Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка

Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> — пространство с мерой и мера <math>\mu</math> <math>\sigma</math>-конечна. Тогда если мера <math>\nu\colon\mathcal{F} \to \mathbb{R}</math> абсолютно непрерывна относительно <math>\mu</math> <math>(\nu \ll \mu)</math>, то существует измеримая функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math>, такая что

<math>\nu(A) = \int\limits_{A}\!f(x)\, \mu(dx),\quad \forall A \in \mathcal{F},</math>

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция <math>f</math>, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры <math>\nu</math> относительно меры <math>\mu</math>. Пишут:

  <math>f = \frac{d\nu}{d \mu}.</math>

  • Если <math>(X,\;\mathcal{F}) = \left(\mathbb{R}^k,\;\mathcal{B}(\mathbb{R}^k)\right)</math> — <math>k</math>-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, <math>\nu = \mathbb{P}^{X}</math> — распределение некоторой случайной величины <math>X</math>, а <math>\mu = m</math> — мера Лебега на <math>\mathbb{R}^k</math>, то производная Радона — Никодима меры <math>\mathbb{P}^X</math> относительно меры <math>m</math> называется плотностью распределения случайной величины <math>X</math>.

Свойства

• Пусть <math>\lambda,\;\mu,\;\nu</math> — <math>\sigma</math>-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве <math>(X,\;\mathcal{F})</math>. Тогда если <math>\mu \ll \lambda</math> и <math>\nu \ll \lambda</math>, то

<math>\frac{d(\mu+\nu)}{d\lambda} = \frac{d\mu}{d\lambda} + \frac{d\nu}{d\lambda}.</math>

• Пусть <math>\nu \ll \mu \ll \lambda</math>. Тогда

<math> \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}</math> выполнено <math>\lambda</math>-почти всюду.

• Пусть <math>\mu \ll \lambda</math> и <math>g\colon X \to \mathbb{R}</math> — измеримая функция, интегрируемая относительно меры <math>\mu</math>, то

<math> \int\limits_X\!g(x)\,\mu(dx) = \int\limits_X\!g(x)\,\frac{d\mu}{d\lambda}(x)\,\lambda(dx).</math>

• Пусть <math>\mu \ll \nu</math> и <math>\nu \ll \mu</math>. Тогда

<math> \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}.</math>

• Пусть <math>\nu</math> — заряд. Тогда

<math> {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|.</math>

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также

• Никодим, Отто;
• Радон, Иоганн.

Отрывок, характеризующий Теорема Радона — Никодима

Проезжая между тех же рот, которые ели кашу и пили водку четверть часа тому назад, он везде видел одни и те же быстрые движения строившихся и разбиравших ружья солдат, и на всех лицах узнавал он то чувство оживления, которое было в его сердце. «Началось! Вот оно! Страшно и весело!» говорило лицо каждого солдата и офицера.
Не доехав еще до строившегося укрепления, он увидел в вечернем свете пасмурного осеннего дня подвигавшихся ему навстречу верховых. Передовой, в бурке и картузе со смушками, ехал на белой лошади. Это был князь Багратион. Князь Андрей остановился, ожидая его. Князь Багратион приостановил свою лошадь и, узнав князя Андрея, кивнул ему головой. Он продолжал смотреть вперед в то время, как князь Андрей говорил ему то, что он видел.
Выражение: «началось! вот оно!» было даже и на крепком карем лице князя Багратиона с полузакрытыми, мутными, как будто невыспавшимися глазами. Князь Андрей с беспокойным любопытством вглядывался в это неподвижное лицо, и ему хотелось знать, думает ли и чувствует, и что думает, что чувствует этот человек в эту минуту? «Есть ли вообще что нибудь там, за этим неподвижным лицом?» спрашивал себя князь Андрей, глядя на него. Князь Багратион наклонил голову, в знак согласия на слова князя Андрея, и сказал: «Хорошо», с таким выражением, как будто всё то, что происходило и что ему сообщали, было именно то, что он уже предвидел. Князь Андрей, запихавшись от быстроты езды, говорил быстро. Князь Багратион произносил слова с своим восточным акцентом особенно медленно, как бы внушая, что торопиться некуда. Он тронул, однако, рысью свою лошадь по направлению к батарее Тушина. Князь Андрей вместе с свитой поехал за ним. За князем Багратионом ехали: свитский офицер, личный адъютант князя, Жерков, ординарец, дежурный штаб офицер на энглизированной красивой лошади и статский чиновник, аудитор, который из любопытства попросился ехать в сражение. Аудитор, полный мужчина с полным лицом, с наивною улыбкой радости оглядывался вокруг, трясясь на своей лошади, представляя странный вид в своей камлотовой шинели на фурштатском седле среди гусар, казаков и адъютантов.
– Вот хочет сраженье посмотреть, – сказал Жерков Болконскому, указывая на аудитора, – да под ложечкой уж заболело.
– Ну, полно вам, – проговорил аудитор с сияющею, наивною и вместе хитрою улыбкой, как будто ему лестно было, что он составлял предмет шуток Жеркова, и как будто он нарочно старался казаться глупее, чем он был в самом деле.