Теорема Ляпунова

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Пусть с <math>\xi_1,\xi_2,...,\xi_n </math>,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M<math>(\xi_i)=\alpha_i</math> и дисперсиями D<math>(\xi_i)=\sigma_i^2</math> , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Существует такое число L, что для любого i имеет место неравенство <math>\mid \xi_i - M(\xi_i)\mid<L</math>, т. е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма <math>\sum_{i=1}^n\sigma_i^2</math> неограниченно растёт при <math>n \to \infty</math>

Тогда при достаточно большом n сумма <math>\xi=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n </math> имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть <math>\alpha</math> и <math>\sigma^2 </math> математическое ожидание и дисперсия случайной величины <math>\xi=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n </math>. Тогда

<math>\alpha = M(\xi)=M(\xi_1+\xi_2+...+\xi_n)=M(\xi_1)+M(\xi_2)+...+M(\xi_n)=\sum_{i=1}^n\alpha_i</math>

<math>\sigma^2 = D(\xi)=D(\xi_1+\xi_2+...+\xi_n)=D(\xi_1)+D(\xi_2)+...+D(\xi_n)=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2</math>

<math>P(x_1<\xi_1+\xi_2+...+\xi_n <x_2)\approx \phi \left( \frac{x_2-\alpha}{\sigma} \right) - \phi \left( \frac{x_1-\alpha}{\sigma} \right)</math>,

где <math>\phi</math> — интеграл вероятности.

Напишите отзыв о статье "Теорема Ляпунова"



Ссылки


Отрывок, характеризующий Теорема Ляпунова

– Я тебе говог'ю, чтоб был кошелек, – кричал Денисов, тряся за плечи денщика и толкая его об стену.
– Денисов, оставь его; я знаю кто взял, – сказал Ростов, подходя к двери и не поднимая глаз.
Денисов остановился, подумал и, видимо поняв то, на что намекал Ростов, схватил его за руку.
– Вздог'! – закричал он так, что жилы, как веревки, надулись у него на шее и лбу. – Я тебе говог'ю, ты с ума сошел, я этого не позволю. Кошелек здесь; спущу шкуг`у с этого мег`завца, и будет здесь.
– Я знаю, кто взял, – повторил Ростов дрожащим голосом и пошел к двери.
– А я тебе говог'ю, не смей этого делать, – закричал Денисов, бросаясь к юнкеру, чтоб удержать его.
Но Ростов вырвал свою руку и с такою злобой, как будто Денисов был величайший враг его, прямо и твердо устремил на него глаза.
– Ты понимаешь ли, что говоришь? – сказал он дрожащим голосом, – кроме меня никого не было в комнате. Стало быть, ежели не то, так…
Он не мог договорить и выбежал из комнаты.
– Ах, чог'т с тобой и со всеми, – были последние слова, которые слышал Ростов.
Ростов пришел на квартиру Телянина.
– Барина дома нет, в штаб уехали, – сказал ему денщик Телянина. – Или что случилось? – прибавил денщик, удивляясь на расстроенное лицо юнкера.
– Нет, ничего.
– Немного не застали, – сказал денщик.
Штаб находился в трех верстах от Зальценека. Ростов, не заходя домой, взял лошадь и поехал в штаб. В деревне, занимаемой штабом, был трактир, посещаемый офицерами. Ростов приехал в трактир; у крыльца он увидал лошадь Телянина.
Во второй комнате трактира сидел поручик за блюдом сосисок и бутылкою вина.
– А, и вы заехали, юноша, – сказал он, улыбаясь и высоко поднимая брови.
– Да, – сказал Ростов, как будто выговорить это слово стоило большого труда, и сел за соседний стол.
Оба молчали; в комнате сидели два немца и один русский офицер. Все молчали, и слышались звуки ножей о тарелки и чавканье поручика. Когда Телянин кончил завтрак, он вынул из кармана двойной кошелек, изогнутыми кверху маленькими белыми пальцами раздвинул кольца, достал золотой и, приподняв брови, отдал деньги слуге.