках этой терминологии он предложил слегка изменённые имена для двух из правильных звёздчатых многогранников.

Терминология Кэли	Терминология Конвея
Малый звёздчатый додекаэдр	Звёздчатый додекаэдр
Большой додекаэдр	Большой додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр	Звёздчатый большой додекаэдр
Большой икосаэдр	Большой икосаэдр

Терминология Конвея в настоящее время используется, но не имеет широкого распространения.

Характеристики

Невыпуклость

Эти тела имеют плоскости в виде пятиугольников. Малый и большой звёздчатый додекаэдры имеют плоскости в виде невыпуклых правильных звёзд. Большой додекаэдр и большой икосаэдр имеют выпуклые плоскости.

У всех этих тел две плоскости могут пересекаться, образуя линию, которая не является ребром какой-либо плоскости, и, таким образом, часть каждой грани проходит через внутреннюю часть тела. Такие линии пересечения иногда называются ложными рёбрами. Аналогично, в случае, когда три таких линии пересекаются в точке, не принадлежащей углу какой-либо плоскости, эти точки называются ложными вершинами. Например, малый звездчатый додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней с центральной пятиугольной частью, скрытой внутри тела. Видимые части каждой грани состоят из пяти равнобедренных треугольников, которые касаются грани в пяти точках. Можно рассмотреть эти треугольники как 60 отдельных плоскостей, образующих новый, неправильный многогранник, который внешне выглядит идентичным изначальному. Каждое ребро теперь будет разделено на три коротких ребра (двух разных видов), при этом 20 ложных вершин станут истинными, и, таким образом, в общей сложности у тела будет 32 вершины (опять-таки двух видов). Скрытые внутренние пятиугольники больше не будут являться часть многогранной поверхности, и могут исчезнуть. Теперь Эйлерова характеристика содержит: 60 — 90 + 32 = 2. Но этот новый многогранник уже не описывается символом Шлефли {5/2, 5} , и поэтому не является телом Кеплера — Пуансо, хотя по-прежнему выглядит, как одно из них.

Эйлерова характеристика χ

Тела Кеплера — Пуансо покрывают площадь описанных вокруг них сфер более одного раза, при этом центры граней выступают в качестве точек перегиба на поверхностях, имеющих пятиугольные плоскости, и вершин — на других поверхностях. Из-за этого тела Кеплера — Пуансо не обязательно топологически эквивалентны сфере, в отличие от платоновых тел, и, в частности, Эйлерова характеристика

<math>\chi=V-E+F=2\ </math>

для них не всегда имеет место. Шлефли установил, что все многогранники должны иметь χ = 2, и счёл, что малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр не являются правильными многогранниками. Эта точка зрения не была широко распространённой.

Модифицированная форма формулы Эйлера, выведенная Артуром Кэли, справедливая как для выпуклых многогранников, так и для тел Кеплера — Пуансо, выглядит так:

<math>d_v V - E + d_f F = 2D.</math>.

Двойственность

Тела Кеплера — Пуансо существуют в двойственных (дуальных) парах:

• Малый звездчатый додекаэдр — большой додекаэдр
• Большой звездчатый додекаэдр — большой икосаэдр.

Сводная таблица свойств

Свойства тел Кеплера-Пуансо представлены в следующей таблице:

Название	Изображение	Сферическая проекция	Диаграмма звёздчатого многогранника	Символ Шлефли {p, q}	Поверхности {p}	Ребра	Вершины	χ	Плотность	Группы симметрии	Двойственный многогранник
Малый звёздчатый додекаэдр				{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Ih	Большой додекаэдр
Большой додекаэдр				{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Ih	Малый звёздчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр				{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih	Большой икосаэдр
Большой икосаэдр				{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih	Большой звездчатый додекаэдр

Отношения между правильными многогранниками

Имеют одно и то же расположение вершин:	Имеют одни и те же вершины и рёбра:
Икосаэдр, Малый звёздчатый додекаэдр, Большой икосаэдр и Большой додекаэдр.	Малый звёздчатый додекаэдр и Большой икосаэдр.
Додекаэдр и Большой звёздчатый додекаэдр.	Икосаэдр и Большой додекаэдр.

Малый звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр имеют одни и те же вершины и ребра. Икосаэдр и большой додекаэдр также имеют одни и те же вершины и ребра.

Все три додекаэдра являются звёздчатыми правильными выпуклыми додекаэдрами, большой икосаэдр является звёздчатым правильным выпуклым икосаэдром.

Если при пересечении фигур возникают новые рёбра и вершины, полученные многогранники не будут правильными, но их ещё можно считать звёздчатыми.

В массовой культуре и искусстве

В XX веке известный представитель имп-арта Мауриц Эшер в своём творчестве нередко обращался к сюжетам, основанным на восприятии различных многомерных фигур; в частности, его литография Гравитация изображает малый звёздчатый додекаэдр.

В основу перестановочной головоломки 1980-х годов — звезды Александера — положен большой додекаэдр.

См. также

• Правильные многомерные многогранники
• Однородный звёздчатый многогранник

Литература

• М. Веннинджер  Модели многогранников. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
• Эшер М.К. Графика. — М.: Арт-Родник, Taschen, 2009. — 96 с. — ISBN 978-5-404-00053-5.
• J. Bertrand. Note sur la théorie des polyèdres réguliers. — 1858. — Vol. 46. — P. 79-82, 117.
• Augustin Louis Cauchy. Recherches sur les polyèdres. — J. de l'École Polytechnique 9. — 1813. — P. 68-86.
• Arthur Cayley. On Poinsot’s Four New Regular Solids. — Philos. Mag.. — 1859. — Vol. 17. — P. 123—127 и 209.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 24, Regular Star-polytopes // The Symmetry of Things. — 2008. — P. 404—408. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• H.S.M. Coxeter. [www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html (Paper 1), The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252—264, MR 8, 482]] // Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
• H.S.M. Coxeter. [www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html (Paper 10), Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]] // Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
• P. Cromwell. Polyhedra. — Cabridgre University Press, Hbk., 1997.
• Field, J. V. A Lutheran astrologer: Johannes Kepler. — Archive for History of Exact Sciences. — 1984. — Vol. 31, No. 3. — P. 207—219.
• Theoni Pappas. (The Kepler-Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. — San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, 1989. — P. 113.
• Louis Poinsot. Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique. — 1810. — Vol. 9. — P. 16-48.
• Lakatos, Imre. Proofs and Refutations. — Cambridge University Press, 1976.
• Schläfli, Ludwig. [books.google.com/books?id=foIUAQAAMAAJ Theorie der vielfachen Kontinuität] / editor J. H.Graf. — Republished by Cornell University Library historical math monographs 2010. — Zürich, Basel: Georg & Co., 1901. — ISBN 978-1-4297-0481-6.
• Wenninger, Magnus. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — P. 39-41. — ISBN 0-521-54325-8.

Ссылки

• [www.software3d.com/Kepler.php Paper models of Kepler-Poinsot polyhedra] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.
• [www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k Free paper models (nets) of Kepler-Poinsot polyhedra] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.
• [www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.
• [www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html VRML models of the Kepler-Poinsot polyhedra] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.
• [www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html Stellation and facetting — a brief history] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.
• [www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] (англ.). Проверено 20 ноября 2015.

Отрывок, характеризующий Тело Кеплера — Пуансо

– Нет, Ростову вы знаете?
– Слышала тогда только про эту историю. Очень жалко.
«Нет, она не понимает или притворяется, – подумал Пьер. – Лучше тоже не говорить ей».
Княжна также приготавливала провизию на дорогу Пьеру.
«Как они добры все, – думал Пьер, – что они теперь, когда уж наверное им это не может быть более интересно, занимаются всем этим. И все для меня; вот что удивительно».
В этот же день к Пьеру приехал полицеймейстер с предложением прислать доверенного в Грановитую палату для приема вещей, раздаваемых нынче владельцам.
«Вот и этот тоже, – думал Пьер, глядя в лицо полицеймейстера, – какой славный, красивый офицер и как добр! Теперь занимается такими пустяками. А еще говорят, что он не честен и пользуется. Какой вздор! А впрочем, отчего же ему и не пользоваться? Он так и воспитан. И все так делают. А такое приятное, доброе лицо, и улыбается, глядя на меня».
Пьер поехал обедать к княжне Марье.
Проезжая по улицам между пожарищами домов, он удивлялся красоте этих развалин. Печные трубы домов, отвалившиеся стены, живописно напоминая Рейн и Колизей, тянулись, скрывая друг друга, по обгорелым кварталам. Встречавшиеся извозчики и ездоки, плотники, рубившие срубы, торговки и лавочники, все с веселыми, сияющими лицами, взглядывали на Пьера и говорили как будто: «А, вот он! Посмотрим, что выйдет из этого».
При входе в дом княжны Марьи на Пьера нашло сомнение в справедливости того, что он был здесь вчера, виделся с Наташей и говорил с ней. «Может быть, это я выдумал. Может быть, я войду и никого не увижу». Но не успел он вступить в комнату, как уже во всем существе своем, по мгновенному лишению своей свободы, он почувствовал ее присутствие. Она была в том же черном платье с мягкими складками и так же причесана, как и вчера, но она была совсем другая. Если б она была такою вчера, когда он вошел в комнату, он бы не мог ни на мгновение не узнать ее.
Она была такою же, какою он знал ее почти ребенком и потом невестой князя Андрея. Веселый вопросительный блеск светился в ее глазах; на лице было ласковое и странно шаловливое выражение.
Пьер обедал и просидел бы весь вечер; но княжна Марья ехала ко всенощной, и Пьер уехал с ними вместе.
На другой день Пьер приехал рано, обедал и просидел весь вечер. Несмотря на то, что княжна Марья и Наташа были очевидно рады гостю; несмотря на то, что весь интерес жизни Пьера сосредоточивался теперь в этом доме, к вечеру они всё переговорили, и разговор переходил беспрестанно с одного ничтожного предмета на другой и часто прерывался. Пьер засиделся в этот вечер так поздно, что княжна Марья и Наташа переглядывались между собою, очевидно ожидая, скоро ли он уйдет. Пьер видел это и не мог уйти. Ему становилось тяжело, неловко, но он все сидел, потому что не мог подняться и уйти.
Княжна Марья, не предвидя этому конца, первая встала и, жалуясь на мигрень, стала прощаться.
– Так вы завтра едете в Петербург? – сказала ока.
– Нет, я не еду, – с удивлением и как будто обидясь, поспешно сказал Пьер. – Да нет, в Петербург? Завтра; только я не прощаюсь. Я заеду за комиссиями, – сказал он, стоя перед княжной Марьей, краснея и не уходя.
Наташа подала ему руку и вышла. Княжна Марья, напротив, вместо того чтобы уйти, опустилась в кресло и своим лучистым, глубоким взглядом строго и внимательно посмотрела на Пьера. Усталость, которую она очевидно выказывала перед этим, теперь совсем прошла. Она тяжело и продолжительно вздохнула, как будто приготавливаясь к длинному разговору.
Все смущение и неловкость Пьера, при удалении Наташи, мгновенно исчезли и заменились взволнованным оживлением. Он быстро придвинул кресло совсем близко к княжне Марье.
– Да, я и хотел сказать вам, – сказал он, отвечая, как на слова, на ее взгляд. – Княжна, помогите мне. Что мне делать? Могу я надеяться? Княжна, друг мой, выслушайте меня. Я все знаю. Я знаю, что я не стою ее; я знаю, что теперь невозможно говорить об этом. Но я хочу быть братом ей. Нет, я не хочу.. я не могу…
Он остановился и потер себе лицо и глаза руками.
– Ну, вот, – продолжал он, видимо сделав усилие над собой, чтобы говорить связно. – Я не знаю, с каких пор я люблю ее. Но я одну только ее, одну любил во всю мою жизнь и люблю так, что без нее не могу себе представить жизни. Просить руки ее теперь я не решаюсь; но мысль о том, что, может быть, она могла бы быть моею и что я упущу эту возможность… возможность… ужасна. Скажите, могу я надеяться? Скажите, что мне делать? Милая княжна, – сказал он, помолчав немного и тронув ее за руку, так как она не отвечала.
– Я думаю о том, что вы мне сказали, – отвечала княжна Марья. – Вот что я скажу вам. Вы правы, что теперь говорить ей об любви… – Княжна остановилась. Она хотела сказать: говорить ей о любви теперь невозможно; но она остановилась, потому что она третий день видела по вдруг переменившейся Наташе, что не только Наташа не оскорбилась бы, если б ей Пьер высказал свою любовь, но что она одного только этого и желала.
– Говорить ей теперь… нельзя, – все таки сказала княжна Марья.
– Но что же мне делать?
– Поручите это мне, – сказала княжна Марья. – Я знаю…
Пьер смотрел в глаза княжне Марье.
– Ну, ну… – говорил он.
– Я знаю, что она любит… полюбит вас, – поправилась княжна Марья.
Не успела она сказать эти слова, как Пьер вскочил и с испуганным лицом схватил за руку княжну Марью.
– Отчего вы думаете? Вы думаете, что я могу надеяться? Вы думаете?!
– Да, думаю, – улыбаясь, сказала княжна Марья. – Напишите родителям. И поручите мне. Я скажу ей, когда будет можно. Я желаю этого. И сердце мое чувствует, что это будет.
– Нет, это не может быть! Как я счастлив! Но это не может быть… Как я счастлив! Нет, не может быть! – говорил Пьер, целуя руки княжны Марьи.
– Вы поезжайте в Петербург; это лучше. А я напишу вам, – сказала она.
– В Петербург? Ехать? Хорошо, да, ехать. Но завтра я могу приехать к вам?
На другой день Пьер приехал проститься. Наташа была менее оживлена, чем в прежние дни; но в этот день, иногда взглянув ей в глаза, Пьер чувствовал, что он исчезает, что ни его, ни ее нет больше, а есть одно чувство счастья. «Неужели? Нет, не может быть», – говорил он себе при каждом ее взгляде, жесте, слове, наполнявших его душу радостью.
Когда он, прощаясь с нею, взял ее тонкую, худую руку, он невольно несколько дольше удержал ее в своей.
«Неужели эта рука, это лицо, эти глаза, все это чуждое мне сокровище женской прелести, неужели это все будет вечно мое, привычное, такое же, каким я сам для себя? Нет, это невозможно!..»
– Прощайте, граф, – сказала она ему громко. – Я очень буду ждать вас, – прибавила она шепотом.
И эти простые слова, взгляд и выражение лица, сопровождавшие их, в продолжение двух месяцев составляли предмет неистощимых воспоминаний, объяснений и счастливых мечтаний Пьера. «Я очень буду ждать вас… Да, да, как она сказала? Да, я очень буду ждать вас. Ах, как я счастлив! Что ж это такое, как я счастлив!» – говорил себе Пьер.


В душе Пьера теперь не происходило ничего подобного тому, что происходило в ней в подобных же обстоятельствах во время его сватовства с Элен.
Он не повторял, как тогда, с болезненным стыдом слов, сказанных им, не говорил себе: «Ах, зачем я не сказал этого, и зачем, зачем я сказал тогда „je vous aime“?» [я люблю вас] Теперь, напротив, каждое слово ее, свое он повторял в своем воображении со всеми подробностями лица, улыбки и ничего не хотел ни убавить, ни прибавить: хотел только повторять. Сомнений в том, хорошо ли, или дурно то, что он предпринял, – теперь не было и тени. Одно только страшное сомнение иногда приходило ему в голову. Не во сне ли все это? Не ошиблась ли княжна Марья? Не слишком ли я горд и самонадеян? Я верю; а вдруг, что и должно случиться, княжна Марья скажет ей, а она улыбнется и ответит: «Как странно! Он, верно, ошибся. Разве он не знает, что он человек, просто человек, а я?.. Я совсем другое, высшее».
Только это сомнение часто приходило Пьеру. Планов он тоже не делал теперь никаких. Ему казалось так невероятно предстоящее счастье, что стоило этому совершиться, и уж дальше ничего не могло быть. Все кончалось.
Радостное, неожиданное сумасшествие, к которому Пьер считал себя неспособным, овладело им. Весь смысл жизни, не для него одного, но для всего мира, казался ему заключающимся только в его любви и в возможности ее любви к нему. Иногда все люди казались ему занятыми только одним – его будущим счастьем. Ему казалось иногда, что все они радуются так же, как и он сам, и только стараются скрыть эту радость, притворяясь занятыми другими интересами. В каждом слове и движении он видел намеки на свое счастие. Он часто удивлял людей, встречавшихся с ним, своими значительными, выражавшими тайное согласие, счастливыми взглядами и улыбками. Но когда он понимал, что люди могли не знать про его счастье, он от всей души жалел их и испытывал желание как нибудь объяснить им, что все то, чем они заняты, есть совершенный вздор и пустяки, не стоящие внимания.
Когда ему предлагали служить или когда обсуждали какие нибудь общие, государственные дела и войну, предполагая, что от такого или такого исхода такого то события зависит счастие всех людей, он слушал с кроткой соболезнующею улыбкой и удивлял говоривших с ним людей своими странными замечаниями. Но как те люди, которые казались Пьеру понимающими настоящий смысл жизни, то есть его чувство, так и те несчастные, которые, очевидно, не понимали этого, – все люди в этот период времени представлялись ему в таком ярком свете сиявшего в нем чувства, что без малейшего усилия, он сразу, встречаясь с каким бы то ни было человеком, видел в нем все, что было хорошего и достойного любви.
Рассматривая дела и бумаги своей покойной жены, он к ее памяти не испытывал никакого чувства, кроме жалости в том, что она не знала того счастья, которое он знал теперь. Князь Василий, особенно гордый теперь получением нового места и звезды, представлялся ему трогательным, добрым и жалким стариком.
Пьер часто потом вспоминал это время счастливого безумия. Все суждения, которые он составил себе о людях и обстоятельствах за этот период времени, остались для него навсегда верными. Он не только не отрекался впоследствии от этих взглядов на людей и вещи, но, напротив, в внутренних сомнениях и противуречиях прибегал к тому взгляду, который он имел в это время безумия, и взгляд этот всегда оказывался верен.
«Может быть, – думал он, – я и казался тогда странен и смешон; но я тогда не был так безумен, как казалось. Напротив, я был тогда умнее и проницательнее, чем когда либо, и понимал все, что стоит понимать в жизни, потому что… я был счастлив».
Безумие Пьера состояло в том, что он не дожидался, как прежде, личных причин, которые он называл достоинствами людей, для того чтобы любить их, а любовь переполняла его сердце, и он, беспричинно любя людей, находил несомненные причины, за которые стоило любить их.


С первого того вечера, когда Наташа, после отъезда Пьера, с радостно насмешливой улыбкой сказала княжне Марье, что он точно, ну точно из бани, и сюртучок, и стриженый, с этой минуты что то скрытое и самой ей неизвестное, но непреодолимое проснулось в душе Наташи.
Все: лицо, походка, взгляд, голос – все вдруг изменилось в ней. Неожиданные для нее самой – сила жизни, надежды на счастье всплыли наружу и требовали удовлетворения. С первого вечера Наташа как будто забыла все то, что с ней было. Она с тех пор ни разу не пожаловалась на свое положение, ни одного слова не сказала о прошедшем и не боялась уже делать веселые планы на будущее. Она мало говорила о Пьере, но когда княжна Марья упоминала о нем, давно потухший блеск зажигался в ее глазах и губы морщились странной улыбкой.
Перемена, происшедшая в Наташе, сначала удивила княжну Марью; но когда она поняла ее значение, то перемена эта огорчила ее. «Неужели она так мало любила брата, что так скоро могла забыть его», – думала княжна Марья, когда она одна обдумывала происшедшую перемену. Но когда она была с Наташей, то не сердилась на нее и не упрекала ее. Проснувшаяся сила жизни, охватившая Наташу, была, очевидно, так неудержима, так неожиданна для нее самой, что княжна Марья в присутствии Наташи чувствовала, что она не имела права упрекать ее даже в душе своей.
Наташа с такой полнотой и искренностью вся отдалась новому чувству, что и не пыталась скрывать, что ей было теперь не горестно, а радостно и весело.
Когда, после ночного объяснения с Пьером, княжна Марья вернулась в свою комнату, Наташа встретила ее на пороге.
– Он сказал? Да? Он сказал? – повторила она. И радостное и вместе жалкое, просящее прощения за свою радость, выражение остановилось на лице Наташи.
– Я хотела слушать у двери; но я знала, что ты скажешь мне.
Как ни понятен, как ни трогателен был для княжны Марьи тот взгляд, которым смотрела на нее Наташа; как ни жалко ей было видеть ее волнение; но слова Наташи в первую минуту оскорбили княжну Марью. Она вспомнила о брате, о его любви.
«Но что же делать! она не может иначе», – подумала княжна Марья; и с грустным и несколько строгим лицом передала она Наташе все, что сказал ей Пьер. Услыхав, что он собирается в Петербург, Наташа изумилась.
– В Петербург? – повторила она, как бы не понимая. Но, вглядевшись в грустное выражение лица княжны Марьи, она догадалась о причине ее грусти и вдруг заплакала. – Мари, – сказала она, – научи, что мне делать. Я боюсь быть дурной. Что ты скажешь, то я буду делать; научи меня…
– Ты любишь его?
– Да, – прошептала Наташа.
– О чем же ты плачешь? Я счастлива за тебя, – сказала княжна Марья, за эти слезы простив уже совершенно радость Наташи.
– Это будет не скоро, когда нибудь. Ты подумай, какое счастие, когда я буду его женой, а ты выйдешь за Nicolas.
– Наташа, я тебя просила не говорить об этом. Будем говорить о тебе.
Они помолчали.
– Только для чего же в Петербург! – вдруг сказала Наташа, и сама же поспешно ответила себе: – Нет, нет, это так надо… Да, Мари? Так надо…