Тензор напряжений
Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. В декартовой системе координат эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные составляющие векторов напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку среды, а в остальных позициях — касательные компоненты векторов напряжений на этих площадках.
Компоненты тензора напряжений <math> \sigma_{ij}</math> в декартовой системе координат <math>Ox_i</math> (то есть <math> Oxyz </math>) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади <math>dS_{i}</math>. На каждой грани <math>dS_{i}</math> параллелепипеда действуют поверхностные силы <math>dF_{i}</math>. Если обозначить проекции этих сил на оси <math>Ox_{j}</math> как <math>dF_{ij}</math>, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:
- <math> \sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}</math>
По индексу <math> i</math> здесь суммирования нет. Компоненты <math>\sigma_{11}</math>, <math>\sigma_{22}</math>,<math>\sigma_{33}</math>, обозначаемые также как <math>\sigma_{xx}</math>, <math>\sigma_{yy}</math>,<math>\sigma_{zz}</math> — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы <math>dF_{i}</math> на нормаль к площади рассматриваемой грани <math>dS_{i}</math>:
- <math> \sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}</math> и т. д.
Компоненты <math>\sigma_{12}</math>, <math>\sigma_{23}</math>,<math>\sigma_{31}</math>, обозначаемые также как <math>\tau_{xy}</math>, <math>\tau_{yz}</math>,<math>\tau_{zx}</math> — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы <math>dF_{i}</math> на касательные направления к площади рассматриваемой грани <math>dS_{i}</math>:
- <math> \sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}</math> и т. д.
При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.
Содержание
Тензор напряжений в релятивистской физике
С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.
Тензор напряжений в классической электродинамике
В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля (максвелловский тензор напряжений[1], тензор натяжений Максвелла[2]) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:
- <math> T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,</math>
где <math>W</math> — плотность энергии электромагнитного поля.
См. также
Напишите отзыв о статье "Тензор напряжений"
Примечания
- ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
- ↑ Степановский Ю. П. [www.femto.com.ua/articles/part_1/2140.html Максвелла тензор натяжений] // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32-33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
Литература
- Седов Л. И. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t1_1970ru.djvu Механика сплошной среды. Том 1.] М.: Наука, 1970. 492 c.
- Трусделл К. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Truesdell1975ru.djvu Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.] М.: Наука, 1975. 592 с.
- Димитриенко Ю. И. [www.ozon.ru/context/detail/id/4787547/ Нелинейная механика сплошной среды.] М.: Физматлит, 2010.
Отрывок, характеризующий Тензор напряжений
Оба письма были из Троицы. Другое письмо было от графини. В письме этом описывались последние дни в Москве, выезд, пожар и погибель всего состояния. В письме этом, между прочим, графиня писала о том, что князь Андрей в числе раненых ехал вместе с ними. Положение его было очень опасно, но теперь доктор говорит, что есть больше надежды. Соня и Наташа, как сиделки, ухаживают за ним.С этим письмом на другой день Николай поехал к княжне Марье. Ни Николай, ни княжна Марья ни слова не сказали о том, что могли означать слова: «Наташа ухаживает за ним»; но благодаря этому письму Николай вдруг сблизился с княжной в почти родственные отношения.
На другой день Ростов проводил княжну Марью в Ярославль и через несколько дней сам уехал в полк.
Письмо Сони к Николаю, бывшее осуществлением его молитвы, было написано из Троицы. Вот чем оно было вызвано. Мысль о женитьбе Николая на богатой невесте все больше и больше занимала старую графиню. Она знала, что Соня была главным препятствием для этого. И жизнь Сони последнее время, в особенности после письма Николая, описывавшего свою встречу в Богучарове с княжной Марьей, становилась тяжелее и тяжелее в доме графини. Графиня не пропускала ни одного случая для оскорбительного или жестокого намека Соне.
Но несколько дней перед выездом из Москвы, растроганная и взволнованная всем тем, что происходило, графиня, призвав к себе Соню, вместо упреков и требований, со слезами обратилась к ней с мольбой о том, чтобы она, пожертвовав собою, отплатила бы за все, что было для нее сделано, тем, чтобы разорвала свои связи с Николаем.
– Я не буду покойна до тех пор, пока ты мне не дашь этого обещания.
Соня разрыдалась истерически, отвечала сквозь рыдания, что она сделает все, что она на все готова, но не дала прямого обещания и в душе своей не могла решиться на то, чего от нее требовали. Надо было жертвовать собой для счастья семьи, которая вскормила и воспитала ее. Жертвовать собой для счастья других было привычкой Сони. Ее положение в доме было таково, что только на пути жертвованья она могла выказывать свои достоинства, и она привыкла и любила жертвовать собой. Но прежде во всех действиях самопожертвованья она с радостью сознавала, что она, жертвуя собой, этим самым возвышает себе цену в глазах себя и других и становится более достойною Nicolas, которого она любила больше всего в жизни; но теперь жертва ее должна была состоять в том, чтобы отказаться от того, что для нее составляло всю награду жертвы, весь смысл жизни. И в первый раз в жизни она почувствовала горечь к тем людям, которые облагодетельствовали ее для того, чтобы больнее замучить; почувствовала зависть к Наташе, никогда не испытывавшей ничего подобного, никогда не нуждавшейся в жертвах и заставлявшей других жертвовать себе и все таки всеми любимой. И в первый раз Соня почувствовала, как из ее тихой, чистой любви к Nicolas вдруг начинало вырастать страстное чувство, которое стояло выше и правил, и добродетели, и религии; и под влиянием этого чувства Соня невольно, выученная своею зависимою жизнью скрытности, в общих неопределенных словах ответив графине, избегала с ней разговоров и решилась ждать свидания с Николаем с тем, чтобы в этом свидании не освободить, но, напротив, навсегда связать себя с ним.
Хлопоты и ужас последних дней пребывания Ростовых в Москве заглушили в Соне тяготившие ее мрачные мысли. Она рада была находить спасение от них в практической деятельности. Но когда она узнала о присутствии в их доме князя Андрея, несмотря на всю искреннюю жалость, которую она испытала к нему и к Наташе, радостное и суеверное чувство того, что бог не хочет того, чтобы она была разлучена с Nicolas, охватило ее. Она знала, что Наташа любила одного князя Андрея и не переставала любить его. Она знала, что теперь, сведенные вместе в таких страшных условиях, они снова полюбят друг друга и что тогда Николаю вследствие родства, которое будет между ними, нельзя будет жениться на княжне Марье. Несмотря на весь ужас всего происходившего в последние дни и во время первых дней путешествия, это чувство, это сознание вмешательства провидения в ее личные дела радовало Соню.
