Теорема Колмогорова о трёх рядах

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с его распределением вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения

Пусть <math>c</math> — некоторая константа. Тогда

<math>

\xi^c = \begin{cases} \xi, & |\xi|\leqslant c, \\ 0, & |\xi| > c. \end{cases} </math>

<math>I</math> — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть <math>\xi_1,\xi_2 ...</math> — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда <math>\sum \xi</math> необходимо, чтобы для любого <math>c > 0</math> сходились ряды

<math>\sum M\xi_{n}^{c},</math>

<math>\sum D\xi_{n}^{c},</math>

<math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)</math>

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором <math>c>0</math>.

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд <math>\sum \xi_{n}^{c}</math> сходится с вероятностью единица. Но если <math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица <math>\sum I(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>, а значит, <math>\xi_n = \xi_n^c</math> для всех <math>n</math>, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд <math>\sum \xi</math> также сходится.

Необходимость

Если ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится, то <math>\xi_n \rightarrow 0</math> и, значит, для всякого <math>c>0</math> может произойти не более конечного числа событий <math>{|\xi_n|\geqslant c}</math>. Поэтому <math>\sum I(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math> и по второй части леммы Бореля — Кантелли <math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>. Далее, из сходимости ряда <math>\sum \xi_n</math> следует и сходимость ряда <math>\sum \xi_n^c</math>. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов <math>\sum M\xi_{n}^{c}</math> и <math>\sum D\xi_{n}^{c}</math> сходится.

Следствие

Пусть <math>\xi_1, \xi_2 ...</math> — независимые случайные величины с <math>M\xi_n = 0</math>. Тогда, если

<math>\sum M \frac{\xi_n^2}{1+ |\xi_n|} < \infty,</math>

то ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

<math> \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{n}</math>

где «<math>\pm</math>» означает, что знак каждого члена <math>1/n</math> выбран случайно, независимо, и с вероятностями <math>1/2</math>, <math>1/2</math>. Выбрав в качестве <math>\xi_n</math> ряд, членами которого являются <math>1/n</math> и <math>-1/n</math> с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

<math> \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{\sqrt{n}},</math>

расходится с вероятностью единица, так как ряд <math>\sum D\xi_{n}^{c}</math> расходится.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• [www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf Sun, Rongfeng. Lecture notes].

Отрывок, характеризующий Теорема Колмогорова о трёх рядах

– Пьер, подойдите сюда, мой друг. Я думаю, что он не лишний в родственном совете: не правда ли, князь?
– Что же вы молчите, mon cousin? – вдруг вскрикнула княжна так громко, что в гостиной услыхали и испугались ее голоса. – Что вы молчите, когда здесь Бог знает кто позволяет себе вмешиваться и делать сцены на пороге комнаты умирающего. Интриганка! – прошептала она злобно и дернула портфель изо всей силы.
Но Анна Михайловна сделала несколько шагов, чтобы не отстать от портфеля, и перехватила руку.
– Oh! – сказал князь Василий укоризненно и удивленно. Он встал. – C'est ridicule. Voyons, [Это смешно. Ну, же,] пустите. Я вам говорю.
Княжна пустила.
– И вы!
Анна Михайловна не послушалась его.
– Пустите, я вам говорю. Я беру всё на себя. Я пойду и спрошу его. Я… довольно вам этого.
– Mais, mon prince, [Но, князь,] – говорила Анна Михайловна, – после такого великого таинства дайте ему минуту покоя. Вот, Пьер, скажите ваше мнение, – обратилась она к молодому человеку, который, вплоть подойдя к ним, удивленно смотрел на озлобленное, потерявшее всё приличие лицо княжны и на перепрыгивающие щеки князя Василья.
– Помните, что вы будете отвечать за все последствия, – строго сказал князь Василий, – вы не знаете, что вы делаете.
– Мерзкая женщина! – вскрикнула княжна, неожиданно бросаясь на Анну Михайловну и вырывая портфель.
Князь Василий опустил голову и развел руками.
В эту минуту дверь, та страшная дверь, на которую так долго смотрел Пьер и которая так тихо отворялась, быстро, с шумом откинулась, стукнув об стену, и средняя княжна выбежала оттуда и всплеснула руками.
– Что вы делаете! – отчаянно проговорила она. – II s'en va et vous me laissez seule. [Он умирает, а вы меня оставляете одну.]
Старшая княжна выронила портфель. Анна Михайловна быстро нагнулась и, подхватив спорную вещь, побежала в спальню. Старшая княжна и князь Василий, опомнившись, пошли за ней. Через несколько минут первая вышла оттуда старшая княжна с бледным и сухим лицом и прикушенною нижнею губой. При виде Пьера лицо ее выразило неудержимую злобу.
– Да, радуйтесь теперь, – сказала она, – вы этого ждали.
И, зарыдав, она закрыла лицо платком и выбежала из комнаты.
За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.
Анна Михайловна вышла последняя. Она подошла к Пьеру тихими, медленными шагами.
– Пьер!… – сказала она.
Пьер вопросительно смотрел на нее. Она поцеловала в лоб молодого человека, увлажая его слезами. Она помолчала.
– II n'est plus… [Его не стало…]