Теорема Наполеона

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies' Diary.[mathworld.wolfram.com/NapoleonsTheorem.html]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D,E,F - точки на рисунке, для которых треугольники DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G = центр треугольника DBC, H = центр треугольника CAE, I = центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A - π/6): csc(B - π/6): csc(C - π/6).

Замечание

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Ссылки

NAPOLEON POINTS. faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/napoleon.html Dao Thanh Oai. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectors in Complex Numbers, Forum Geometricorum 15 (2015) 105-114. forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html Dao Thanh Oai. A family of Napoleon triangles associated with the Kiepert configuration, The Mathematical Gazette 99 (March 2015) 151-153. journals.cambridge.org/action/displayIssue?jid=MAG&volumeId=99&seriesId=0&issueId=544 John Rigby. "Napoleon revisited," Journal of Geometry 33 (1988) 129-146. Encyclopedia of Triangle Centers. X(17) and X(18). faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Связь с другими утверждениями

• Обобщение — теорема Петра-Неймана-Дугласа [mathworld.wolfram.com/Petr-Neumann-DouglasTheorem.html]

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника
• Правильный треугольник
• Вторая точка Ферма
• Теорема Ван-Обеля
• Теорема Тебо 2 и 3
• Точка Ферма
• Точки Аполлония
• Точки Наполеона
• Точки Торричелли
• Треугольник
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником

Ссылки

• [school-collection.edu.ru/catalog/res/02b7798e-607d-88ff-f603-9526ec4cf0bb/view/ Теорема Наполеона] в анимации.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/NapoleonsTheorem.html Теорема Наполеона] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Теорема Наполеона

M lle Bourienne, взведенная тоже приездом Анатоля на высокую степень возбуждения, думала в другом роде. Конечно, красивая молодая девушка без определенного положения в свете, без родных и друзей и даже родины не думала посвятить свою жизнь услугам князю Николаю Андреевичу, чтению ему книг и дружбе к княжне Марье. M lle Bourienne давно ждала того русского князя, который сразу сумеет оценить ее превосходство над русскими, дурными, дурно одетыми, неловкими княжнами, влюбится в нее и увезет ее; и вот этот русский князь, наконец, приехал. У m lle Bourienne была история, слышанная ею от тетки, доконченная ею самой, которую она любила повторять в своем воображении. Это была история о том, как соблазненной девушке представлялась ее бедная мать, sa pauvre mere, и упрекала ее за то, что она без брака отдалась мужчине. M lle Bourienne часто трогалась до слез, в воображении своем рассказывая ему , соблазнителю, эту историю. Теперь этот он , настоящий русский князь, явился. Он увезет ее, потом явится ma pauvre mere, и он женится на ней. Так складывалась в голове m lle Bourienne вся ее будущая история, в самое то время как она разговаривала с ним о Париже. Не расчеты руководили m lle Bourienne (она даже ни минуты не обдумывала того, что ей делать), но всё это уже давно было готово в ней и теперь только сгруппировалось около появившегося Анатоля, которому она желала и старалась, как можно больше, нравиться.
Маленькая княгиня, как старая полковая лошадь, услыхав звук трубы, бессознательно и забывая свое положение, готовилась к привычному галопу кокетства, без всякой задней мысли или борьбы, а с наивным, легкомысленным весельем.
Несмотря на то, что Анатоль в женском обществе ставил себя обыкновенно в положение человека, которому надоедала беготня за ним женщин, он чувствовал тщеславное удовольствие, видя свое влияние на этих трех женщин. Кроме того он начинал испытывать к хорошенькой и вызывающей Bourienne то страстное, зверское чувство, которое на него находило с чрезвычайной быстротой и побуждало его к самым грубым и смелым поступкам.
Общество после чаю перешло в диванную, и княжну попросили поиграть на клавикордах. Анатоль облокотился перед ней подле m lle Bourienne, и глаза его, смеясь и радуясь, смотрели на княжну Марью. Княжна Марья с мучительным и радостным волнением чувствовала на себе его взгляд. Любимая соната переносила ее в самый задушевно поэтический мир, а чувствуемый на себе взгляд придавал этому миру еще большую поэтичность. Взгляд же Анатоля, хотя и был устремлен на нее, относился не к ней, а к движениям ножки m lle Bourienne, которую он в это время трогал своею ногою под фортепиано. M lle Bourienne смотрела тоже на княжну, и в ее прекрасных глазах было тоже новое для княжны Марьи выражение испуганной радости и надежды.
«Как она меня любит! – думала княжна Марья. – Как я счастлива теперь и как могу быть счастлива с таким другом и таким мужем! Неужели мужем?» думала она, не смея взглянуть на его лицо, чувствуя всё тот же взгляд, устремленный на себя.
Ввечеру, когда после ужина стали расходиться, Анатоль поцеловал руку княжны. Она сама не знала, как у ней достало смелости, но она прямо взглянула на приблизившееся к ее близоруким глазам прекрасное лицо. После княжны он подошел к руке m lle Bourienne (это было неприлично, но он делал всё так уверенно и просто), и m lle Bourienne вспыхнула и испуганно взглянула на княжну.
«Quelle delicatesse» [Какая деликатность,] – подумала княжна. – Неужели Ame (так звали m lle Bourienne) думает, что я могу ревновать ее и не ценить ее чистую нежность и преданность ко мне. – Она подошла к m lle Bourienne и крепко ее поцеловала. Анатоль подошел к руке маленькой княгини.