Теорема Фробениуса

Эта статья — о теореме Фробениуса в алгебре. О критерии интегрируемости распределений плоскостей см. Теорема Фробениуса (дифференциальная геометрия).

Теоре́ма Фробе́ниуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность, см. ниже) всякое тело (в частности, поле), расширяющее поле вещественных чисел <math>\mathbb R</math>:

• либо изоморфно исходному полю <math>\mathbb R</math>;
• либо изоморфно полю комплексных чисел <math>\mathbb C</math>;
• либо изоморфно телу кватернионов <math>\mathbb H</math>.

Эта теорема была доказана Ф. Г. Фробениусом в 1877 году.

Формулировка

Пусть <math>\mathbb L</math> — тело, содержащее в качестве подтела тело <math>\mathbb R</math> вещественных чисел, причём выполняются два условия:

• любой элемент <math>x \in \mathbb L</math> коммутирует по умножению с вещественными числами: <math>xa=ax</math>, <math>a \in \mathbb R</math>;
• <math>\mathbb L</math> является конечномерным векторным пространством над полем <math>\mathbb R</math>.

Другими словами, <math>\mathbb L</math> является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.

Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело <math>\mathbb L</math>:

• либо изоморфно полю <math>\mathbb R</math> вещественных чисел,
• либо изоморфно полю <math>\mathbb C</math> комплексных чисел,
• либо изоморфно телу <math>\mathbb H</math> кватернионов.

Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям <math>\mathbb R</math>. Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа, которое тоже является расширением <math>\mathbb R</math>, но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций.

Следствия и замечания

• Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах. Нормированные алгебры с делением — только <math>\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H</math> и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли.
• При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
• Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
• Поля <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math> являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
• Тело кватернионов <math>\mathbb H</math> является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.

Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Алгебра размерности n над полем <math>\mathbb C</math> комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над <math>\mathbb R</math>. Тело кватернионов <math>\mathbb H</math> не является алгеброй над полем <math>\mathbb C</math>, так как центром <math>\mathbb H</math> является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над <math>\mathbb C</math> является алгебра <math>\mathbb C</math>.

Гипотеза Фробениуса

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве Rⁿ нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве Rⁿ определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S^n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей. Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере, следует, что это возможно только для сфер S¹, S³, S⁷. Это доказывает гипотезу Фробениуса.

См. также

• Алгебра Кэли
• Гиперкомплексное число
• Седенион
• Теорема Гурвица

Литература

• Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. — М.: Наука, 1990. — 320 с.
• Курош А. Г.  [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kurosh1973ru.djvu Лекции по общей алгебре. 2-е изд]. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Понтрягин Л. С.  [www.math.ru/lib/book/djvu/bib-kvant/pontrjagin.djvu Обобщения чисел]. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант», выпуск 54).

</math>) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |заголовок2=Вещественные числа
и их расширения

|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные

|заголовок3=Инструменты расширения
числовых систем

|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица

|заголовок4=Иерархия чисел |список4=<center>

<math>1,\;2,\;\ldots</math> Натуральные числа <math>-1,\;0,\;1,\;\ldots</math> Целые числа <math>-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots</math> Рациональные числа <math>-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots</math> Вещественные числа <math>-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots</math> Комплексные числа <math>1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots</math> Кватернионы <math>1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots</math> Октонионы

<math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math>

Седенионы

</center> |заголовок5=Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа

|заголовок6=См. также

|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион

}}

Отрывок, характеризующий Теорема Фробениуса

Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.