Теорема Стокса
Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.
Содержание
Общая формулировка
Пусть на ориентируемом многообразии <math>M</math> размерности <math>n</math> заданы ориентируемое <math>p</math>-мерное подмногообразие <math>\sigma</math> и дифференциальная форма <math>\omega</math> степени <math>p-1</math> класса <math>C^1</math> (<math>1\leqslant p\leqslant n</math>). Тогда, если граница подмногообразия <math>\partial\sigma</math> положительно ориентирована, то
- <math>\int\limits_\sigma d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega,</math>
где <math>d\omega</math> обозначает внешний дифференциал формы <math>\omega</math>.
Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия <math>M</math>.
Частные случаи
Формула Ньютона — Лейбница
Пусть дана кривая <math>l</math>, соединяющая две точки <math>a</math> и <math>b</math> (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма <math>\omega</math> нулевой степени класса <math>C^1</math> — это дифференцируемая функция <math>f</math>. Формула Стокса тогда записывается в виде
- <math>\int\limits_l df=\int\limits_l f'\,dx=\int\limits_a^b f'\,dx=f(b)-f(a).</math>
Теорема Грина
Пусть <math>M</math> — плоскость, а <math>D</math> — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах <math>x</math> и <math>y</math> — это выражение <math>L\,dx+M\,dy</math>, и для интеграла этой формы по границе области <math>D</math> верно
- <math>\int\limits_{\partial D} \left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.</math>
{{{1}}}■
Отсюда используя теорему Стокса:
- <math>\int\limits_{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.</math>
}} Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.
Формула Кельвина — Стокса
Пусть <math>\Sigma</math> — кусочно-гладкая поверхность (<math>p=2</math>) в трёхмерном евклидовом пространстве (<math>n=3</math>), <math>\mathbf{F}</math> — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура <math>\partial\Sigma</math> равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность <math>\Sigma</math>, ограниченную контуром:
- <math>\int\limits_\Sigma\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}</math>
или в координатной записи:
- <math>\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.</math>
{{{1}}}■
{{{1}}}■
Формула Остроградского — Гаусса
Пусть теперь <math>\partial V</math> — кусочно-гладкая гиперповерхность (<math>p=n-1</math>), ограничивающая некоторую область <math>V</math> в <math>n</math>-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области <math>\partial V</math>:
- <math>\int\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}.</math>
В трёхмерном пространстве <math>(n=3)</math> с координатами <math>\{x, y, z\}</math> это эквивалентно записи:
- <math>\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dV</math>
или
- <math>\iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz.</math>
{{{1}}}■
Напишите отзыв о статье "Теорема Стокса"
Литература
- Фихтенгольц Г. М. [sci-lib.com/book001868.html Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3]
- Арнольд В. И. [sci-lib.com/books/A/arnold_01.djvu Математические методы классической механики (djvu)] (недоступная ссылка с 18-05-2013 (3990 дней) — история)
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
См. также
- Векторный анализ
- Дифференциальная форма
- Формулы векторного анализа
- Дифференциальные геометрия и топология
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Теорема Стокса
– Как же, ваше сиятельство, – отвечал архитектор.Князь опять засмеялся своим холодным смехом.
– Бонапарте в рубашке родился. Солдаты у него прекрасные. Да и на первых он на немцев напал. А немцев только ленивый не бил. С тех пор как мир стоит, немцев все били. А они никого. Только друг друга. Он на них свою славу сделал.
И князь начал разбирать все ошибки, которые, по его понятиям, делал Бонапарте во всех своих войнах и даже в государственных делах. Сын не возражал, но видно было, что какие бы доводы ему ни представляли, он так же мало способен был изменить свое мнение, как и старый князь. Князь Андрей слушал, удерживаясь от возражений и невольно удивляясь, как мог этот старый человек, сидя столько лет один безвыездно в деревне, в таких подробностях и с такою тонкостью знать и обсуживать все военные и политические обстоятельства Европы последних годов.
– Ты думаешь, я, старик, не понимаю настоящего положения дел? – заключил он. – А мне оно вот где! Я ночи не сплю. Ну, где же этот великий полководец твой то, где он показал себя?
– Это длинно было бы, – отвечал сын.
– Ступай же ты к Буонапарте своему. M lle Bourienne, voila encore un admirateur de votre goujat d'empereur! [вот еще поклонник вашего холопского императора…] – закричал он отличным французским языком.
– Vous savez, que je ne suis pas bonapartiste, mon prince. [Вы знаете, князь, что я не бонапартистка.]
– «Dieu sait quand reviendra»… [Бог знает, вернется когда!] – пропел князь фальшиво, еще фальшивее засмеялся и вышел из за стола.
Маленькая княгиня во всё время спора и остального обеда молчала и испуганно поглядывала то на княжну Марью, то на свекра. Когда они вышли из за стола, она взяла за руку золовку и отозвала ее в другую комнату.
– Сomme c'est un homme d'esprit votre pere, – сказала она, – c'est a cause de cela peut etre qu'il me fait peur. [Какой умный человек ваш батюшка. Может быть, от этого то я и боюсь его.]
– Ax, он так добр! – сказала княжна.
Князь Андрей уезжал на другой день вечером. Старый князь, не отступая от своего порядка, после обеда ушел к себе. Маленькая княгиня была у золовки. Князь Андрей, одевшись в дорожный сюртук без эполет, в отведенных ему покоях укладывался с своим камердинером. Сам осмотрев коляску и укладку чемоданов, он велел закладывать. В комнате оставались только те вещи, которые князь Андрей всегда брал с собой: шкатулка, большой серебряный погребец, два турецких пистолета и шашка, подарок отца, привезенный из под Очакова. Все эти дорожные принадлежности были в большом порядке у князя Андрея: всё было ново, чисто, в суконных чехлах, старательно завязано тесемочками.
В минуты отъезда и перемены жизни на людей, способных обдумывать свои поступки, обыкновенно находит серьезное настроение мыслей. В эти минуты обыкновенно поверяется прошедшее и делаются планы будущего. Лицо князя Андрея было очень задумчиво и нежно. Он, заложив руки назад, быстро ходил по комнате из угла в угол, глядя вперед себя, и задумчиво покачивал головой. Страшно ли ему было итти на войну, грустно ли бросить жену, – может быть, и то и другое, только, видимо, не желая, чтоб его видели в таком положении, услыхав шаги в сенях, он торопливо высвободил руки, остановился у стола, как будто увязывал чехол шкатулки, и принял свое всегдашнее, спокойное и непроницаемое выражение. Это были тяжелые шаги княжны Марьи.
– Мне сказали, что ты велел закладывать, – сказала она, запыхавшись (она, видно, бежала), – а мне так хотелось еще поговорить с тобой наедине. Бог знает, на сколько времени опять расстаемся. Ты не сердишься, что я пришла? Ты очень переменился, Андрюша, – прибавила она как бы в объяснение такого вопроса.
Она улыбнулась, произнося слово «Андрюша». Видно, ей самой было странно подумать, что этот строгий, красивый мужчина был тот самый Андрюша, худой, шаловливый мальчик, товарищ детства.
– А где Lise? – спросил он, только улыбкой отвечая на ее вопрос.
– Она так устала, что заснула у меня в комнате на диване. Ax, Andre! Que! tresor de femme vous avez, [Ax, Андрей! Какое сокровище твоя жена,] – сказала она, усаживаясь на диван против брата. – Она совершенный ребенок, такой милый, веселый ребенок. Я так ее полюбила.
Князь Андрей молчал, но княжна заметила ироническое и презрительное выражение, появившееся на его лице.
– Но надо быть снисходительным к маленьким слабостям; у кого их нет, Аndre! Ты не забудь, что она воспитана и выросла в свете. И потом ее положение теперь не розовое. Надобно входить в положение каждого. Tout comprendre, c'est tout pardonner. [Кто всё поймет, тот всё и простит.] Ты подумай, каково ей, бедняжке, после жизни, к которой она привыкла, расстаться с мужем и остаться одной в деревне и в ее положении? Это очень тяжело.
Князь Андрей улыбался, глядя на сестру, как мы улыбаемся, слушая людей, которых, нам кажется, что мы насквозь видим.
– Ты живешь в деревне и не находишь эту жизнь ужасною, – сказал он.
– Я другое дело. Что обо мне говорить! Я не желаю другой жизни, да и не могу желать, потому что не знаю никакой другой жизни. А ты подумай, Andre, для молодой и светской женщины похорониться в лучшие годы жизни в деревне, одной, потому что папенька всегда занят, а я… ты меня знаешь… как я бедна en ressources, [интересами.] для женщины, привыкшей к лучшему обществу. M lle Bourienne одна…
– Она мне очень не нравится, ваша Bourienne, – сказал князь Андрей.
– О, нет! Она очень милая и добрая,а главное – жалкая девушка.У нее никого,никого нет. По правде сказать, мне она не только не нужна, но стеснительна. Я,ты знаешь,и всегда была дикарка, а теперь еще больше. Я люблю быть одна… Mon pere [Отец] ее очень любит. Она и Михаил Иваныч – два лица, к которым он всегда ласков и добр, потому что они оба облагодетельствованы им; как говорит Стерн: «мы не столько любим людей за то добро, которое они нам сделали, сколько за то добро, которое мы им сделали». Mon pеre взял ее сиротой sur le pavе, [на мостовой,] и она очень добрая. И mon pere любит ее манеру чтения. Она по вечерам читает ему вслух. Она прекрасно читает.
– Ну, а по правде, Marie, тебе, я думаю, тяжело иногда бывает от характера отца? – вдруг спросил князь Андрей.
Княжна Марья сначала удивилась, потом испугалась этого вопроса.
– МНЕ?… Мне?!… Мне тяжело?! – сказала она.
– Он и всегда был крут; а теперь тяжел становится, я думаю, – сказал князь Андрей, видимо, нарочно, чтоб озадачить или испытать сестру, так легко отзываясь об отце.
