Теорема косинусов

Эта статья — о теореме планиметрии. О теоремах для сферических треугольников см. Теоремы косинусов (сферическая геометрия).

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами <math>a, b, c</math> и углом <math>\alpha</math>, противолежащим стороне <math>a</math>, справедливо соотношение:

<math> a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha </math>.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Доказательства

Классическое доказательство  

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

<math> AD = b \cos \alpha </math>,

<math> DB = c - b \cos \alpha </math>

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

<math> h^2 = b^2 - (b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)</math>

<math> h^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad (2)</math>

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

<math> b^2 - (b \cos \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 </math>

или

<math> a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha </math>.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

<math> b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta </math>

<math> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma </math>.

Доказательство через координаты  

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
<math>a^2 = (b\cos{a} - c)^2 + b^2\sin^2{a}</math>
<math>a^2 = b^2\cos^2{a} - 2bc\cos{a} + c^2 + b^2\sin^2{a}</math>
<math>a^2 = b^2(\cos^2{a} + \sin^2{a}) + c^2 - 2bc\cos{a}</math>
Так как
<math>\cos^2{a} + \sin^2{a} = 1</math> (основное тригонометрическое тождество), то
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{a}</math>
Теорема доказана.
Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Следствия из теоремы косинусов

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  <math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} </math>

В частности,

• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 > 0</math>, угол α — острый
• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 = 0</math>, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 < 0</math>, угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде:

<math> a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) </math>,

<math> a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) </math>.

Доказательство  

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

<math> 1+\cos \alpha = 2\cdot\cos^2 (\alpha/2) </math>,

<math> 1 - \cos \alpha=2\cdot\sin^2 (\alpha/2) </math>.

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

• Находя из двух последних формул в явном виде <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2)</math>, получим известные формулы геометрии:

  <math>\cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}</math>, <math>\sin \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}</math>, <math> \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} </math>, где p — полупериметр.

• Наконец, используя правые части формул для <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2) </math> и известную формулу площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} bc \sin \alpha </math>, а также известную формулу синуса двойного угла <math> \sin \alpha = 2 \sin (\alpha/2) \cos (\alpha/2) </math> после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>, где p — полупериметр.

Теорема косинусов для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

<math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)</math>

<math>b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)</math>

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

<math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math>

<math>\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)</math>

<math>\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)</math>

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
• Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (смотрите также Теорема Птолемея):

  <math>AC^2+BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2.</math>

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве <math>E</math> задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть <math>\left\Vert \vec{a} \right\Vert = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}</math>. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема. <math>\left\Vert \vec{a}-\vec{b} \right\Vert^2 = \left\Vert \vec{a} \right\Vert ^2 + \left\Vert \vec{b} \right\Vert ^2 - 2(\vec{a},\vec{b})</math>

Теорема косинусов для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество <math>\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}</math> можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

<math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C</math>, где <math>\omega</math> — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

<math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C</math>

Формула справедлива и для тетраэдра, под <math>w</math> подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами <math>a</math> и <math>c</math> зная все ребра тетраэдра:

<math>cos w =(b^2+d^2-e^2-f^2)/2ac </math>

Где <math>b</math> и <math>d</math>, <math>e</math> и <math>f</math> пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог теоремы косинусов для четырехугольника

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

{{{1}}}

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта. Однако сама теорема косинусов для треугольника из соотношения Бретшнайдера непосредственно не следует.

Симплексы

<math>S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\ 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}</math> при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится <math>d_{ij}</math> или <math>d_{ji}</math>.

A — угол между гранями <math>S_i</math> и <math>S_j </math>, <math>S_i</math> -грань, находящаяся против вершины i,<math>d_{ij}</math>- расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

Отрывок, характеризующий Теорема косинусов

– Пошел на лед! пошел по льду! Пошел! вороти! аль не слышишь! Пошел! – вдруг после ядра, попавшего в генерала, послышались бесчисленные голоса, сами не зная, что и зачем кричавшие.
Одно из задних орудий, вступавшее на плотину, своротило на лед. Толпы солдат с плотины стали сбегать на замерзший пруд. Под одним из передних солдат треснул лед, и одна нога ушла в воду; он хотел оправиться и провалился по пояс.
Ближайшие солдаты замялись, орудийный ездовой остановил свою лошадь, но сзади всё еще слышались крики: «Пошел на лед, что стал, пошел! пошел!» И крики ужаса послышались в толпе. Солдаты, окружавшие орудие, махали на лошадей и били их, чтобы они сворачивали и подвигались. Лошади тронулись с берега. Лед, державший пеших, рухнулся огромным куском, и человек сорок, бывших на льду, бросились кто вперед, кто назад, потопляя один другого.
Ядра всё так же равномерно свистели и шлепались на лед, в воду и чаще всего в толпу, покрывавшую плотину, пруды и берег.


На Праценской горе, на том самом месте, где он упал с древком знамени в руках, лежал князь Андрей Болконский, истекая кровью, и, сам не зная того, стонал тихим, жалостным и детским стоном.
К вечеру он перестал стонать и совершенно затих. Он не знал, как долго продолжалось его забытье. Вдруг он опять чувствовал себя живым и страдающим от жгучей и разрывающей что то боли в голове.
«Где оно, это высокое небо, которое я не знал до сих пор и увидал нынче?» было первою его мыслью. «И страдания этого я не знал также, – подумал он. – Да, я ничего, ничего не знал до сих пор. Но где я?»
Он стал прислушиваться и услыхал звуки приближающегося топота лошадей и звуки голосов, говоривших по французски. Он раскрыл глаза. Над ним было опять всё то же высокое небо с еще выше поднявшимися плывущими облаками, сквозь которые виднелась синеющая бесконечность. Он не поворачивал головы и не видал тех, которые, судя по звуку копыт и голосов, подъехали к нему и остановились.
Подъехавшие верховые были Наполеон, сопутствуемый двумя адъютантами. Бонапарте, объезжая поле сражения, отдавал последние приказания об усилении батарей стреляющих по плотине Аугеста и рассматривал убитых и раненых, оставшихся на поле сражения.
– De beaux hommes! [Красавцы!] – сказал Наполеон, глядя на убитого русского гренадера, который с уткнутым в землю лицом и почернелым затылком лежал на животе, откинув далеко одну уже закоченевшую руку.
– Les munitions des pieces de position sont epuisees, sire! [Батарейных зарядов больше нет, ваше величество!] – сказал в это время адъютант, приехавший с батарей, стрелявших по Аугесту.
– Faites avancer celles de la reserve, [Велите привезти из резервов,] – сказал Наполеон, и, отъехав несколько шагов, он остановился над князем Андреем, лежавшим навзничь с брошенным подле него древком знамени (знамя уже, как трофей, было взято французами).
– Voila une belle mort, [Вот прекрасная смерть,] – сказал Наполеон, глядя на Болконского.
Князь Андрей понял, что это было сказано о нем, и что говорит это Наполеон. Он слышал, как называли sire того, кто сказал эти слова. Но он слышал эти слова, как бы он слышал жужжание мухи. Он не только не интересовался ими, но он и не заметил, а тотчас же забыл их. Ему жгло голову; он чувствовал, что он исходит кровью, и он видел над собою далекое, высокое и вечное небо. Он знал, что это был Наполеон – его герой, но в эту минуту Наполеон казался ему столь маленьким, ничтожным человеком в сравнении с тем, что происходило теперь между его душой и этим высоким, бесконечным небом с бегущими по нем облаками. Ему было совершенно всё равно в эту минуту, кто бы ни стоял над ним, что бы ни говорил об нем; он рад был только тому, что остановились над ним люди, и желал только, чтоб эти люди помогли ему и возвратили бы его к жизни, которая казалась ему столь прекрасною, потому что он так иначе понимал ее теперь. Он собрал все свои силы, чтобы пошевелиться и произвести какой нибудь звук. Он слабо пошевелил ногою и произвел самого его разжалобивший, слабый, болезненный стон.
– А! он жив, – сказал Наполеон. – Поднять этого молодого человека, ce jeune homme, и свезти на перевязочный пункт!
Сказав это, Наполеон поехал дальше навстречу к маршалу Лану, который, сняв шляпу, улыбаясь и поздравляя с победой, подъезжал к императору.
Князь Андрей не помнил ничего дальше: он потерял сознание от страшной боли, которую причинили ему укладывание на носилки, толчки во время движения и сондирование раны на перевязочном пункте. Он очнулся уже только в конце дня, когда его, соединив с другими русскими ранеными и пленными офицерами, понесли в госпиталь. На этом передвижении он чувствовал себя несколько свежее и мог оглядываться и даже говорить.
Первые слова, которые он услыхал, когда очнулся, – были слова французского конвойного офицера, который поспешно говорил:
– Надо здесь остановиться: император сейчас проедет; ему доставит удовольствие видеть этих пленных господ.
– Нынче так много пленных, чуть не вся русская армия, что ему, вероятно, это наскучило, – сказал другой офицер.
– Ну, однако! Этот, говорят, командир всей гвардии императора Александра, – сказал первый, указывая на раненого русского офицера в белом кавалергардском мундире.
Болконский узнал князя Репнина, которого он встречал в петербургском свете. Рядом с ним стоял другой, 19 летний мальчик, тоже раненый кавалергардский офицер.
Бонапарте, подъехав галопом, остановил лошадь.
– Кто старший? – сказал он, увидав пленных.
Назвали полковника, князя Репнина.
– Вы командир кавалергардского полка императора Александра? – спросил Наполеон.
– Я командовал эскадроном, – отвечал Репнин.
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»