Теоремы Паппа — Гульдина

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Те́оремы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привел) ;

первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)[1].





Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии[2][3].

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры[2][4].

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой <math>l</math> на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой <math>l</math>.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через <math>n</math>, сами точки через <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, массу каждой точки через <math>m</math>, а расстояния точек от прямой <math>l</math> через <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, …, <math>r_n</math>.

Для <math>n=1</math>, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для <math>n-1</math> точки. Тогда их центр тяжести <math>P</math> находится на расстоянии

<math>r=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}}{n-1}</math>.

Заменим систему материальных точек <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_{n-1}</math> точкой <math>P</math>, сосредоточив в ней массу, равную <math>(n-1)m</math>. Остается найти центр тяжести <math>O</math> двух материальных точек <math>P</math> и <math>M_n</math>. Так как точка <math>P</math> имеет массу <math>(n-1)m</math>, а точка <math>M_n</math> —- массу <math>m</math>, то

<math>PO\; :\; OM_n\;=\;1\; :\; (n-1)</math>.

Следовательно, если <math>r^*</math> —- расстояние от точки <math>O</math> до прямой (рис. 1), то

<math>(r-r^*)\; :\; (r^*-r_n)\;=\;1\; :\; (n-1)</math>,

откуда

<math>r^*=\frac{(n-1)r+r_n}{n}=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}{n}</math>

Таким образом, утверждение леммы справедливо для <math>n</math> материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является n-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину <math>m</math>. Середины звеньев ломаной обозначим через <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, а расстояния от этих точек до прямой <math>l</math> — через <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, …, <math>r_n</math>. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой <math>l</math> получается поверхность (рис. 2), состоящая из n частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

<math>S=m\ 2\pi r_1+m\ 2\pi r_2+...m\ 2\pi r_n</math>

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна <math>P=mn</math>, можно переписать выражение для площади так:

<math>S=P\ 2\pi R</math>,

где

<math>R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}</math>

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек <math>M_1</math>, <math>M_2</math>, …, <math>M_n</math>, в каждой из которых сосредоточена масса <math>m</math>, согласно лемме, отстоит от прямой <math>l</math> на расстоянии <math>R</math>. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию <math>K</math>, при вращении которой при вращении вокруг оси <math>l</math> получается поверхность <math>Q</math>. Впишем в неё ломаную <math>L</math>, содержащую <math>m</math> звеньев. При вращении <math>L</math> вокруг оси <math>l</math> получим поверхность <math>T</math>, площадь которой равна <math>S=P 2\pi R</math>, где <math>P</math> — длина ломаной <math>L</math>, а <math>R</math> — расстояние от центра тяжести ломаной <math>L</math> до оси вращения <math>l</math>.

Если считать <math>m\to 0</math>, то длина ломаной <math>L</math> будет стремиться к длине линии <math>K</math>, площадь поверхности <math>T</math> будет стремиться к площади поверхности <math>Q</math>, центр тяжести ломаной <math>L</math> будет стремиться к центру тяжести кривой <math>K</math>. Так как для любого <math>m</math> соотношение <math>S=P 2\pi R</math> справедливо для <math>L</math>, то переходя к пределу <math>m\to 0</math>, найдем, что оно справедливо и для кривой <math>K</math>.

Напишите отзыв о статье "Теоремы Паппа — Гульдина"

Примечания

Литература

  • Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.

Отрывок, характеризующий Теоремы Паппа — Гульдина

– А! полноте пожалуйста, – сказал другой.
Пьер, растерянными, близорукими глазами, не повинуясь, оглянулся вокруг себя, и вдруг на него нашло сомнение. «Где я? Что я делаю? Не смеются ли надо мной? Не будет ли мне стыдно вспоминать это?» Но сомнение это продолжалось только одно мгновение. Пьер оглянулся на серьезные лица окружавших его людей, вспомнил всё, что он уже прошел, и понял, что нельзя остановиться на половине дороги. Он ужаснулся своему сомнению и, стараясь вызвать в себе прежнее чувство умиления, повергся к вратам храма. И действительно чувство умиления, еще сильнейшего, чем прежде, нашло на него. Когда он пролежал несколько времени, ему велели встать и надели на него такой же белый кожаный фартук, какие были на других, дали ему в руки лопату и три пары перчаток, и тогда великий мастер обратился к нему. Он сказал ему, чтобы он старался ничем не запятнать белизну этого фартука, представляющего крепость и непорочность; потом о невыясненной лопате сказал, чтобы он трудился ею очищать свое сердце от пороков и снисходительно заглаживать ею сердце ближнего. Потом про первые перчатки мужские сказал, что значения их он не может знать, но должен хранить их, про другие перчатки мужские сказал, что он должен надевать их в собраниях и наконец про третьи женские перчатки сказал: «Любезный брат, и сии женские перчатки вам определены суть. Отдайте их той женщине, которую вы будете почитать больше всех. Сим даром уверите в непорочности сердца вашего ту, которую изберете вы себе в достойную каменьщицу». И помолчав несколько времени, прибавил: – «Но соблюди, любезный брат, да не украшают перчатки сии рук нечистых». В то время как великий мастер произносил эти последние слова, Пьеру показалось, что председатель смутился. Пьер смутился еще больше, покраснел до слез, как краснеют дети, беспокойно стал оглядываться и произошло неловкое молчание.
Молчание это было прервано одним из братьев, который, подведя Пьера к ковру, начал из тетради читать ему объяснение всех изображенных на нем фигур: солнца, луны, молотка. отвеса, лопаты, дикого и кубического камня, столба, трех окон и т. д. Потом Пьеру назначили его место, показали ему знаки ложи, сказали входное слово и наконец позволили сесть. Великий мастер начал читать устав. Устав был очень длинен, и Пьер от радости, волнения и стыда не был в состоянии понимать того, что читали. Он вслушался только в последние слова устава, которые запомнились ему.
«В наших храмах мы не знаем других степеней, – читал „великий мастер, – кроме тех, которые находятся между добродетелью и пороком. Берегись делать какое нибудь различие, могущее нарушить равенство. Лети на помощь к брату, кто бы он ни был, настави заблуждающегося, подними упадающего и не питай никогда злобы или вражды на брата. Будь ласков и приветлив. Возбуждай во всех сердцах огнь добродетели. Дели счастье с ближним твоим, и да не возмутит никогда зависть чистого сего наслаждения. Прощай врагу твоему, не мсти ему, разве только деланием ему добра. Исполнив таким образом высший закон, ты обрящешь следы древнего, утраченного тобой величества“.
Кончил он и привстав обнял Пьера и поцеловал его. Пьер, с слезами радости на глазах, смотрел вокруг себя, не зная, что отвечать на поздравления и возобновления знакомств, с которыми окружили его. Он не признавал никаких знакомств; во всех людях этих он видел только братьев, с которыми сгорал нетерпением приняться за дело.
Великий мастер стукнул молотком, все сели по местам, и один прочел поучение о необходимости смирения.
Великий мастер предложил исполнить последнюю обязанность, и важный сановник, который носил звание собирателя милостыни, стал обходить братьев. Пьеру хотелось записать в лист милостыни все деньги, которые у него были, но он боялся этим выказать гордость, и записал столько же, сколько записывали другие.
Заседание было кончено, и по возвращении домой, Пьеру казалось, что он приехал из какого то дальнего путешествия, где он провел десятки лет, совершенно изменился и отстал от прежнего порядка и привычек жизни.


На другой день после приема в ложу, Пьер сидел дома, читая книгу и стараясь вникнуть в значение квадрата, изображавшего одной своей стороною Бога, другою нравственное, третьею физическое и четвертою смешанное. Изредка он отрывался от книги и квадрата и в воображении своем составлял себе новый план жизни. Вчера в ложе ему сказали, что до сведения государя дошел слух о дуэли, и что Пьеру благоразумнее бы было удалиться из Петербурга. Пьер предполагал ехать в свои южные имения и заняться там своими крестьянами. Он радостно обдумывал эту новую жизнь, когда неожиданно в комнату вошел князь Василий.