Теорема о циркуляции магнитного поля

Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил её (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщенном виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей — то есть в принципе в магнитостатике — верна теорема в первоначальном виде, сформулированном Ампером и приведенном в статье первым; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряженности электрического поля по времени — см. ниже). Теорема гласит:

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampère’s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био — Савара — Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).

Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Математическая формулировка

В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет следующий вид:

<math>\oint\vec B \cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c}\int\vec j\cdot \vec{ds}</math>

Здесь <math>\vec B</math> — вектор магнитной индукции, <math>\vec j</math> — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме:

<math>\mathrm{rot}\ \vec B = \frac{4\pi}{c}\vec j</math>

Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса.

Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие в веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).

Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности <math>I</math> и введя вектор напряжённости магнитного поля

<math>\vec H = \vec B - 4\pi \vec I</math>

Тогда теорема о циркуляции запишется в форме

<math>\oint\vec H\cdot \vec{dl} =

\frac{4\pi}{c}\int\vec j_f\cdot \vec{ds}</math>

<math>\mathrm{rot}\ \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j_f,</math>

где под <math>\vec j_f</math> (в отличие от <math>\vec j</math> в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключен (что бывает удобно практически, поскольку <math>\vec j_f</math> — это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить).

В динамическом случае — то есть в общем случае классической электродинамики — когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) — и речь тогда идет об обобщенной теореме, включающей <math>d\vec E/dt</math>, — всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене <math>d\vec D/dt</math>.

Обобщение

Основным фундаментальным обобщением теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума:

<math>\oint\vec B \cdot \vec{dl}

= \frac{1}{c} \int(4\pi \vec j + \frac{\partial \vec E}{\partial t})\cdot \vec{ds}</math> для среды:

<math>\oint\vec{H}\cdot \vec{dl}

= \frac{4\pi}{c} \int \vec j \cdot \vec{ds} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.</math> (Как видим, формулы отличаются от приведенных выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).

Дифференциальная форма этого уравнения:

<math>\mathbf{rot}\vec{B}

= \frac{4\pi}{c}\vec j + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E},</math>

<math>\mathbf{rot}\vec{H}

= \frac{4\pi}{c}\vec j + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}</math> (в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) — также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.

Практическое значение

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

<math>B(r)\cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} I \to B(r) = \frac{2I}{cr}</math>.

Доказательство теоремы о циркуляции

Теорема о циркуляции магнитного поля если не принимается в качестве аксиомы, то может быть доказана с помощью закона Био — Савара — Лапласа. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в точке <math>\vec p = (x_0;y_0;z_0)</math> бесконечным проводом с током, заданным в пространстве кривой C. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент провода, заданный радиус-вектором <math>\vec r</math>, создает в точке <math>\vec p</math> элементарное поле <math>\mathrm{d}\vec B (\vec p) = {\mu_0 \over 4\pi} \frac{I[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{p} - \vec{r})]}{|\vec p - \vec r|^3}</math>.

Полная индукция магнитного поля в точке <math>\vec p</math> получается интегрированием элементарного поля по всей кривой C в направлении течения тока:

<math>\vec B (\vec{p}) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\C \frac{I[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{p} - \vec{r})]}{|\vec p - \vec r|^3}</math>

Нужно сразу отметить, что полученный интеграл не относится ни к одному из двух родов криволинейных интегралов. Как можно заметить, он определяет собой векторную величину, тогда как любой криволинейный интеграл является скалярной величиной. Но допустим, что его все-таки можно вычислить каким-нибудь способом (например, интегрированием отдельно каждой компоненты вектора). Тогда найдем циркуляцию полученного вектора индукции по некоторому замкнутому контуру Г, обхватывающему провод с током.

По определению циркуляция векторной функции — это криволинейный интеграл второго рода от этой функции по замкнутому контуру в положительном направлении обхода этой кривой. Будем считать положительным направлением нормали к поверхности, натянутой на контур, такое направление, которое образует острый угол с осью z. Тогда положительное направление обхода контура определяется правилом буравчика (правого винта) по отношению к положительной нормали. Будем также считать положительным тот ток, который течет в направлении положительной нормали контура, охватывающего ток.

Циркуляция будет иметь вид:

<math>\Gamma=\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec p = \oint_{\Gamma}{\mu_0I \over 4\pi} \int\limits_\C \frac{[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{p} - \vec{r})]}{|\vec p - \vec r|^3}\cdot \mathrm{d}\vec p</math>

Можно заметить, что под знаками интегралов появилось смешанное произведение векторов <math>[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{p} - \vec{r})]\cdot \mathrm{d}\vec p=(\mathrm{d}\vec p,\mathrm{d}\vec{r},(\vec{p} - \vec{r}))</math>, которое по свойству кососимметрии может быть записано следующим образом:

<math>[\mathrm{d}\vec{r} \times (\vec{p} - \vec{r})]\cdot \mathrm{d}\vec p=(\mathrm{d}\vec p,\mathrm{d}\vec{r},(\vec{p} - \vec{r}))=((\vec{p} - \vec{r}),\mathrm{d}\vec p,\mathrm{d}\vec r)=[\mathrm{d}\vec{p} \times \mathrm{d}\vec{r}]\cdot (\vec{p} - \vec{r})</math>

Тогда циркуляция примет вид:

<math>\Gamma= {\mu_0I \over 4\pi}\oint_{\Gamma} \int\limits_\C(\vec{p} - \vec{r})\cdot \frac{[\mathrm{d}\vec{p} \times \mathrm{d}\vec{r}]}{|\vec p - \vec r|^3}</math>

Нужно обратить внимание на то, чем является векторное произведение <math>[\mathrm{d}\vec{p} \times \mathrm{d}\vec{r}]</math>: его величина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно этому параллелограмму. Тогда данное векторное произведение можно считать элементарной векторной площадкой <math>\mathrm{d}\vec{S}=[\mathrm{d}\vec{p} \times \mathrm{d}\vec{r}]</math> поверхности, которую заметает вектор <math>(\vec{p} - \vec{r})</math> при двойном криволинейном интегрировании, причем угол между <math>(\vec{p} - \vec{r})</math> и <math>\mathrm{d}\vec{S}</math>, как можно заметить, является острым. Данная поверхность является цилиндрической поверхностью, охватывающей провод с током, а её сечением является контур циркуляции Г. Тогда двойной криволинейный интеграл можно заменить поверхностным интегралом второго рода по данной поверхности.

Тогда циркуляция примет вид:

<math>\Gamma= {\mu_0I \over 4\pi}\int\!\!\!\int_S(\vec{p} - \vec{r})\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{S}}{|\vec p - \vec r|^3}</math>

Если считать поверхность интегрирования стягивающей поверхностью, легко видеть, что поверхностный интеграл представляет собой телесный угол для данной поверхности. Поверхность интегрирования условно можно считать замкнутой на бесконечности. И тогда, поскольку вектор <math>(\vec{p} - \vec{r})</math> при интегрировании всегда находится внутри поверхности, телесный угол является полным, то есть равным <math>4\pi</math> стерадиан. И тогда циркуляция равна <math>\Gamma= {\mu_0I \over 4\pi}4\pi=\mu_0I</math>.

Если бы контур Г не охватывал провод, тогда вектор <math>(\vec{p} - \vec{r})</math> при интегрировании никогда не находился бы полностью внутри поверхности интегрирования. В этом случае телесный угол был бы равен нулю, как и циркуляция поля: <math>\Gamma= 0</math>.

Последние два утверждения о телесном угле являются по сути содержанием теоремы Гаусса о потоке вектора напряженности заряда через произвольную замкнутую поверхность и могут быть доказаны независимо.

Если бы ток тёк в противоположном направлении, угол между векторами <math>(\vec{p} - \vec{r})</math> и <math>[\mathrm{d}\vec{p} \times \mathrm{d}\vec{r}]</math> был бы уже тупым (нормаль была бы направлена внутрь поверхности), и циркуляция поменяла бы свой знак на противоположный, что эквивалентно течению тока в прежнем направлении, но с отрицательной силой.

В случае поля, создаваемого несколькими проводниками с током, нужно помнить о свойстве суперпозиции магнитного поля и свойстве аддитивности криволинейного интеграла: циркуляция суперпозиции векторов равна скалярной сумме циркуляций этих векторов.

Отрывок, характеризующий Теорема о циркуляции магнитного поля

– Такие предложения, как то, чтобы очистить Одер и Вислу, можно делать принцу Баденскому, а не мне, – совершенно неожиданно для себя почти вскрикнул Наполеон. – Ежели бы вы мне дали Петербуг и Москву, я бы не принял этих условий. Вы говорите, я начал войну? А кто прежде приехал к армии? – император Александр, а не я. И вы предлагаете мне переговоры тогда, как я издержал миллионы, тогда как вы в союзе с Англией и когда ваше положение дурно – вы предлагаете мне переговоры! А какая цель вашего союза с Англией? Что она дала вам? – говорил он поспешно, очевидно, уже направляя свою речь не для того, чтобы высказать выгоды заключения мира и обсудить его возможность, а только для того, чтобы доказать и свою правоту, и свою силу, и чтобы доказать неправоту и ошибки Александра.
Вступление его речи было сделано, очевидно, с целью выказать выгоду своего положения и показать, что, несмотря на то, он принимает открытие переговоров. Но он уже начал говорить, и чем больше он говорил, тем менее он был в состоянии управлять своей речью.
Вся цель его речи теперь уже, очевидно, была в том, чтобы только возвысить себя и оскорбить Александра, то есть именно сделать то самое, чего он менее всего хотел при начале свидания.
– Говорят, вы заключили мир с турками?
Балашев утвердительно наклонил голову.
– Мир заключен… – начал он. Но Наполеон не дал ему говорить. Ему, видно, нужно было говорить самому, одному, и он продолжал говорить с тем красноречием и невоздержанием раздраженности, к которому так склонны балованные люди.
– Да, я знаю, вы заключили мир с турками, не получив Молдавии и Валахии. А я бы дал вашему государю эти провинции так же, как я дал ему Финляндию. Да, – продолжал он, – я обещал и дал бы императору Александру Молдавию и Валахию, а теперь он не будет иметь этих прекрасных провинций. Он бы мог, однако, присоединить их к своей империи, и в одно царствование он бы расширил Россию от Ботнического залива до устьев Дуная. Катерина Великая не могла бы сделать более, – говорил Наполеон, все более и более разгораясь, ходя по комнате и повторяя Балашеву почти те же слова, которые ои говорил самому Александру в Тильзите. – Tout cela il l'aurait du a mon amitie… Ah! quel beau regne, quel beau regne! – повторил он несколько раз, остановился, достал золотую табакерку из кармана и жадно потянул из нее носом.
– Quel beau regne aurait pu etre celui de l'Empereur Alexandre! [Всем этим он был бы обязан моей дружбе… О, какое прекрасное царствование, какое прекрасное царствование! О, какое прекрасное царствование могло бы быть царствование императора Александра!]
Он с сожалением взглянул на Балашева, и только что Балашев хотел заметить что то, как он опять поспешно перебил его.
– Чего он мог желать и искать такого, чего бы он не нашел в моей дружбе?.. – сказал Наполеон, с недоумением пожимая плечами. – Нет, он нашел лучшим окружить себя моими врагами, и кем же? – продолжал он. – Он призвал к себе Штейнов, Армфельдов, Винцингероде, Бенигсенов, Штейн – прогнанный из своего отечества изменник, Армфельд – развратник и интриган, Винцингероде – беглый подданный Франции, Бенигсен несколько более военный, чем другие, но все таки неспособный, который ничего не умел сделать в 1807 году и который бы должен возбуждать в императоре Александре ужасные воспоминания… Положим, ежели бы они были способны, можно бы их употреблять, – продолжал Наполеон, едва успевая словом поспевать за беспрестанно возникающими соображениями, показывающими ему его правоту или силу (что в его понятии было одно и то же), – но и того нет: они не годятся ни для войны, ни для мира. Барклай, говорят, дельнее их всех; но я этого не скажу, судя по его первым движениям. А они что делают? Что делают все эти придворные! Пфуль предлагает, Армфельд спорит, Бенигсен рассматривает, а Барклай, призванный действовать, не знает, на что решиться, и время проходит. Один Багратион – военный человек. Он глуп, но у него есть опытность, глазомер и решительность… И что за роль играет ваш молодой государь в этой безобразной толпе. Они его компрометируют и на него сваливают ответственность всего совершающегося. Un souverain ne doit etre a l'armee que quand il est general, [Государь должен находиться при армии только тогда, когда он полководец,] – сказал он, очевидно, посылая эти слова прямо как вызов в лицо государя. Наполеон знал, как желал император Александр быть полководцем.
– Уже неделя, как началась кампания, и вы не сумели защитить Вильну. Вы разрезаны надвое и прогнаны из польских провинций. Ваша армия ропщет…
– Напротив, ваше величество, – сказал Балашев, едва успевавший запоминать то, что говорилось ему, и с трудом следивший за этим фейерверком слов, – войска горят желанием…
– Я все знаю, – перебил его Наполеон, – я все знаю, и знаю число ваших батальонов так же верно, как и моих. У вас нет двухсот тысяч войска, а у меня втрое столько. Даю вам честное слово, – сказал Наполеон, забывая, что это его честное слово никак не могло иметь значения, – даю вам ma parole d'honneur que j'ai cinq cent trente mille hommes de ce cote de la Vistule. [честное слово, что у меня пятьсот тридцать тысяч человек по сю сторону Вислы.] Турки вам не помощь: они никуда не годятся и доказали это, замирившись с вами. Шведы – их предопределение быть управляемыми сумасшедшими королями. Их король был безумный; они переменили его и взяли другого – Бернадота, который тотчас сошел с ума, потому что сумасшедший только, будучи шведом, может заключать союзы с Россией. – Наполеон злобно усмехнулся и опять поднес к носу табакерку.
На каждую из фраз Наполеона Балашев хотел и имел что возразить; беспрестанно он делал движение человека, желавшего сказать что то, но Наполеон перебивал его. Например, о безумии шведов Балашев хотел сказать, что Швеция есть остров, когда Россия за нее; но Наполеон сердито вскрикнул, чтобы заглушить его голос. Наполеон находился в том состоянии раздражения, в котором нужно говорить, говорить и говорить, только для того, чтобы самому себе доказать свою справедливость. Балашеву становилось тяжело: он, как посол, боялся уронить достоинство свое и чувствовал необходимость возражать; но, как человек, он сжимался нравственно перед забытьем беспричинного гнева, в котором, очевидно, находился Наполеон. Он знал, что все слова, сказанные теперь Наполеоном, не имеют значения, что он сам, когда опомнится, устыдится их. Балашев стоял, опустив глаза, глядя на движущиеся толстые ноги Наполеона, и старался избегать его взгляда.
– Да что мне эти ваши союзники? – говорил Наполеон. – У меня союзники – это поляки: их восемьдесят тысяч, они дерутся, как львы. И их будет двести тысяч.
И, вероятно, еще более возмутившись тем, что, сказав это, он сказал очевидную неправду и что Балашев в той же покорной своей судьбе позе молча стоял перед ним, он круто повернулся назад, подошел к самому лицу Балашева и, делая энергические и быстрые жесты своими белыми руками, закричал почти:
– Знайте, что ежели вы поколеблете Пруссию против меня, знайте, что я сотру ее с карты Европы, – сказал он с бледным, искаженным злобой лицом, энергическим жестом одной маленькой руки ударяя по другой. – Да, я заброшу вас за Двину, за Днепр и восстановлю против вас ту преграду, которую Европа была преступна и слепа, что позволила разрушить. Да, вот что с вами будет, вот что вы выиграли, удалившись от меня, – сказал он и молча прошел несколько раз по комнате, вздрагивая своими толстыми плечами. Он положил в жилетный карман табакерку, опять вынул ее, несколько раз приставлял ее к носу и остановился против Балашева. Он помолчал, поглядел насмешливо прямо в глаза Балашеву и сказал тихим голосом: – Et cependant quel beau regne aurait pu avoir votre maitre! [A между тем какое прекрасное царствование мог бы иметь ваш государь!]
Балашев, чувствуя необходимость возражать, сказал, что со стороны России дела не представляются в таком мрачном виде. Наполеон молчал, продолжая насмешливо глядеть на него и, очевидно, его не слушая. Балашев сказал, что в России ожидают от войны всего хорошего. Наполеон снисходительно кивнул головой, как бы говоря: «Знаю, так говорить ваша обязанность, но вы сами в это не верите, вы убеждены мною».
В конце речи Балашева Наполеон вынул опять табакерку, понюхал из нее и, как сигнал, стукнул два раза ногой по полу. Дверь отворилась; почтительно изгибающийся камергер подал императору шляпу и перчатки, другой подал носовои платок. Наполеон, ne глядя на них, обратился к Балашеву.
– Уверьте от моего имени императора Александра, – сказал оц, взяв шляпу, – что я ему предан по прежнему: я анаю его совершенно и весьма высоко ценю высокие его качества. Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre a l'Empereur. [Не удерживаю вас более, генерал, вы получите мое письмо к государю.] – И Наполеон пошел быстро к двери. Из приемной все бросилось вперед и вниз по лестнице.


После всего того, что сказал ему Наполеон, после этих взрывов гнева и после последних сухо сказанных слов:
«Je ne vous retiens plus, general, vous recevrez ma lettre», Балашев был уверен, что Наполеон уже не только не пожелает его видеть, но постарается не видать его – оскорбленного посла и, главное, свидетеля его непристойной горячности. Но, к удивлению своему, Балашев через Дюрока получил в этот день приглашение к столу императора.
На обеде были Бессьер, Коленкур и Бертье. Наполеон встретил Балашева с веселым и ласковым видом. Не только не было в нем выражения застенчивости или упрека себе за утреннюю вспышку, но он, напротив, старался ободрить Балашева. Видно было, что уже давно для Наполеона в его убеждении не существовало возможности ошибок и что в его понятии все то, что он делал, было хорошо не потому, что оно сходилось с представлением того, что хорошо и дурно, но потому, что он делал это.
Император был очень весел после своей верховой прогулки по Вильне, в которой толпы народа с восторгом встречали и провожали его. Во всех окнах улиц, по которым он проезжал, были выставлены ковры, знамена, вензеля его, и польские дамы, приветствуя его, махали ему платками.
За обедом, посадив подле себя Балашева, он обращался с ним не только ласково, но обращался так, как будто он и Балашева считал в числе своих придворных, в числе тех людей, которые сочувствовали его планам и должны были радоваться его успехам. Между прочим разговором он заговорил о Москве и стал спрашивать Балашева о русской столице, не только как спрашивает любознательный путешественник о новом месте, которое он намеревается посетить, но как бы с убеждением, что Балашев, как русский, должен быть польщен этой любознательностью.
– Сколько жителей в Москве, сколько домов? Правда ли, что Moscou называют Moscou la sainte? [святая?] Сколько церквей в Moscou? – спрашивал он.
И на ответ, что церквей более двухсот, он сказал:
– К чему такая бездна церквей?
– Русские очень набожны, – отвечал Балашев.
– Впрочем, большое количество монастырей и церквей есть всегда признак отсталости народа, – сказал Наполеон, оглядываясь на Коленкура за оценкой этого суждения.
Балашев почтительно позволил себе не согласиться с мнением французского императора.
– У каждой страны свои нравы, – сказал он.
– Но уже нигде в Европе нет ничего подобного, – сказал Наполеон.
– Прошу извинения у вашего величества, – сказал Балашев, – кроме России, есть еще Испания, где также много церквей и монастырей.
Этот ответ Балашева, намекавший на недавнее поражение французов в Испании, был высоко оценен впоследствии, по рассказам Балашева, при дворе императора Александра и очень мало был оценен теперь, за обедом Наполеона, и прошел незаметно.
По равнодушным и недоумевающим лицам господ маршалов видно было, что они недоумевали, в чем тут состояла острота, на которую намекала интонация Балашева. «Ежели и была она, то мы не поняли ее или она вовсе не остроумна», – говорили выражения лиц маршалов. Так мало был оценен этот ответ, что Наполеон даже решительно не заметил его и наивно спросил Балашева о том, на какие города идет отсюда прямая дорога к Москве. Балашев, бывший все время обеда настороже, отвечал, что comme tout chemin mene a Rome, tout chemin mene a Moscou, [как всякая дорога, по пословице, ведет в Рим, так и все дороги ведут в Москву,] что есть много дорог, и что в числе этих разных путей есть дорога на Полтаву, которую избрал Карл XII, сказал Балашев, невольно вспыхнув от удовольствия в удаче этого ответа. Не успел Балашев досказать последних слов: «Poltawa», как уже Коленкур заговорил о неудобствах дороги из Петербурга в Москву и о своих петербургских воспоминаниях.