Теорема о внешнем угле треугольника
В геометрии внешним углом DCA плоского треугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу ACB треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.
- Внешний угол равен разности между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от 0 до 180°.
- Теорема о внешнем угле треугольника [1]: Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом. Иными словами, (см. рис.): <math> d = a + c. </math>
Доказательство (в обозначениях рис. выше)
Утверждение теоремы следует из теоремы о сумме углов треугольника, равной 180°.
Пусть ABC - произвольный треугольник с внешним углом d. Так как углы b и d - смежные, то их сумма равна 180°, то есть угол d = 180° - b. По теореме о сумме углов треугольника, угол b = 180° - (a + c). Из этого следует, что углы a + c = 180 - b. Так как d также равен 180 - b, то угол d = a + c. Что и требовалось доказать.
С другой стороны, если выполняется Теорема о внешнем угле треугольника, тогда справедливы следующая логическая цепь равенств:
- <math> d = a + c </math>
- <math> b + d = 180^\circ => </math>
- <math> b + a + c = 180^\circ.</math>.
История
В евклидовом доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащем Евклиду, (а также и результата о том, то сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°) сначала проводится прямая, параллельна стороне AB, проходящая через вершину C, а затем, используя свойство соответственных углов при двух параллельных прямых и одной секущей и о внутренних накрест лежащих углах при двух параллельных прямых, требуемое утверждение получают как иллюстрацию (см. рис.).[2].
Применение
Теорема о внешнем угле треугольника используется тогда, когда пытаются вычислить меры неизвестных углов в геометрии, в задачах с многоугольниками, где используются треугольники.
Примечание
 |
Статья содержит короткие («гарвардские») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе. Список неработающих ссылок: Exterior angle theorem (англ. яз.). Теорема о внешнем угле треугольника // en.wikipedia.org/wiki/Exterior_angle_theorem, Heath 1956 Пожалуйста, исправьте ссылки согласно инструкции к шаблону {{sfn}} и дополните библиографический раздел корректными описаниями цитируемых публикаций, следуя руководствам ВП:Сноски и ВП:Ссылки на источники.
|
Напишите отзыв о статье "Теорема о внешнем угле треугольника"
Отрывок, характеризующий Теорема о внешнем угле треугольника
– Отчего же так? – спросил Пьер.– Да вот хоть бы насчет дров или кормов, доложу вам. Ведь мы от Свенцян отступали, не смей хворостины тронуть, или сенца там, или что. Ведь мы уходим, ему достается, не так ли, ваше сиятельство? – обратился он к своему князю, – а ты не смей. В нашем полку под суд двух офицеров отдали за этакие дела. Ну, как светлейший поступил, так насчет этого просто стало. Свет увидали…
– Так отчего же он запрещал?
Тимохин сконфуженно оглядывался, не понимая, как и что отвечать на такой вопрос. Пьер с тем же вопросом обратился к князю Андрею.
– А чтобы не разорять край, который мы оставляли неприятелю, – злобно насмешливо сказал князь Андрей. – Это очень основательно; нельзя позволять грабить край и приучаться войскам к мародерству. Ну и в Смоленске он тоже правильно рассудил, что французы могут обойти нас и что у них больше сил. Но он не мог понять того, – вдруг как бы вырвавшимся тонким голосом закричал князь Андрей, – но он не мог понять, что мы в первый раз дрались там за русскую землю, что в войсках был такой дух, какого никогда я не видал, что мы два дня сряду отбивали французов и что этот успех удесятерял наши силы. Он велел отступать, и все усилия и потери пропали даром. Он не думал об измене, он старался все сделать как можно лучше, он все обдумал; но от этого то он и не годится. Он не годится теперь именно потому, что он все обдумывает очень основательно и аккуратно, как и следует всякому немцу. Как бы тебе сказать… Ну, у отца твоего немец лакей, и он прекрасный лакей и удовлетворит всем его нуждам лучше тебя, и пускай он служит; но ежели отец при смерти болен, ты прогонишь лакея и своими непривычными, неловкими руками станешь ходить за отцом и лучше успокоишь его, чем искусный, но чужой человек. Так и сделали с Барклаем. Пока Россия была здорова, ей мог служить чужой, и был прекрасный министр, но как только она в опасности; нужен свой, родной человек. А у вас в клубе выдумали, что он изменник! Тем, что его оклеветали изменником, сделают только то, что потом, устыдившись своего ложного нарекания, из изменников сделают вдруг героем или гением, что еще будет несправедливее. Он честный и очень аккуратный немец…
– Однако, говорят, он искусный полководец, – сказал Пьер.
– Я не понимаю, что такое значит искусный полководец, – с насмешкой сказал князь Андрей.
– Искусный полководец, – сказал Пьер, – ну, тот, который предвидел все случайности… ну, угадал мысли противника.
