Теорема Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру <math>C</math> и двойным интегралом по односвязной области <math>D</math>, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Формулировка

Пусть <math>C</math> — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а <math>D</math> — область, ограниченная кривой <math>C</math>. Если функции <math>P = P(x,y)</math>, <math>Q = Q(x,y)</math> определены в области <math>D</math> и имеют непрерывные частные производные <math>\frac{\partial P}{\partial y}</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, то

<math>\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая <math>C</math> замкнута.

Доказательство для простой области

Пусть область <math>D</math> — криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении <math>OY</math>):

<math>D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}</math>

Для кривой <math>C</math>, ограничивающей область <math>D</math> зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

<math>\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x))) \,dx =</math>

<math>= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (1)</math>

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

<math>\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (2)</math>

<math>\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)</math>

Интеграл по <math>C_1</math> берётся со знаком «минус», так как согласно ориентации контура <math>C</math> направление обхода данной части — от <math>b</math> до <math>a</math>.

Криволинейные интегралы по <math>C_2</math> и <math>C_4</math> будут равны нулю, так как <math>x = \operatorname{const}</math>:

<math>\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)</math>

<math>\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)</math>

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:

<math>\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx</math>

Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой <math>C</math> в отрицательном направлении:

<math>\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)</math>

Аналогично доказывается формула:

<math>\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)</math>

если в качестве области <math>D</math> взять область, правильную в направлении <math>OX</math>.

Складывая (6) и (7), получим:

<math>\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>

Формулы Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала

<math>\Phi(x)=\int \frac{\rho(x')}{|x-x'|} d^3x</math>

было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определённые граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведённое выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчёта потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

<math>\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da </math>,

которая справедлива для любого векторного поля А, определённого в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть <math>A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi</math>, где <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> — произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые скалярные функции. Тогда

<math>\operatorname{div} \, (\varphi \; \operatorname{grad} \, \psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi \qquad (1) </math>

и

<math>\varphi \; \operatorname{grad} \, \psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \qquad (2)</math>,

где <math>\frac{\partial}{\partial n} </math> — нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

<math>\int\limits_V (\varphi \; \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} \, \varphi \cdot \operatorname{grad} \, \psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,da \qquad (3)</math>.

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами <math>\varphi</math> и <math>\psi</math>, и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением <math>\operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi</math> сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

<math>\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S \left[\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}\right] \,da </math>.

В физике и математике теорема Грина дает соотношение между криволинейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом

<math>\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.</math>

В физике Теорема Грина в основном используется для решения двумерных потоковых интегралов, исходя из того, что сумма исходящих потоков в любой точке области равна результирующему потоку, суммируемому по всей ограничивающей поверхности.

Третья формула Грина получается из второй путём замены <math>\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}</math> и замечания о том, что <math>\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)</math> в <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>. Если <math>\phi,</math> дважды дифференцируема на U.

<math> \oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k</math>

<math>k = 4\pi\phi(x),</math> если <math> x \in Int U </math> (здесь Int обозначает внутренность множества),

<math>2\pi\phi(x),</math> если <math> x \in \partial U </math> и в точке <math> x </math> к граничной поверхности имеется касательная плоскость.

См. также

• Дельта-функция
• Теорема Стокса
• Формула Остроградского
• Дискретная теорема Грина

Литература

• Д. Ж. Джексон Классическая электродинамика (1965 г.)
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 735 с.

Отрывок, характеризующий Теорема Грина

– Надо лелеять мужей хорошеньких женщин, – сказал Денисов. Пьер не слышал, что они говорили, но знал, что говорят про него. Он покраснел и отвернулся.
– Ну, теперь за здоровье красивых женщин, – сказал Долохов, и с серьезным выражением, но с улыбающимся в углах ртом, с бокалом обратился к Пьеру.
– За здоровье красивых женщин, Петруша, и их любовников, – сказал он.
Пьер, опустив глаза, пил из своего бокала, не глядя на Долохова и не отвечая ему. Лакей, раздававший кантату Кутузова, положил листок Пьеру, как более почетному гостю. Он хотел взять его, но Долохов перегнулся, выхватил листок из его руки и стал читать. Пьер взглянул на Долохова, зрачки его опустились: что то страшное и безобразное, мутившее его во всё время обеда, поднялось и овладело им. Он нагнулся всем тучным телом через стол: – Не смейте брать! – крикнул он.
Услыхав этот крик и увидав, к кому он относился, Несвицкий и сосед с правой стороны испуганно и поспешно обратились к Безухову.
– Полноте, полно, что вы? – шептали испуганные голоса. Долохов посмотрел на Пьера светлыми, веселыми, жестокими глазами, с той же улыбкой, как будто он говорил: «А вот это я люблю». – Не дам, – проговорил он отчетливо.
Бледный, с трясущейся губой, Пьер рванул лист. – Вы… вы… негодяй!.. я вас вызываю, – проговорил он, и двинув стул, встал из за стола. В ту самую секунду, как Пьер сделал это и произнес эти слова, он почувствовал, что вопрос о виновности его жены, мучивший его эти последние сутки, был окончательно и несомненно решен утвердительно. Он ненавидел ее и навсегда был разорван с нею. Несмотря на просьбы Денисова, чтобы Ростов не вмешивался в это дело, Ростов согласился быть секундантом Долохова, и после стола переговорил с Несвицким, секундантом Безухова, об условиях дуэли. Пьер уехал домой, а Ростов с Долоховым и Денисовым до позднего вечера просидели в клубе, слушая цыган и песенников.
– Так до завтра, в Сокольниках, – сказал Долохов, прощаясь с Ростовым на крыльце клуба.
– И ты спокоен? – спросил Ростов…
Долохов остановился. – Вот видишь ли, я тебе в двух словах открою всю тайну дуэли. Ежели ты идешь на дуэль и пишешь завещания да нежные письма родителям, ежели ты думаешь о том, что тебя могут убить, ты – дурак и наверно пропал; а ты иди с твердым намерением его убить, как можно поскорее и повернее, тогда всё исправно. Как мне говаривал наш костромской медвежатник: медведя то, говорит, как не бояться? да как увидишь его, и страх прошел, как бы только не ушел! Ну так то и я. A demain, mon cher! [До завтра, мой милый!]
На другой день, в 8 часов утра, Пьер с Несвицким приехали в Сокольницкий лес и нашли там уже Долохова, Денисова и Ростова. Пьер имел вид человека, занятого какими то соображениями, вовсе не касающимися до предстоящего дела. Осунувшееся лицо его было желто. Он видимо не спал ту ночь. Он рассеянно оглядывался вокруг себя и морщился, как будто от яркого солнца. Два соображения исключительно занимали его: виновность его жены, в которой после бессонной ночи уже не оставалось ни малейшего сомнения, и невинность Долохова, не имевшего никакой причины беречь честь чужого для него человека. «Может быть, я бы то же самое сделал бы на его месте, думал Пьер. Даже наверное я бы сделал то же самое; к чему же эта дуэль, это убийство? Или я убью его, или он попадет мне в голову, в локоть, в коленку. Уйти отсюда, бежать, зарыться куда нибудь», приходило ему в голову. Но именно в те минуты, когда ему приходили такие мысли. он с особенно спокойным и рассеянным видом, внушавшим уважение смотревшим на него, спрашивал: «Скоро ли, и готово ли?»
Когда всё было готово, сабли воткнуты в снег, означая барьер, до которого следовало сходиться, и пистолеты заряжены, Несвицкий подошел к Пьеру.
– Я бы не исполнил своей обязанности, граф, – сказал он робким голосом, – и не оправдал бы того доверия и чести, которые вы мне сделали, выбрав меня своим секундантом, ежели бы я в эту важную минуту, очень важную минуту, не сказал вам всю правду. Я полагаю, что дело это не имеет достаточно причин, и что не стоит того, чтобы за него проливать кровь… Вы были неправы, не совсем правы, вы погорячились…
– Ах да, ужасно глупо… – сказал Пьер.
– Так позвольте мне передать ваше сожаление, и я уверен, что наши противники согласятся принять ваше извинение, – сказал Несвицкий (так же как и другие участники дела и как и все в подобных делах, не веря еще, чтобы дело дошло до действительной дуэли). – Вы знаете, граф, гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести дело до непоправимого. Обиды ни с одной стороны не было. Позвольте мне переговорить…
– Нет, об чем же говорить! – сказал Пьер, – всё равно… Так готово? – прибавил он. – Вы мне скажите только, как куда ходить, и стрелять куда? – сказал он, неестественно кротко улыбаясь. – Он взял в руки пистолет, стал расспрашивать о способе спуска, так как он до сих пор не держал в руках пистолета, в чем он не хотел сознаваться. – Ах да, вот так, я знаю, я забыл только, – говорил он.
– Никаких извинений, ничего решительно, – говорил Долохов Денисову, который с своей стороны тоже сделал попытку примирения, и тоже подошел к назначенному месту.
Место для поединка было выбрано шагах в 80 ти от дороги, на которой остались сани, на небольшой полянке соснового леса, покрытой истаявшим от стоявших последние дни оттепелей снегом. Противники стояли шагах в 40 ка друг от друга, у краев поляны. Секунданты, размеряя шаги, проложили, отпечатавшиеся по мокрому, глубокому снегу, следы от того места, где они стояли, до сабель Несвицкого и Денисова, означавших барьер и воткнутых в 10 ти шагах друг от друга. Оттепель и туман продолжались; за 40 шагов ничего не было видно. Минуты три всё было уже готово, и всё таки медлили начинать, все молчали.


– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.
– Г…'аз! Два! Т'и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.