Теорема Титчмарша — Пойа

Теорема Титчмарша — Пойа — утверждение теории вероятностей определяющее достаточные условия для того чтобы некоторая функция была характеристической функцией случайной величины.

Формулировка

Всякая чётная функция <math>\varphi(t)</math>, непрерывная в нуле, ограниченная, неотрицательная и выпуклая при <math>t > 0</math> является характеристической функцией (закона распределения, называемого "выпуклым").

Доказательство

Предположим, что <math>\varphi (0) = 1</math>. При <math>t>0</math> <math>\varphi</math> имеет правостороннюю производную <math>\varphi^{+}</math> и левостороннюю производную, а значит, имеют равные интегралы (отрицательные, так как <math>\varphi</math> ограничена). Из оценок <math>\Sigma \varphi^{-} (t_{i+1})(t_{i+1}-t_{i}) \leqslant \Sigma \Delta_{i} \varphi \leqslant \Sigma \varphi^{+} (t_{i})(t_{i+1}-t_{i})</math> выводим, что интеграл от <math>\varphi^{'}</math> (какой-нибудь из монотонных функций, заключённых между <math>\varphi^{-}</math> и <math>\varphi^{+}</math>) равен вариации функции <math>\varphi</math>: <math>\varphi(t)</math> абсолютно непрерывна при <math>t > 0</math>, а значит и при любом <math>t</math> и <math>\varphi^{'} \leqslant 0</math> при <math>t > 0</math>. Предположим, что предел <math>\alpha = \lim_{t \to \infty} \downarrow \varphi(t)</math> равен нулю (в противном случае достаточно рассмотреть функцию <math>\varphi (t) - \alpha</math>), тогда, так как функция <math>\sin(tx) \varphi (t)</math> также абсолютно непрерывна, имеем: <math>\lim_{T \to \infty} \left [ \sin (Tx) \varphi (T) \right ] = 0 = \int_{0}^{\infty} \sin(Tx) \varphi'(t) \partial t + x \int_{0}^{\infty} \cos(tx) \varphi(t) \partial t \Rightarrow f(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{-2 \sin(tx)}{x} \varphi'(t) \partial t + \int_{0}^{\infty} 2 \cos(tx) \varphi(t) \partial t \geqslant 0 </math>. Поскольку <math>\varphi</math> - функция ограниченной вариации, то <math>\varphi (u) = \lim_{X \to \infty, \eta \to 0} \frac{1}{2\pi} \int_{\eta \leqslant \mid x \mid \leqslant X}e^{iux} \int_{0}^{\infty} 2 \cos(tx) \varphi(t) \partial t = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{iux} f(x) dx</math> так как в действительности <math>f</math> интегрируема (положить <math>u=0</math>).

Литература

• Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.

К:Википедия:Изолированные статьи (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Теорема Титчмарша — Пойа

– Напротив, но важность какая то. Княгиня! – сказал он ей шопотом.
– Да, да, да, – радостно говорила Наташа.
Наташа рассказала ему свой роман с князем Андреем, его приезд в Отрадное и показала его последнее письмо.
– Что ж ты рад? – спрашивала Наташа. – Я так теперь спокойна, счастлива.
– Очень рад, – отвечал Николай. – Он отличный человек. Что ж ты очень влюблена?
– Как тебе сказать, – отвечала Наташа, – я была влюблена в Бориса, в учителя, в Денисова, но это совсем не то. Мне покойно, твердо. Я знаю, что лучше его не бывает людей, и мне так спокойно, хорошо теперь. Совсем не так, как прежде…
Николай выразил Наташе свое неудовольствие о том, что свадьба была отложена на год; но Наташа с ожесточением напустилась на брата, доказывая ему, что это не могло быть иначе, что дурно бы было вступить в семью против воли отца, что она сама этого хотела.
– Ты совсем, совсем не понимаешь, – говорила она. Николай замолчал и согласился с нею.
Брат часто удивлялся глядя на нее. Совсем не было похоже, чтобы она была влюбленная невеста в разлуке с своим женихом. Она была ровна, спокойна, весела совершенно по прежнему. Николая это удивляло и даже заставляло недоверчиво смотреть на сватовство Болконского. Он не верил в то, что ее судьба уже решена, тем более, что он не видал с нею князя Андрея. Ему всё казалось, что что нибудь не то, в этом предполагаемом браке.
«Зачем отсрочка? Зачем не обручились?» думал он. Разговорившись раз с матерью о сестре, он, к удивлению своему и отчасти к удовольствию, нашел, что мать точно так же в глубине души иногда недоверчиво смотрела на этот брак.
– Вот пишет, – говорила она, показывая сыну письмо князя Андрея с тем затаенным чувством недоброжелательства, которое всегда есть у матери против будущего супружеского счастия дочери, – пишет, что не приедет раньше декабря. Какое же это дело может задержать его? Верно болезнь! Здоровье слабое очень. Ты не говори Наташе. Ты не смотри, что она весела: это уж последнее девичье время доживает, а я знаю, что с ней делается всякий раз, как письма его получаем. А впрочем Бог даст, всё и хорошо будет, – заключала она всякий раз: – он отличный человек.