Теорема о сумме углов многоугольника

Свойство многоугольников в евклидовой геометрии:

Сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2).

Доказательство

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть <math>A_1A_2...A_n</math> — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам (n − 3) диагонали: <math>A_1A_3, A_1A_4, A_1A_5...A_1A_{n-1}</math>. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на (n − 2) треугольника: <math>\Delta A_1A_2A_3, \Delta A_1A_3A_4, ..., \Delta A_1A_{n-1}A_n</math>. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n − 2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n − 2). Доказательство может быть аналогично, используя в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники, и не опираясь на то, что диагонали проведены обязательно из одной вершины (ограниченное таким условием разрезание невыпуклого многоугольника не всегда возможно в том смысле, что у невыпуклого многоугольника не обязательно есть хотя бы одна вершина, все диагонали из которой лежат внутри многоугольника, как и треугольники, ими образуемые).

Примечания

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии.

См. также

• Теорема о сумме углов треугольника

Отрывок, характеризующий Теорема о сумме углов многоугольника

– Вот что, ma tante. Maman меня давно женить хочет на богатой, но мне мысль одна эта противна, жениться из за денег.
– О да, понимаю, – сказала губернаторша.
– Но княжна Болконская, это другое дело; во первых, я вам правду скажу, она мне очень нравится, она по сердцу мне, и потом, после того как я ее встретил в таком положении, так странно, мне часто в голову приходило что это судьба. Особенно подумайте: maman давно об этом думала, но прежде мне ее не случалось встречать, как то все так случалось: не встречались. И во время, когда Наташа была невестой ее брата, ведь тогда мне бы нельзя было думать жениться на ней. Надо же, чтобы я ее встретил именно тогда, когда Наташина свадьба расстроилась, ну и потом всё… Да, вот что. Я никому не говорил этого и не скажу. А вам только.
Губернаторша пожала его благодарно за локоть.
– Вы знаете Софи, кузину? Я люблю ее, я обещал жениться и женюсь на ней… Поэтому вы видите, что про это не может быть и речи, – нескладно и краснея говорил Николай.
– Mon cher, mon cher, как же ты судишь? Да ведь у Софи ничего нет, а ты сам говорил, что дела твоего папа очень плохи. А твоя maman? Это убьет ее, раз. Потом Софи, ежели она девушка с сердцем, какая жизнь для нее будет? Мать в отчаянии, дела расстроены… Нет, mon cher, ты и Софи должны понять это.
Николай молчал. Ему приятно было слышать эти выводы.
– Все таки, ma tante, этого не может быть, – со вздохом сказал он, помолчав немного. – Да пойдет ли еще за меня княжна? и опять, она теперь в трауре. Разве можно об этом думать?
– Да разве ты думаешь, что я тебя сейчас и женю. Il y a maniere et maniere, [На все есть манера.] – сказала губернаторша.
– Какая вы сваха, ma tante… – сказал Nicolas, целуя ее пухлую ручку.