Теорема Хинчина — Колмогорова
Теорема Хинчина — Колмогорова (также известная как Теорема Винера — Хинчина и иногда как Теорема Винера — Хинчина — Эйнштейна) утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции.[1][2][3]
Непрерывный случай:
- <math>S_{xx}(f)=\int\limits_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau,</math>
где
- <math>r_{xx}(\tau)=\mathrm{E}\big[x(t)x^*(t-\tau)\big],</math>
есть автокорреляционная функция, определённая через математическое ожидание, и где <math>S_{xx}(f)</math> — спектральная плотность мощности функции <math>x(t)</math>. Отметим, что автокорреляционная функция определена через математическое ожидание от произведения и что преобразования Фурье от <math>x(t)</math> не существует в общем случае, так как стационарные случайные функции не интегрируемы в квадратичном.
Звёздочка означает комплексное сопряжение, оно может быть опущено, если случайный процесс вещественный.
Дискретный случай:
- <math>S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},</math>
где
- <math>r_{xx}[k]=\mathrm{E}\big[x[n]x^*[n-k]\big]</math>
и где
- <math>S_{xx}(f)</math>
— спектральная плотность мощности с дискретными значениями <math>x[n]</math>. Являясь упорядоченной по дискретным отсчётам времени, спектральная плотность — периодическая функция в частотной области.
Применение
Теорема удобна для анализа линейных стационарных систем, где входные и выходные значения не интегрируемы в квадратурах, из-за чего преобразований Фурье не существует. Как следствие, преобразование Фурье автокорреляционной функции выходного сигнала ЛСС-системы равно произведению преобразования Фурье автокорреляционной функции входного сигнала системы на квадрат модуля преобразования Фурье её импульсной характеристики. Это выполняется даже когда преобразований Фурье входных и выходных сигналов не существует, из-за того что они не интегрируемы. Поэтому входные и выходные параметры не могут быть прямо связаны преобразованием Фурье импульсной передаточной функции.
Из того, что преобразование Фурье автокорреляционной функции сигнала есть спектр мощности сигнала, следует, что спектр мощности выходного сигнала равен произведению спектра мощности входного и передаточной функции системы.
Это следствие используется в нахождении спектра мощности параметрическим методом.
Несоответствие определения
В определениях, включающих бесконечные интегралы для спектральной плотности и автокорреляции, теорема Хинчина — Колмогорова является просто парой Фурье-преобразований, легко доказываемой для любой интегрируемой функции, то есть для которой существуют преобразования Фурье. Более удобно, и исторически так сложилось, что для стационарных сигналов, у которых преобразований Фурье не существует, теорема применяется используя определение автокорреляционной функции через математическое ожидание, а не через бесконечный интеграл. Упрощение теоремы Хинчина — Колмогорова распространено в современной технической литературе и затеняет вклад А. Я. Хинчина, Норберта Винера и А. Н. Колмогорова.
Напишите отзыв о статье "Теорема Хинчина — Колмогорова"
Примечания
- ↑ Dennis Ward Ricker. [books.google.com/books?id=NF2Tmty9nugC&pg=PA23&dq=%22power+spectral+density%22+%22energy+spectral+density%22&lr=&as_brr=3&ei=HZMvSPSWFZyStwPWsfyBAw&sig=1ZZcHwxXkErvNXtAHv21ijTXoP8#PPA23,M1 Echo Signal Processing]. — Springer, 2003. — ISBN 140207395X.
- ↑ Leon W. Couch II. Digital and Analog Communications Systems. — 6 ed. — Prentice Hall, New Jersey, 2001. — P. 406–409.
- ↑ Krzysztof Iniewski. [books.google.com/books?id=JJXrpazX9FkC&pg=PA390&dq=Wiener-Khinchin-Einstein&ei=1SxlSPGhB4jgsQPr5b3lDw&sig=ACfU3U2Phnk-zwJi57XrvNmdfosyg55FVA Wireless Technologies: Circuits, Systems, and Devices]. — CRC Press, 2007. — ISBN 0849379962.
Отрывок, характеризующий Теорема Хинчина — Колмогорова
– Roi de Rome, [Римский король.] – сказал он, грациозным жестом руки указывая на портрет. – Admirable! [Чудесно!] – С свойственной итальянцам способностью изменять произвольно выражение лица, он подошел к портрету и сделал вид задумчивой нежности. Он чувствовал, что то, что он скажет и сделает теперь, – есть история. И ему казалось, что лучшее, что он может сделать теперь, – это то, чтобы он с своим величием, вследствие которого сын его в бильбоке играл земным шаром, чтобы он выказал, в противоположность этого величия, самую простую отеческую нежность. Глаза его отуманились, он подвинулся, оглянулся на стул (стул подскочил под него) и сел на него против портрета. Один жест его – и все на цыпочках вышли, предоставляя самому себе и его чувству великого человека.Посидев несколько времени и дотронувшись, сам не зная для чего, рукой до шероховатости блика портрета, он встал и опять позвал Боссе и дежурного. Он приказал вынести портрет перед палатку, с тем, чтобы не лишить старую гвардию, стоявшую около его палатки, счастья видеть римского короля, сына и наследника их обожаемого государя.
Как он и ожидал, в то время как он завтракал с господином Боссе, удостоившимся этой чести, перед палаткой слышались восторженные клики сбежавшихся к портрету офицеров и солдат старой гвардии.
– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.
Боссе, закрыв глаза и склонив голову, глубоко вздохнул, этим жестом показывая, как он умел ценить и понимать слова императора.
Весь этот день 25 августа, как говорят его историки, Наполеон провел на коне, осматривая местность, обсуживая планы, представляемые ему его маршалами, и отдавая лично приказания своим генералам.
Первоначальная линия расположения русских войск по Ко лоче была переломлена, и часть этой линии, именно левый фланг русских, вследствие взятия Шевардинского редута 24 го числа, была отнесена назад. Эта часть линии была не укреплена, не защищена более рекою, и перед нею одною было более открытое и ровное место. Очевидно было для всякого военного и невоенного, что эту часть линии и должно было атаковать французам. Казалось, что для этого не нужно было много соображений, не нужно было такой заботливости и хлопотливости императора и его маршалов и вовсе не нужно той особенной высшей способности, называемой гениальностью, которую так любят приписывать Наполеону; но историки, впоследствии описывавшие это событие, и люди, тогда окружавшие Наполеона, и он сам думали иначе.
