Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

<math> T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right). </math>

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира.
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности , умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

<math> T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right) </math>

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус. В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице <math>{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)</math>, где <math>{\rho}</math> есть плотность массы, а <math>p</math> — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

<math>T^{ik} = \rho\, u^i u^k</math>

где <math>\rho</math> — плотность массы (покоя), <math>u^i, u^k</math> — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) <math> \mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i ) </math>, зависящего от полевых функций <math> \phi_i</math> и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

<math>

\begin{cases}

 x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\
 \phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x).

\end{cases} </math> Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

<math> {{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu , </math>

который имеет вид

<math> \partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.</math>

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

<math> T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} . </math>

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора <math> T^{\mu\nu}</math> к симметризованному виду добавлением тензорной величины <math>\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,</math> где тензор <math>\psi^{\mu\nu\lambda}\;</math> антисимметричен по двум последним индексам <math>\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu}</math>. Действительно, для симметризованного ТЭИ

<math> \Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda} </math>

автоматически следует закон сохранения <math> \partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 . </math>

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ <math>T^ {\mu \nu} (x)</math> выражается через вариационную производную по метрическому тензору <math>g_{\mu\nu}</math> в точке <math>x</math> пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

<math>{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=</math>

<math>=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right),</math>

где <math> g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).</math> Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

<math> \frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x), </math>

где <math> R_{ \mu \nu } </math> — тензор Риччи, <math> R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu } </math> — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

<math>T^\mu_{\nu;\mu}=0.</math>

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

<math>T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}</math>

<math>\begin{pmatrix}

 T_{01} & T_{02} & T_{03} 

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

 T_{10} & T_{20} & T_{30} 

\end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]</math>

<math> T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.</math>

Пространственные компоненты <math>T_{ij}</math> образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений или тензором натяжений Максвелла.

В ковариантной форме можно записать:

<math>T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.</math>

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.

См. также

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна

Отрывок, характеризующий Тензор энергии-импульса

– Хорошо, – сказал ритор поспешно, видимо вполне удовлетворенный этим ответом. – Искали ли вы средств к достижению своей цели в религии?
– Нет, я считал ее несправедливою, и не следовал ей, – сказал Пьер так тихо, что ритор не расслышал его и спросил, что он говорит. – Я был атеистом, – отвечал Пьер.
– Вы ищете истины для того, чтобы следовать в жизни ее законам; следовательно, вы ищете премудрости и добродетели, не так ли? – сказал ритор после минутного молчания.
– Да, да, – подтвердил Пьер.
Ритор прокашлялся, сложил на груди руки в перчатках и начал говорить:
– Теперь я должен открыть вам главную цель нашего ордена, – сказал он, – и ежели цель эта совпадает с вашею, то вы с пользою вступите в наше братство. Первая главнейшая цель и купно основание нашего ордена, на котором он утвержден, и которого никакая сила человеческая не может низвергнуть, есть сохранение и предание потомству некоего важного таинства… от самых древнейших веков и даже от первого человека до нас дошедшего, от которого таинства, может быть, зависит судьба рода человеческого. Но так как сие таинство такого свойства, что никто не может его знать и им пользоваться, если долговременным и прилежным очищением самого себя не приуготовлен, то не всяк может надеяться скоро обрести его. Поэтому мы имеем вторую цель, которая состоит в том, чтобы приуготовлять наших членов, сколько возможно, исправлять их сердце, очищать и просвещать их разум теми средствами, которые нам преданием открыты от мужей, потрудившихся в искании сего таинства, и тем учинять их способными к восприятию оного. Очищая и исправляя наших членов, мы стараемся в третьих исправлять и весь человеческий род, предлагая ему в членах наших пример благочестия и добродетели, и тем стараемся всеми силами противоборствовать злу, царствующему в мире. Подумайте об этом, и я опять приду к вам, – сказал он и вышел из комнаты.
– Противоборствовать злу, царствующему в мире… – повторил Пьер, и ему представилась его будущая деятельность на этом поприще. Ему представлялись такие же люди, каким он был сам две недели тому назад, и он мысленно обращал к ним поучительно наставническую речь. Он представлял себе порочных и несчастных людей, которым он помогал словом и делом; представлял себе угнетателей, от которых он спасал их жертвы. Из трех поименованных ритором целей, эта последняя – исправление рода человеческого, особенно близка была Пьеру. Некое важное таинство, о котором упомянул ритор, хотя и подстрекало его любопытство, не представлялось ему существенным; а вторая цель, очищение и исправление себя, мало занимала его, потому что он в эту минуту с наслаждением чувствовал себя уже вполне исправленным от прежних пороков и готовым только на одно доброе.
Через полчаса вернулся ритор передать ищущему те семь добродетелей, соответствующие семи ступеням храма Соломона, которые должен был воспитывать в себе каждый масон. Добродетели эти были: 1) скромность , соблюдение тайны ордена, 2) повиновение высшим чинам ордена, 3) добронравие, 4) любовь к человечеству, 5) мужество, 6) щедрость и 7) любовь к смерти.
– В седьмых старайтесь, – сказал ритор, – частым помышлением о смерти довести себя до того, чтобы она не казалась вам более страшным врагом, но другом… который освобождает от бедственной сей жизни в трудах добродетели томившуюся душу, для введения ее в место награды и успокоения.
«Да, это должно быть так», – думал Пьер, когда после этих слов ритор снова ушел от него, оставляя его уединенному размышлению. «Это должно быть так, но я еще так слаб, что люблю свою жизнь, которой смысл только теперь по немногу открывается мне». Но остальные пять добродетелей, которые перебирая по пальцам вспомнил Пьер, он чувствовал в душе своей: и мужество , и щедрость , и добронравие , и любовь к человечеству , и в особенности повиновение , которое даже не представлялось ему добродетелью, а счастьем. (Ему так радостно было теперь избавиться от своего произвола и подчинить свою волю тому и тем, которые знали несомненную истину.) Седьмую добродетель Пьер забыл и никак не мог вспомнить ее.
В третий раз ритор вернулся скорее и спросил Пьера, всё ли он тверд в своем намерении, и решается ли подвергнуть себя всему, что от него потребуется.
– Я готов на всё, – сказал Пьер.
– Еще должен вам сообщить, – сказал ритор, – что орден наш учение свое преподает не словами токмо, но иными средствами, которые на истинного искателя мудрости и добродетели действуют, может быть, сильнее, нежели словесные токмо объяснения. Сия храмина убранством своим, которое вы видите, уже должна была изъяснить вашему сердцу, ежели оно искренно, более нежели слова; вы увидите, может быть, и при дальнейшем вашем принятии подобный образ изъяснения. Орден наш подражает древним обществам, которые открывали свое учение иероглифами. Иероглиф, – сказал ритор, – есть наименование какой нибудь неподверженной чувствам вещи, которая содержит в себе качества, подобные изобразуемой.
Пьер знал очень хорошо, что такое иероглиф, но не смел говорить. Он молча слушал ритора, по всему чувствуя, что тотчас начнутся испытанья.
– Ежели вы тверды, то я должен приступить к введению вас, – говорил ритор, ближе подходя к Пьеру. – В знак щедрости прошу вас отдать мне все драгоценные вещи.
– Но я с собою ничего не имею, – сказал Пьер, полагавший, что от него требуют выдачи всего, что он имеет.
– То, что на вас есть: часы, деньги, кольца…
Пьер поспешно достал кошелек, часы, и долго не мог снять с жирного пальца обручальное кольцо. Когда это было сделано, масон сказал:
– В знак повиновенья прошу вас раздеться. – Пьер снял фрак, жилет и левый сапог по указанию ритора. Масон открыл рубашку на его левой груди, и, нагнувшись, поднял его штанину на левой ноге выше колена. Пьер поспешно хотел снять и правый сапог и засучить панталоны, чтобы избавить от этого труда незнакомого ему человека, но масон сказал ему, что этого не нужно – и подал ему туфлю на левую ногу. С детской улыбкой стыдливости, сомнения и насмешки над самим собою, которая против его воли выступала на лицо, Пьер стоял, опустив руки и расставив ноги, перед братом ритором, ожидая его новых приказаний.
– И наконец, в знак чистосердечия, я прошу вас открыть мне главное ваше пристрастие, – сказал он.
– Мое пристрастие! У меня их было так много, – сказал Пьер.
– То пристрастие, которое более всех других заставляло вас колебаться на пути добродетели, – сказал масон.
Пьер помолчал, отыскивая.
«Вино? Объедение? Праздность? Леность? Горячность? Злоба? Женщины?» Перебирал он свои пороки, мысленно взвешивая их и не зная которому отдать преимущество.
– Женщины, – сказал тихим, чуть слышным голосом Пьер. Масон не шевелился и не говорил долго после этого ответа. Наконец он подвинулся к Пьеру, взял лежавший на столе платок и опять завязал ему глаза.
– Последний раз говорю вам: обратите всё ваше внимание на самого себя, наложите цепи на свои чувства и ищите блаженства не в страстях, а в своем сердце. Источник блаженства не вне, а внутри нас…
Пьер уже чувствовал в себе этот освежающий источник блаженства, теперь радостью и умилением переполнявший его душу.