Теорема Леви о монотонной сходимости
Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.
Содержание
Различные формулировки из функционального анализа
Пусть <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> — фиксированное пространство с мерой.
- Пусть на множестве <math>X</math> задана последовательность функций <math>f_n</math>, причем
- <math>f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f_n(x)\le\ldots,</math>
функции <math>f_n</math> интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности:
- <math>\int_X f_n(x)d\mu \le K. </math>
Тогда почти всюду существует конечный предел <math>f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)</math>, функция <math>f</math> интегрируема на <math>X</math> и <math>\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)d\mu=\int\limits_X f(x)d\mu</math>.
- Пусть ряд <math>\sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x)</math> состоит из суммируемых неотрицательных функций. Тогда если интегралы от частичных сумм ряда ограничены в совокупности:
- <math>\sum_{k=1}^n\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)\leqslant C</math>,
то ряд <math>\varphi(x)=\sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x)</math> сходится к почти всюду конечной суммируемой функции и
- <math>\sum_{k=1}^\infty\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)=\int\limits_X\varphi(x)\mu(dx)</math>.
Формулировка из теории вероятностей
Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов <math>\Omega</math>, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда
- <math>\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{E}X_n</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Теорема Леви о монотонной сходимости"
Примечания
- ↑ То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности <math>f_n(x)\rightarrow f(x)</math> к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов <math>\lim_{n\to\infty}\int f_n(x) dx=\int f(x) dx</math>.
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи по математике желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Теорема Леви о монотонной сходимости
– Как бы хорошо! – И, взяв ее руку, он поцеловал ее.Наташа была счастлива и взволнована; и тотчас же она вспомнила, что этого нельзя, что ему нужно спокойствие.
– Однако вы не спали, – сказала она, подавляя свою радость. – Постарайтесь заснуть… пожалуйста.
Он выпустил, пожав ее, ее руку, она перешла к свече и опять села в прежнее положение. Два раза она оглянулась на него, глаза его светились ей навстречу. Она задала себе урок на чулке и сказала себе, что до тех пор она не оглянется, пока не кончит его.
Действительно, скоро после этого он закрыл глаза и заснул. Он спал недолго и вдруг в холодном поту тревожно проснулся.
Засыпая, он думал все о том же, о чем он думал все ото время, – о жизни и смерти. И больше о смерти. Он чувствовал себя ближе к ней.
«Любовь? Что такое любовь? – думал он. – Любовь мешает смерти. Любовь есть жизнь. Все, все, что я понимаю, я понимаю только потому, что люблю. Все есть, все существует только потому, что я люблю. Все связано одною ею. Любовь есть бог, и умереть – значит мне, частице любви, вернуться к общему и вечному источнику». Мысли эти показались ему утешительны. Но это были только мысли. Чего то недоставало в них, что то было односторонне личное, умственное – не было очевидности. И было то же беспокойство и неясность. Он заснул.
Он видел во сне, что он лежит в той же комнате, в которой он лежал в действительности, но что он не ранен, а здоров. Много разных лиц, ничтожных, равнодушных, являются перед князем Андреем. Он говорит с ними, спорит о чем то ненужном. Они сбираются ехать куда то. Князь Андрей смутно припоминает, что все это ничтожно и что у него есть другие, важнейшие заботы, но продолжает говорить, удивляя их, какие то пустые, остроумные слова. Понемногу, незаметно все эти лица начинают исчезать, и все заменяется одним вопросом о затворенной двери. Он встает и идет к двери, чтобы задвинуть задвижку и запереть ее. Оттого, что он успеет или не успеет запереть ее, зависит все. Он идет, спешит, ноги его не двигаются, и он знает, что не успеет запереть дверь, но все таки болезненно напрягает все свои силы. И мучительный страх охватывает его. И этот страх есть страх смерти: за дверью стоит оно. Но в то же время как он бессильно неловко подползает к двери, это что то ужасное, с другой стороны уже, надавливая, ломится в нее. Что то не человеческое – смерть – ломится в дверь, и надо удержать ее. Он ухватывается за дверь, напрягает последние усилия – запереть уже нельзя – хоть удержать ее; но силы его слабы, неловки, и, надавливаемая ужасным, дверь отворяется и опять затворяется.
Еще раз оно надавило оттуда. Последние, сверхъестественные усилия тщетны, и обе половинки отворились беззвучно. Оно вошло, и оно есть смерть. И князь Андрей умер.
Но в то же мгновение, как он умер, князь Андрей вспомнил, что он спит, и в то же мгновение, как он умер, он, сделав над собою усилие, проснулся.
«Да, это была смерть. Я умер – я проснулся. Да, смерть – пробуждение!» – вдруг просветлело в его душе, и завеса, скрывавшая до сих пор неведомое, была приподнята перед его душевным взором. Он почувствовал как бы освобождение прежде связанной в нем силы и ту странную легкость, которая с тех пор не оставляла его.
