Теорема о сложении скоростей

Теоре́ма о сложе́нии скоросте́й — одна из теорем кинематики, связывает между собой скорости материальной точки в различных системах отсчёта. Утверждает, что при сложном движении материальной точки её абсолютная скорость равна сумме относительной и переносной скоростей.

Сложное движение

Движение в механике всегда рассматривается по отношению к какой-либо системе отсчёта. Однако в некоторых случаях бывает целесообразно или даже необходимо изучать движение материальной точки (МТ) относительно двух различных систем отсчёта одновременно. Одну из этих систем отсчёта условно считают неподвижной, базовой, а другую полагают движущейся относительно первой. Тогда движение точки можно рассматривать, как состоящее из двух движений: первое — движение относительно движущейся системы отсчёта, второе — движение вместе с движущейся системой относительно неподвижной. Такое движение точки называют сложным или составным.

Определения

Условно неподвижную систему отсчёта принято называть абсолютной. Соответственно, абсолютными называют движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой СО. На рисунке система отсчёта K выбрана в качестве абсолютной.

Условно подвижную систему отсчёта принято называть относительной. Движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой системы также именуют относительными. Система K' на рисунке является относительной.

Движение, совершаемое подвижной системой K' и всеми жёстко связанными с нею точками пространства относительно системы К, называют перено́сным. Если некоторая МТ движется относительно подвижной системы K', то в общем случае та точка системы K', в которой в данный момент находится МТ, также движется относительно неподвижной системы К. Мгновенную скорость этой точки системы K' называют переносной скоростью МТ.

Доказательство

Пусть МТ в некоторый момент времени находилась в точке А, а через промежуток времени <math>\Delta t</math> оказалась в точке В (см. рис.). Тогда её перемещение относительно системы К (абсолютное перемещение) будет равно <math>\vec S_a</math>. Точка А подвижной системы K' за время <math></math> переместилась вместе с K' и оказалась в точке С, совершив перемещение относительно системы К (переносное перемещение), изображённое на рисунке вектором <math>\vec S_e</math>. С точки зрения наблюдателя, связанного с системой K', точка С является той точкой, в которой МТ находилась первоначально, поэтому вектор <math>\vec S_r</math> представляет собой перемещение МТ относительно подвижной системы K', то есть относительное перемещение. Из сказанного и векторной диаграммы на рисунке следует

<math>\vec S_a = \vec S_e + \vec S_r .</math>

Деля данное равенство на промежуток времени <math>\Delta t</math>, а затем устремляя его к нулю, в пределе получаем

<math>\vec v_a = \vec v_e + \vec v_r ,</math>

где <math>\vec v_a</math> — абсолютная, <math>\vec v_e</math> — переносная, а <math>\vec v_r</math> — относительная скорость движения МТ.

Полученное равенство является математическим выражением теоремы о сложении скоростей, которая формулируется так:

При сложном движении абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорему о сложении скоростей называют также правилом параллелограмма скоростей.

Обсуждение

В общем случае движение системы K' можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью, равной скорости начала координат системы K', и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Можно показать, что переносная скорость <math>\vec v_e </math>, скорость начала координат <math>\vec v_0</math> и угловая скорость вращательного движения системы <math>\vec \omega </math> связаны соотношением

<math>\vec v_e = \vec v_0 + [\vec \omega \times \vec {r'}].</math>

С учётом этого равенства математическое выражение теоремы приобретает вид

<math>\vec v_a = \vec v_0 + [\vec \omega \times \vec {r'}] + \vec v_r.</math>

Утверждение теоремы, доказанное для двух систем отсчёта нетрудно обобщить на случай произвольного их количества. Действительно, предположим, что считавшаяся нами до сих пор неподвижной система К движется относительно некоторой третьей системы. Тогда для абсолютной скорости <math> \vec {v'_a}</math> МТ в этой системе в силу доказанной теоремы будет выполняться

<math> \vec {v'_a}=\vec {v'_e} + \vec v_e + \vec v_r ,</math>

где <math> \vec {v'_e}</math> — переносная скорость точки системы К, в которой в данный момент времени находится МТ, движение которой мы изучаем. Очевидно, что рассуждая аналогичным образом, можно получить формулу сложения скоростей, пригодную для любого количества систем отсчёта.

Утверждение теоремы о сложении скоростей справедливо только до тех пор, пока скорости, о которых идёт речь в теореме, много меньше скорости света. В противном случае следует использовать релятивистскую формулу сложения скоростей.

Замечание. Радиус-вектор <math>r(t)</math> МТ в системе отсчёта К всегда можно представить в виде суммы двух векторов:

<math>\vec r(t) = \vec R(t) + \vec {r'}(t),</math>

где <math> \vec R(t) </math> — радиус-вектор начала подвижной системы координат, а <math> \vec {r'}(t)</math> — радиус-вектор МТ в подвижной системе K'. После дифференцирования из равенства следует

<math>\vec v_a = \frac {d\vec R(t)}{dt} + \frac {d\vec {r'}(t)}{dt} .</math>

Полученное соотношение справедливо для любой МТ и для любого момента времени. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае первый член суммы не равен переносной скорости, а второй — не равен относительной скорости. Действительно, <math> \frac {d\vec R(t)}{dt}</math> — это скорость начала системы координат K' <math>\vec v_0</math> и при наличии вращения системы K' не совпадает со скоростью той точки системы, в которой в данный момент находится МТ. В свою очередь <math> \frac {d\vec {r'}(t)}{dt}</math> представляет собой скорость МТ относительно начала координат, то есть, определяется иначе, чем относительная скорость <math> \vec v_r</math>. Равенства <math> \frac {d\vec R(t)}{dt} = \vec v_e </math> и <math> \frac {d\vec {r'}(t)}{dt} = \vec v_r </math> выполняются только в тех случаях, когда система K' движется поступательно, то есть когда она не совершает поворотов (<math>\vec \omega = 0 </math>) и все её точки движутся одинаково.

Примеры

1. В системе отсчёта, связанной с Землёй, скорость пассажира, идущего по коридору вагона, можно рассматривать, как складывающуюся из двух скоростей. Первая из них — скорость, с которой движется точка вагона, в которой в данный момент находится пассажир, — переносная скорость, то есть скорость, с которой вагон «переносит» пассажира. Второе слагаемое — скорость движения пассажира относительно вагона. Если вагон движется по закруглению пути, то направление абсолютной скорости пассажира изменяется за счёт изменения переносной скорости.
2. Абсолютная скорость мухи, ползущей по вращающейся граммофонной пластинке, равна геометрической сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно Земли — переносной скорости.
3. Движение точки колеса (окружности), катящегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания, можно рассматривать как сложное движение, состоящее из движения колеса в целом со скоростью <math>v</math> и вращения точек колеса вокруг его оси с угловой скоростью <math>\omega</math>. Тогда в соответствии с теоремой о сложении скоростей проекции абсолютной скорости точки колеса на горизонтальную и вертикальную оси можно записать в виде

<math> v_x = v - v \cos\omega t</math>

<math> v_y = v \sin\omega t,</math>

где <math>R</math> — радиус колеса. После интегрирования и с учётом <math> v=\omega R</math> из этих уравнений следует:

<math>x = \omega Rt - R \sin\omega t</math>

<math>y = R - R \cos\omega t.</math>

Полученные уравнения представляют собой параметрические уравнения циклоиды, соответственно траекторией движения точки колеса является циклоида.

Отрывок, характеризующий Теорема о сложении скоростей

Moscou, la capitale asiatique de ce grand empire, la ville sacree des peuples d'Alexandre, Moscou avec ses innombrables eglises en forme de pagodes chinoises! [Москва, азиатская столица этой великой империи, священный город народов Александра, Москва с своими бесчисленными церквами, в форме китайских пагод!] Эта Moscou не давала покоя воображению Наполеона. На переходе из Вязьмы к Цареву Займищу Наполеон верхом ехал на своем соловом энглизированном иноходчике, сопутствуемый гвардией, караулом, пажами и адъютантами. Начальник штаба Бертье отстал для того, чтобы допросить взятого кавалерией русского пленного. Он галопом, сопутствуемый переводчиком Lelorgne d'Ideville, догнал Наполеона и с веселым лицом остановил лошадь.
– Eh bien? [Ну?] – сказал Наполеон.
– Un cosaque de Platow [Платовский казак.] говорит, что корпус Платова соединяется с большой армией, что Кутузов назначен главнокомандующим. Tres intelligent et bavard! [Очень умный и болтун!]
Наполеон улыбнулся, велел дать этому казаку лошадь и привести его к себе. Он сам желал поговорить с ним. Несколько адъютантов поскакало, и через час крепостной человек Денисова, уступленный им Ростову, Лаврушка, в денщицкой куртке на французском кавалерийском седле, с плутовским и пьяным, веселым лицом подъехал к Наполеону. Наполеон велел ему ехать рядом с собой и начал спрашивать:
– Вы казак?
– Казак с, ваше благородие.
«Le cosaque ignorant la compagnie dans laquelle il se trouvait, car la simplicite de Napoleon n'avait rien qui put reveler a une imagination orientale la presence d'un souverain, s'entretint avec la plus extreme familiarite des affaires de la guerre actuelle», [Казак, не зная того общества, в котором он находился, потому что простота Наполеона не имела ничего такого, что бы могло открыть для восточного воображения присутствие государя, разговаривал с чрезвычайной фамильярностью об обстоятельствах настоящей войны.] – говорит Тьер, рассказывая этот эпизод. Действительно, Лаврушка, напившийся пьяным и оставивший барина без обеда, был высечен накануне и отправлен в деревню за курами, где он увлекся мародерством и был взят в плен французами. Лаврушка был один из тех грубых, наглых лакеев, видавших всякие виды, которые считают долгом все делать с подлостью и хитростью, которые готовы сослужить всякую службу своему барину и которые хитро угадывают барские дурные мысли, в особенности тщеславие и мелочность.
Попав в общество Наполеона, которого личность он очень хорошо и легко признал. Лаврушка нисколько не смутился и только старался от всей души заслужить новым господам.
Он очень хорошо знал, что это сам Наполеон, и присутствие Наполеона не могло смутить его больше, чем присутствие Ростова или вахмистра с розгами, потому что не было ничего у него, чего бы не мог лишить его ни вахмистр, ни Наполеон.
Он врал все, что толковалось между денщиками. Многое из этого была правда. Но когда Наполеон спросил его, как же думают русские, победят они Бонапарта или нет, Лаврушка прищурился и задумался.
Он увидал тут тонкую хитрость, как всегда во всем видят хитрость люди, подобные Лаврушке, насупился и помолчал.
– Оно значит: коли быть сраженью, – сказал он задумчиво, – и в скорости, так это так точно. Ну, а коли пройдет три дня апосля того самого числа, тогда, значит, это самое сражение в оттяжку пойдет.
Наполеону перевели это так: «Si la bataille est donnee avant trois jours, les Francais la gagneraient, mais que si elle serait donnee plus tard, Dieu seul sait ce qui en arrivrait», [«Ежели сражение произойдет прежде трех дней, то французы выиграют его, но ежели после трех дней, то бог знает что случится».] – улыбаясь передал Lelorgne d'Ideville. Наполеон не улыбнулся, хотя он, видимо, был в самом веселом расположении духа, и велел повторить себе эти слова.
Лаврушка заметил это и, чтобы развеселить его, сказал, притворяясь, что не знает, кто он.
– Знаем, у вас есть Бонапарт, он всех в мире побил, ну да об нас другая статья… – сказал он, сам не зная, как и отчего под конец проскочил в его словах хвастливый патриотизм. Переводчик передал эти слова Наполеону без окончания, и Бонапарт улыбнулся. «Le jeune Cosaque fit sourire son puissant interlocuteur», [Молодой казак заставил улыбнуться своего могущественного собеседника.] – говорит Тьер. Проехав несколько шагов молча, Наполеон обратился к Бертье и сказал, что он хочет испытать действие, которое произведет sur cet enfant du Don [на это дитя Дона] известие о том, что тот человек, с которым говорит этот enfant du Don, есть сам император, тот самый император, который написал на пирамидах бессмертно победоносное имя.
Известие было передано.
Лаврушка (поняв, что это делалось, чтобы озадачить его, и что Наполеон думает, что он испугается), чтобы угодить новым господам, тотчас же притворился изумленным, ошеломленным, выпучил глаза и сделал такое же лицо, которое ему привычно было, когда его водили сечь. «A peine l'interprete de Napoleon, – говорит Тьер, – avait il parle, que le Cosaque, saisi d'une sorte d'ebahissement, no profera plus une parole et marcha les yeux constamment attaches sur ce conquerant, dont le nom avait penetre jusqu'a lui, a travers les steppes de l'Orient. Toute sa loquacite s'etait subitement arretee, pour faire place a un sentiment d'admiration naive et silencieuse. Napoleon, apres l'avoir recompense, lui fit donner la liberte, comme a un oiseau qu'on rend aux champs qui l'ont vu naitre». [Едва переводчик Наполеона сказал это казаку, как казак, охваченный каким то остолбенением, не произнес более ни одного слова и продолжал ехать, не спуская глаз с завоевателя, имя которого достигло до него через восточные степи. Вся его разговорчивость вдруг прекратилась и заменилась наивным и молчаливым чувством восторга. Наполеон, наградив казака, приказал дать ему свободу, как птице, которую возвращают ее родным полям.]
Наполеон поехал дальше, мечтая о той Moscou, которая так занимала его воображение, a l'oiseau qu'on rendit aux champs qui l'on vu naitre [птица, возвращенная родным полям] поскакал на аванпосты, придумывая вперед все то, чего не было и что он будет рассказывать у своих. Того же, что действительно с ним было, он не хотел рассказывать именно потому, что это казалось ему недостойным рассказа. Он выехал к казакам, расспросил, где был полк, состоявший в отряде Платова, и к вечеру же нашел своего барина Николая Ростова, стоявшего в Янкове и только что севшего верхом, чтобы с Ильиным сделать прогулку по окрестным деревням. Он дал другую лошадь Лаврушке и взял его с собой.


Княжна Марья не была в Москве и вне опасности, как думал князь Андрей.
После возвращения Алпатыча из Смоленска старый князь как бы вдруг опомнился от сна. Он велел собрать из деревень ополченцев, вооружить их и написал главнокомандующему письмо, в котором извещал его о принятом им намерении оставаться в Лысых Горах до последней крайности, защищаться, предоставляя на его усмотрение принять или не принять меры для защиты Лысых Гор, в которых будет взят в плен или убит один из старейших русских генералов, и объявил домашним, что он остается в Лысых Горах.
Но, оставаясь сам в Лысых Горах, князь распорядился об отправке княжны и Десаля с маленьким князем в Богучарово и оттуда в Москву. Княжна Марья, испуганная лихорадочной, бессонной деятельностью отца, заменившей его прежнюю опущенность, не могла решиться оставить его одного и в первый раз в жизни позволила себе не повиноваться ему. Она отказалась ехать, и на нее обрушилась страшная гроза гнева князя. Он напомнил ей все, в чем он был несправедлив против нее. Стараясь обвинить ее, он сказал ей, что она измучила его, что она поссорила его с сыном, имела против него гадкие подозрения, что она задачей своей жизни поставила отравлять его жизнь, и выгнал ее из своего кабинета, сказав ей, что, ежели она не уедет, ему все равно. Он сказал, что знать не хочет о ее существовании, но вперед предупреждает ее, чтобы она не смела попадаться ему на глаза. То, что он, вопреки опасений княжны Марьи, не велел насильно увезти ее, а только не приказал ей показываться на глаза, обрадовало княжну Марью. Она знала, что это доказывало то, что в самой тайне души своей он был рад, что она оставалась дома и не уехала.
На другой день после отъезда Николушки старый князь утром оделся в полный мундир и собрался ехать главнокомандующему. Коляска уже была подана. Княжна Марья видела, как он, в мундире и всех орденах, вышел из дома и пошел в сад сделать смотр вооруженным мужикам и дворовым. Княжна Марья свдела у окна, прислушивалась к его голосу, раздававшемуся из сада. Вдруг из аллеи выбежало несколько людей с испуганными лицами.