Теорема Ферма — Эйлера

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Ферма — Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит[1]:

Любое простое число <math>p=4n+1</math>, где <math>n</math> — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Иначе говоря,

<math>p=4n+1, n \in \mathbb{N} \Rightarrow p=x^2+y^2,</math>

где <math>p</math> — простое число.


В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

<math>5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.</math>

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида <math>4k+3</math> входит в его разложение на простые множители в чётной степени.


Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.





История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения[2].

Доказательство

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром[3]:

Инволюция конечного множества <math>S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3:x^2+4yz=p\}</math>, определённая как

<math>(x,y,z) \rightarrow \begin{cases} (x+2z,z,y-x-z), & x<y-z \\ (2y-x,y,x-y+z), & y-z<x<2y \\ (x-2y,x-y+z,y), & x>2y \end{cases}</math>

имеет ровно одну неподвижную точку (а именно <math>(1,1,k)</math>, так как <math>p=4k+1</math> — простое), так что <math>|S|</math> нечётно и инволюция <math>(x,y,z) \rightarrow (x,z,y)</math> также имеет неподвижную точку.

Напишите отзыв о статье "Теорема Ферма — Эйлера"

Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
  • Сендеров В., Спивак А. [mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf Суммы квадратов и целые гауссовы числа] // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
  • Dickson L. E.[en] History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

Примечания

  1. Сендеров В., Спивак А. [mmmf.msu.ru/lect/spivak/summa_sq.pdf Суммы квадратов и целые гауссовы числа] // [kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399senderov.pdf «Квант»]. — № 3 (1999), стр. 14—22.
  2. [www.jstor.org/pss/2323918 A One-Sentence Proof That Every Prime 4k+1 Is a Sum of Two Squares]
  3. [mmmf.msu.ru/vecher/lect/zagir_!.pdf Краткое изложение доказательства Дона Цагира]

Отрывок, характеризующий Теорема Ферма — Эйлера

И еще больше чувство жалости, нежности и любви охватило Пьера. Он слышал как под очками его текли слезы и надеялся, что их не заметят.
– Не будем больше говорить, мой друг, – сказал Пьер.
Так странно вдруг для Наташи показался этот его кроткий, нежный, задушевный голос.
– Не будем говорить, мой друг, я всё скажу ему; но об одном прошу вас – считайте меня своим другом, и ежели вам нужна помощь, совет, просто нужно будет излить свою душу кому нибудь – не теперь, а когда у вас ясно будет в душе – вспомните обо мне. – Он взял и поцеловал ее руку. – Я счастлив буду, ежели в состоянии буду… – Пьер смутился.
– Не говорите со мной так: я не стою этого! – вскрикнула Наташа и хотела уйти из комнаты, но Пьер удержал ее за руку. Он знал, что ему нужно что то еще сказать ей. Но когда он сказал это, он удивился сам своим словам.
– Перестаньте, перестаньте, вся жизнь впереди для вас, – сказал он ей.
– Для меня? Нет! Для меня всё пропало, – сказала она со стыдом и самоунижением.
– Все пропало? – повторил он. – Ежели бы я был не я, а красивейший, умнейший и лучший человек в мире, и был бы свободен, я бы сию минуту на коленях просил руки и любви вашей.
Наташа в первый раз после многих дней заплакала слезами благодарности и умиления и взглянув на Пьера вышла из комнаты.
Пьер тоже вслед за нею почти выбежал в переднюю, удерживая слезы умиления и счастья, давившие его горло, не попадая в рукава надел шубу и сел в сани.
– Теперь куда прикажете? – спросил кучер.
«Куда? спросил себя Пьер. Куда же можно ехать теперь? Неужели в клуб или гости?» Все люди казались так жалки, так бедны в сравнении с тем чувством умиления и любви, которое он испытывал; в сравнении с тем размягченным, благодарным взглядом, которым она последний раз из за слез взглянула на него.
– Домой, – сказал Пьер, несмотря на десять градусов мороза распахивая медвежью шубу на своей широкой, радостно дышавшей груди.
Было морозно и ясно. Над грязными, полутемными улицами, над черными крышами стояло темное, звездное небо. Пьер, только глядя на небо, не чувствовал оскорбительной низости всего земного в сравнении с высотою, на которой находилась его душа. При въезде на Арбатскую площадь, огромное пространство звездного темного неба открылось глазам Пьера. Почти в середине этого неба над Пречистенским бульваром, окруженная, обсыпанная со всех сторон звездами, но отличаясь от всех близостью к земле, белым светом, и длинным, поднятым кверху хвостом, стояла огромная яркая комета 1812 го года, та самая комета, которая предвещала, как говорили, всякие ужасы и конец света. Но в Пьере светлая звезда эта с длинным лучистым хвостом не возбуждала никакого страшного чувства. Напротив Пьер радостно, мокрыми от слез глазами, смотрел на эту светлую звезду, которая, как будто, с невыразимой быстротой пролетев неизмеримые пространства по параболической линии, вдруг, как вонзившаяся стрела в землю, влепилась тут в одно избранное ею место, на черном небе, и остановилась, энергично подняв кверху хвост, светясь и играя своим белым светом между бесчисленными другими, мерцающими звездами. Пьеру казалось, что эта звезда вполне отвечала тому, что было в его расцветшей к новой жизни, размягченной и ободренной душе.