Теорема Помпею

Теоре́ма Помпею́ — теорема планиметрии, открытая румынским математиком Димитрие Помпею и опубликованная им в 1936 году. Теорема известна в двух формулировках: частной и более общей.

Формулировки

Частная формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Тогда для любой точки этой окружности расстояние от неё до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух остальных вершин. В частности, для рис. справа имеем: <math>AM+CM=BM</math>. В симметричном виде эта формулировка может быть записана в виде: <math>MA+MB+MC = 2\max(MA,MB,MC) </math> или <math>x+y+z = 2\max(x,y,z) </math>.

Примеры аналогичных соотношений

Аналогичные соотношения встречаются в следующих разделах:

• Теорема Мавло
• Точки Фейербаха

Общая формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник <math>ABC</math>, вписанный в окружность. Тогда для любой точки <math>M</math> справедливы неравенства:

<math>MA\leq MB+MC</math>

<math>MB\leq MA+MC</math>

<math>MC\leq MA+MB</math>

При этом указанные неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда точка <math>M</math> лежит на дугах <math>BC</math>, <math>AC</math> и <math>AB</math> описанной окружности соответственно.

Другими словами, из отрезков <math>MA</math>, <math>MB</math>, <math>MC</math> можно составить треугольник, но если точка <math>M</math> на описанной окружности, он будет вырожденным.

Доказательства

Рассмотрим поворот вокруг точки <math>A</math> на <math>60^\circ</math>. При этом повороте точка <math>B</math> перейдёт в <math>C</math>, а <math>M</math> — в <math>M'</math>.

Заметим, что треугольник <math>AMM'</math> равносторонний, поэтому <math>AM=MM'</math>. Так как поворот является изометрией, то <math>MB=M'C</math>.

Таким образом, длины отрезков <math>MA</math>, <math>MB</math>, <math>MC</math> равны попарным расстояниям между точками <math>M</math>, <math>M'</math>, <math>C</math>, то есть все три неравенства будут следовать из обобщённого неравенства треугольника. Одно из неравенств станет равенством в том и только том случае, если точки <math>M</math>, <math>M'</math> и <math>C</math> будут лежать на одной прямой.

Заметим, что в силу свойств поворота <math>\angle AM'C=\angle AMB</math>. Теперь в случае, когда <math>C</math> лежит между <math>M</math> и <math>M'</math> имеем <math>\angle AM'C=\angle AMB=60^\circ</math> и <math>\angle AMC=60^\circ</math>, то есть <math>M</math> лежит на дуге <math>BC</math>. Аналогично, в двух других случаях один из указанных углов будет <math>60^\circ</math>, а другой <math>120^\circ</math>, и мы получим две другие дуги.

Другие доказательства

• Также теорема Помпею напрямую следует из неравенства Птолемея, применённого к <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> и <math>M</math>, то есть для вписанного в окружность четырехугольника <math>ABCM</math>.
• Теорема может быть доказана с помощью инверсии или комплексных чисел — доказательство самого Помпею также использовало комплексные числа.

Вариации и обобщения

Площадь треугольника Помпею

Как гласит теорема, для всякой точки <math>M</math> из отрезков <math>MA</math>, <math>MB</math>, <math>MC</math> можно построить треугольник (треугольник Помпею, соответствующий точке <math>M</math>). Если <math>M</math> лежит внутри треугольника <math>ABC</math> площади <math>S_0</math>, а площади треугольников <math>AMB</math>, <math>BMC</math> и <math>AMC</math> равны <math>S_1</math>, <math>S_2</math>, <math>S_3</math>, то площадь треугольника Помпею равна <math>\frac{S_1S_2+S_2S_3+S_3S_1}{S_0}</math>.

Обобщённая теорема Помпею

Пусть окружность касается описанной окружности равностороннего треугольника <math>ABC</math> в произвольной точке <math>M</math>. Проведём касательные <math>AA_1</math>, <math>BB_1</math>, <math>CC_1</math> к этой окружности из вершин треугольника. Тогда <math>AA_1+CC_1=BB_1</math>.

Доказательство основано на применении теоремы Помпею и теоремы о касательной и секущей. Ясно, что если сделать радиус окружности нулевым, мы получим классическую теорему Помпею. Данное обобщение теоремы Помпею есть простое следствие теоремы Кейси (обобщённой теоремы Птолемея), когда радиусы трех из четырех касающихся окружностей вписанного четырехугольника вырождаются в точки, а четвертая окружность фигурирует в данном обобщении теоремы Помпею. При этом вписанный четырехугольник вырождается в равносторонний треугольник с одной лишней вершиной. Можно взять и другой случай вписанного четырехугольника, когда у него равны две стороны и диагональ, образующие равносторонний треугольник ABC и три его вершины, четвертая вершина M лежит на окружности (см. последний рис.).

Источники

• Lambert M. Surhone, Mariam T. Tennoe, Susan F. Henssonow. Pompeiu's Theorem. — 2010. — ISBN 978-6-1312-9731-1.
• В. Ю. Протасов. [www.math.ru/lib/files/pdf/mp-seria/book.31.pdf Максимумы и минимумы в геометрии]. — М.: МЦНМО, 2005.
• Я. П. Понарин. [math.ru/lib/book/pdf/Ponarin-complexn.pdf Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах]. — М.: МЦНМО, 2004.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PompeiusTheorem.html Теорема Помпею] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Теорема Помпею

Наташе не понравился тон снисхождения до детского разговора, с которым гостья обратилась к ней. Она ничего не ответила и серьезно посмотрела на гостью.
Между тем всё это молодое поколение: Борис – офицер, сын княгини Анны Михайловны, Николай – студент, старший сын графа, Соня – пятнадцатилетняя племянница графа, и маленький Петруша – меньшой сын, все разместились в гостиной и, видимо, старались удержать в границах приличия оживление и веселость, которыми еще дышала каждая их черта. Видно было, что там, в задних комнатах, откуда они все так стремительно прибежали, у них были разговоры веселее, чем здесь о городских сплетнях, погоде и comtesse Apraksine. [о графине Апраксиной.] Изредка они взглядывали друг на друга и едва удерживались от смеха.
Два молодые человека, студент и офицер, друзья с детства, были одних лет и оба красивы, но не похожи друг на друга. Борис был высокий белокурый юноша с правильными тонкими чертами спокойного и красивого лица; Николай был невысокий курчавый молодой человек с открытым выражением лица. На верхней губе его уже показывались черные волосики, и во всем лице выражались стремительность и восторженность.
Николай покраснел, как только вошел в гостиную. Видно было, что он искал и не находил, что сказать; Борис, напротив, тотчас же нашелся и рассказал спокойно, шутливо, как эту Мими куклу он знал еще молодою девицей с неиспорченным еще носом, как она в пять лет на его памяти состарелась и как у ней по всему черепу треснула голова. Сказав это, он взглянул на Наташу. Наташа отвернулась от него, взглянула на младшего брата, который, зажмурившись, трясся от беззвучного смеха, и, не в силах более удерживаться, прыгнула и побежала из комнаты так скоро, как только могли нести ее быстрые ножки. Борис не рассмеялся.
– Вы, кажется, тоже хотели ехать, maman? Карета нужна? – .сказал он, с улыбкой обращаясь к матери.
– Да, поди, поди, вели приготовить, – сказала она, уливаясь.
Борис вышел тихо в двери и пошел за Наташей, толстый мальчик сердито побежал за ними, как будто досадуя на расстройство, происшедшее в его занятиях.


Из молодежи, не считая старшей дочери графини (которая была четырьмя годами старше сестры и держала себя уже, как большая) и гостьи барышни, в гостиной остались Николай и Соня племянница. Соня была тоненькая, миниатюрненькая брюнетка с мягким, отененным длинными ресницами взглядом, густой черною косой, два раза обвившею ее голову, и желтоватым оттенком кожи на лице и в особенности на обнаженных худощавых, но грациозных мускулистых руках и шее. Плавностью движений, мягкостью и гибкостью маленьких членов и несколько хитрою и сдержанною манерой она напоминала красивого, но еще не сформировавшегося котенка, который будет прелестною кошечкой. Она, видимо, считала приличным выказывать улыбкой участие к общему разговору; но против воли ее глаза из под длинных густых ресниц смотрели на уезжавшего в армию cousin [двоюродного брата] с таким девическим страстным обожанием, что улыбка ее не могла ни на мгновение обмануть никого, и видно было, что кошечка присела только для того, чтоб еще энергичнее прыгнуть и заиграть с своим соusin, как скоро только они так же, как Борис с Наташей, выберутся из этой гостиной.
– Да, ma chere, – сказал старый граф, обращаясь к гостье и указывая на своего Николая. – Вот его друг Борис произведен в офицеры, и он из дружбы не хочет отставать от него; бросает и университет и меня старика: идет в военную службу, ma chere. А уж ему место в архиве было готово, и всё. Вот дружба то? – сказал граф вопросительно.
– Да ведь война, говорят, объявлена, – сказала гостья.
– Давно говорят, – сказал граф. – Опять поговорят, поговорят, да так и оставят. Ma chere, вот дружба то! – повторил он. – Он идет в гусары.
Гостья, не зная, что сказать, покачала головой.
– Совсем не из дружбы, – отвечал Николай, вспыхнув и отговариваясь как будто от постыдного на него наклепа. – Совсем не дружба, а просто чувствую призвание к военной службе.
Он оглянулся на кузину и на гостью барышню: обе смотрели на него с улыбкой одобрения.
– Нынче обедает у нас Шуберт, полковник Павлоградского гусарского полка. Он был в отпуску здесь и берет его с собой. Что делать? – сказал граф, пожимая плечами и говоря шуточно о деле, которое, видимо, стоило ему много горя.
– Я уж вам говорил, папенька, – сказал сын, – что ежели вам не хочется меня отпустить, я останусь. Но я знаю, что я никуда не гожусь, кроме как в военную службу; я не дипломат, не чиновник, не умею скрывать того, что чувствую, – говорил он, всё поглядывая с кокетством красивой молодости на Соню и гостью барышню.
Кошечка, впиваясь в него глазами, казалась каждую секунду готовою заиграть и выказать всю свою кошачью натуру.
– Ну, ну, хорошо! – сказал старый граф, – всё горячится. Всё Бонапарте всем голову вскружил; все думают, как это он из поручиков попал в императоры. Что ж, дай Бог, – прибавил он, не замечая насмешливой улыбки гостьи.
Большие заговорили о Бонапарте. Жюли, дочь Карагиной, обратилась к молодому Ростову: