Теорема Харди — Рамануджана
В математике теорема Харди — Рамануджана[1] утверждает, что скорость роста числа <math>\omega(n)</math> различных простых делителей числа <math>n</math> определяется функцией повторного логарифма — <math>\log(\log(n))</math>, а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.
Теорема
Пусть действительная <math>f(n)</math> такова, что <math> \lim_{n \to \infty} f(n) =\infty </math>, и пусть <math>g(x)</math> — число натуральных чисел <math>n<x</math>, для которых выполнено следующее неравенство
- <math>|\omega(n)-\log(\log(n))|<f(n)\sqrt{\log(\log(n))}</math>
или более традиционно
- <math>|\omega(n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{\frac12 +\varepsilon}</math> , где <math>\varepsilon >0 </math>
Тогда
- <math>\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x} = 1 </math>
Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.
Обобщения и усиления
Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа <math>n </math>.
Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными <math>\log(\log(n))</math>. Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.
Напишите отзыв о статье "Теорема Харди — Рамануджана"
Примечания
- ↑ Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1917), "[www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm The normal number of prime factors of a number]", Quarterly Journal of Mathematics Т. 48: 76–92, <www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm>
Отрывок, характеризующий Теорема Харди — Рамануджана
Господа, бывавшие у Билибина, светские, молодые, богатые и веселые люди, составляли и в Вене и здесь отдельный кружок, который Билибин, бывший главой этого кружка, называл наши, les nфtres. В кружке этом, состоявшем почти исключительно из дипломатов, видимо, были свои, не имеющие ничего общего с войной и политикой, интересы высшего света, отношений к некоторым женщинам и канцелярской стороны службы. Эти господа, повидимому, охотно, как своего (честь, которую они делали немногим), приняли в свой кружок князя Андрея. Из учтивости, и как предмет для вступления в разговор, ему сделали несколько вопросов об армии и сражении, и разговор опять рассыпался на непоследовательные, веселые шутки и пересуды.– Но особенно хорошо, – говорил один, рассказывая неудачу товарища дипломата, – особенно хорошо то, что канцлер прямо сказал ему, что назначение его в Лондон есть повышение, и чтоб он так и смотрел на это. Видите вы его фигуру при этом?…
– Но что всего хуже, господа, я вам выдаю Курагина: человек в несчастии, и этим то пользуется этот Дон Жуан, этот ужасный человек!
Князь Ипполит лежал в вольтеровском кресле, положив ноги через ручку. Он засмеялся.
– Parlez moi de ca, [Ну ка, ну ка,] – сказал он.
– О, Дон Жуан! О, змея! – послышались голоса.
– Вы не знаете, Болконский, – обратился Билибин к князю Андрею, – что все ужасы французской армии (я чуть было не сказал – русской армии) – ничто в сравнении с тем, что наделал между женщинами этот человек.
– La femme est la compagne de l'homme, [Женщина – подруга мужчины,] – произнес князь Ипполит и стал смотреть в лорнет на свои поднятые ноги.
Билибин и наши расхохотались, глядя в глаза Ипполиту. Князь Андрей видел, что этот Ипполит, которого он (должно было признаться) почти ревновал к своей жене, был шутом в этом обществе.
