Теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ) — научная дисциплина, которая изучает процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Является составной частью технической кибернетики и предназначена для разработки общих принципов автоматического управления, а также методов анализа (исследования функционирования) и синтеза (выбора параметров) систем автоматического управления (САУ) техническими объектами.

История

Впервые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского «Пневматика» и «Механика», где описаны автоматы, созданные самим Героном и его учителем Ктесибием: пневмоавтомат для открытия дверей храма, водяной орган, автомат для продажи святой воды и др. Идеи Герона значительно опередили свой век и не нашли применения в его эпоху.

В Средние века значительное развитие получила имитационная «андроидная» механика, когда конструкторы-механики создали ряд автоматов, подражающих отдельным действиям человека, и, чтобы усилить впечатление, изобретатели придавали автоматам внешнее сходство с человеком и называли их «андроидами», то есть человекоподобными. В настоящее время подобные устройства называют роботами, в отличие от широко распространенных во всех сферах человеческой деятельности устройств автоматического управления, которые называют автоматами.

В XIII веке немецкий философ-схоласт и алхимик Альберт фон Больштадт построил робота для открывания и закрывания дверей.

Весьма интересные андроиды были созданы в XVII—XVIII веках. В XVIII веке швейцарские часовщики Пьер Дро и его сын Анри создали механического писца, механического художника и др. Прекрасный театр автоматов был создан в XVIII в. русским механиком-самоучкой Кулибиным. Его театр, хранящийся в Эрмитаже, помещен в «часах яичной фигуры».

В зачаточном виде многие положения теории автоматического управления содержатся в Общей теории (линейных) регуляторов, которая была разработана, в основном, в 1868—1876 годы в работах Максвелла и Вышнеградского. Основополагающими трудами Вышнеградского являются: «Об общей теории регуляторов», « О регуляторах непрямого действия». В этих работах можно найти истоки современных инженерных методов исследования устойчивости и качества регулирования.

Решающее влияние на развитие отечественной методологии исследований теории автоматического управления сыграли работы выдающегося советского математика Андрея Маркова (младшего), основоположника советской конструктивистской школы математики, автора работ по теории алгоритмов и математической логике. Эти исследования нашли применение в научной и практической деятельности академика Лебедева по военной тематике — автоматах управления торпедами и наведения орудий и устойчивости крупных энергосистем.

К началу XX века и в первом его десятилетии теория автоматического управления формируется как общенаучная дисциплина с рядом прикладных разделов.

Основные понятия

Автоматика — отрасль науки и техники, охватывающая теорию и практику автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и образующих их технических средств.

Объект управления — устройство, физический процесс либо совокупность процессов, которыми необходимо управлять для получения требуемого результата. Взаимодействие с ОУ происходит путём подачи на его условный вход управляющего воздействия (которое корректирует процессы протекающие в ОУ), при этом на выходе получается изменённый параметр (который является процессом-следствием).

Управление — процесс подаваемый на вход объекта управления, обеспечивающий такое протекание процессов в объекте управления, которое обеспечит достижение заданной цели управления на его выходе.

Цель — желаемое протекание процессов в объекте управления и получение нужного изменения параметра на его выходе.

Объекты:

• управляемые
• неуправляемые

Система автоматического управления (САУ) включает в себя объект управления и устройство управления.

Устройство управления — совокупность устройств, с помощью которых осуществляется управление входами объекта управления.

Регулирование — частный случай управления, цель которого заключается в поддержании на заданном уровне одного или нескольких выходов объекта управления.

Регулятор — преобразует ошибку регулирования ε(t) в управляющее воздействие, поступающее на объект управления.

Задающее воздействие g(t) — определяет требуемый закон регулирования выходной величины.

Ошибка регулирования ε(t) = g(t) — y(t), разность между требуемым значением регулируемой величины и текущим её значением. Если ε(t) отлична от нуля, то этот сигнал поступает на вход регулятора, который формирует такое регулирующее воздействие, чтобы в итоге с течением времени ε(t) = 0.

Возмущающее воздействие f(t) — процесс на входе объекта управления, являющийся помехой управлению.

Системы автоматического управления:

• Разомкнутые:

• система программного управления. УУ выдает управляющее воздействие, не получая информации о состоянии системы на основании каких-либо признаков, временной программы (простота и повышенная надежность, невысокое качество управления);
• СУ по возмущению. УУ вырабатывает управляющее воздействие на основе информации по величине возмущающего воздействию на систему.

• Замкнутые: УУ вырабатывает управляющее воздействие на основе измеренной информации по состоянию объекта по выбранному параметру.
• Комбинированная система: УУ вырабатывает управляющее воздействие на основе информации о параметрах объекта и на основе информации возмущающего воздействия.

Функциональные схемы

Функциональная схема элемента — схема системы автоматического регулирования и управления, составленная по функции, которую выполняет данный элемент.

Выходные сигналы — параметры, характеризующие состояние объекта управления и существенные для процесса управления.

Выходы системы — точки системы, в которых выходные сигналы могут наблюдаться в виде определенных физических величин.

Входы системы — точки системы, в которых приложены внешние воздействия.

Входные сигналы:

• помехи — сигналы, не связанные с источниками информации о задачах и результатах управления.
• полезные — сигналы, связанные с источниками информации о задачах и результатах управления.

Системы:

• одномерные — системы с одним входом и одним выходом.
• многомерные — системы с несколькими входами и выходами.

Принципы управления САУ

Обратная связь — связь, при которой на вход регулятора подаётся действительное значение выходной переменной, а также заданное значение регулируемой переменной.

• жёсткая — такая ОС, при которой на вход регулятора поступает сигнал, пропорциональный выходному сигналу объекта в любой момент времени.
• гибкая — такая ОС, при которой на вход регулятора поступает не только сигнал, пропорциональный выходному сигналу объекта, но и сигнал, пропорциональный производным выходной переменной.

Управление по принципу отклонения управляемой переменной — обратная связь образует замкнутый контур. На управляемый объект подаётся воздействие, пропорциональное сумме (разности) между выходной переменной и заданным значением, так, чтобы эта сумма (разность) уменьшалась.

Управление по принципу компенсации возмущений — на вход регулятора попадает сигнал, пропорциональный возмущающему воздействию. Отсутствует зависимость между управляющим воздействием и результатом этого действия на объект.

Управление по принципу комбинированного регулирования — используется одновременно регулирование по возмущению и по отклонению, что обеспечивает наиболее высокую точность управления.

• Ошибка создания миниатюры: Файл не найден

  Принцип отклонения управляемой переменной в ТАУ

• Ошибка создания миниатюры: Файл не найден

  Принцип компенсации возмущений в ТАУ

• Ошибка создания миниатюры: Файл не найден

  Принцип комбинированного регулирования в ТАУ

Классификация САУ

По характеру управления:

• системы управления
• системы регулирования

По характеру действия:

• системы непрерывного действия
• системы дискретного действия

По степени использования информации о состоянии объекта управления:

• управление с ОС
• управление без ОС

По степени использования информации о параметрах и структуре объекта управления:

• адаптивный
• неадаптивный
• поисковый
• беспоисковый
• с идентификацией
• с переменной структурой

По степени преобразования координат в САУ:

• детерминированный
• стохастический (со случайными воздействиями)

По виду математической модели преобразования координат:

• линейные
• нелинейные (релейные, логические и др.)

По виду управляющих воздействий:

• аналоговые
• дискретные (прерывные, импульсные, цифровые)

По степени участия человека:

• ручные
• автоматические
• автоматизированные (человек в управлении)

По закону изменения выходной переменной:

• стабилизирующая: предписанное значение выходной переменной является неизменным.
• программная: выходная переменная изменяется по определённой, заранее заданной программе.
• следящая: предписанное значение выходной переменной зависит от значения неизвестной заранее переменной на входе автоматической системы.

По количеству управляемых и регулируемых переменных:

• одномерные
• многомерные

По степени самонастройки, адаптации, оптимизации и интеллектуальности:

• экстремальные
• самонастраивающиеся
• интеллектуальные

По воздействию чувствительного (измерительного) элемента на регулирующий орган:

• системы прямого управления
• системы косвенного управления

Интеллектуальные САУ

ИСАУ — это системы, которые позволяют проводить обучение, адаптацию или настройку за счет запоминания и анализа информации о поведении объекта, его СУ и внешних воздействий. Особенностью данных систем является наличие базы данных машины логического вывода, подсистемы объяснений и др.

База знаний — формализованные правила в виде логических формул, таблиц и т. п. ИСУ используется для управления плохо формализованными или сложными техническими объектами.

Класс ИСУ соответствует признакам:

• Наличие взаимодействий СУ с реальным внешним миром с использованием информационных каналов связи.
• Открытость системы — нужна для пополнения и приобретения знаний.
• Наличие механизмов прогноза изменений среды функционирования системы.
• Неточность информации об ОУ может быть компенсирована за счет повышения интеллектуализации алгоритма управления.
• Сохранение функционирования при разрыве связи.

Если ИСУ удовлетворяет всем 5-ти признакам, то она интеллектуальна в «большом», иначе в «маленьком» смысле.

Математические модели линейных САУ

Детерминированные

<math> W_0(p) = \frac{A(p)}{B(p)} </math>

<math> W_0(p) = \frac{K_0}{T_0p}e^{-p\tau} </math>

Статистические

Статистические характеризуются набором статистических параметров и функций распределения. Для их исследования используются методы математической статистики.

Адаптивные

Адаптивные используют для описания объекта управления детерминированно-стохастические методы.

Виды воздействий. Переходная, весовая, передаточная функции

• Единичная ступенчатая функция — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов.
• Единичная импульсная функция — производная от единичной ступенчатой функции. Характеризует собой импульс бесконечно-большой амплитуды, протекающий за бесконечно-малый промежуток времени. Геометрический смысл — площадь, ограниченная данной функцией, равна 1.
• Переходная функция — это реакция системы на единичный ступенчатый сигнал.
• Весовая функция — это реакция системы на единичный импульс.
• Передаточная функция — отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного при нулевых начальных условиях и нулевых внешних возмущениях.

Передаточная функция соединения звеньев

Последовательное соединение

W_э(p) = W₁(p)W₂(p)…W_n(p) = <math>\prod_{i=1}^n W_i</math>

Параллельное соединение

W_э(p) = W₁(p) + W₂(p) + … + W_n(p) = <math>\sum_{i=1}^n W_i</math>

Передаточная функция замкнутой системы

• W_OC(p) — уравнение, описывающее цепь обратной связи
• W(p) — уравнение, описывающее звено
• G(p) — уравнение, описывающее входное воздействие
• U_OC(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал звена обратной связи
• ΔU(p) — уравнение, описывающее сумму (разность) G(p) и U_OC(p)
• Y(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал системы

<math>f(n)=\left\{\begin{matrix} Y(p)=W(p) \Delta U(p)\\ U_{OC}(p) = W_{OC}(p) Y(p)\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p) \end{matrix}\right.</math>

Решая данную систему уравнений, получим следующие результаты:

<math>Y(p) = W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))</math>

<math>Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p) = W(p)G(p)</math>

<math>Y(p) ={ {W(p)G(p)}\over {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}</math>

<math>W_{\ni}(p)={Y(p)\over G(p)} = {W(p)\over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}</math>

Получение передаточной функции в пространстве состояний

Система в пространстве состояний задается в виде:

<math>\left\{\begin{matrix} \dot x(t)=A\cdot x(t) + B\cdot u(t)\\ y(t) = C\cdot x(t)+D\cdot u(t) \end{matrix}\right.</math>

Система имеет m входов u(t), l выходов y(t), n состояний x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D — числовые матрицы соответствующей размерности nxn, nxm, lxn, lxm..

Пусть I — единичная матрица размерности nxn, тогда:

pI X(p) — A X(p) = B U(p)

(pI — A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pI — A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI — A)^{-1) B + D

Линеаризация систем и звеньев

Пусть САУ регулируется и описывается нелинейным уравнением

<math> F(x, \dot x, y, \dot y, \ddot y, ... , f, \dot f, \ddot f) = 0 </math>

Причём нелинейность несущественна, то есть эту функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки, например, при внешнем возмущении f = 0.

Уравнение этого звена в установившемся режиме выглядит следующим образом:

<math> F(x^0,0,y^0,0,0)=0, x_k^0, y_k^0 </math> , начальные точки, производные отсутствуют.

Тогда, разлагая нелинейную функцию в ряд Тейлора, получим:

<math> F(x^0,y^0)+\left(\frac{\partial F}{\partial x} \right)^0\Delta x+\left(\frac{\partial F}{\partial \dot x} \right)^0\Delta \dot x+\left(\frac{\partial F}{\partial y} \right)^0\Delta y +\left(\frac{\partial F}{\partial \dot y} \right)^0\Delta \dot y+\left(\frac{\partial F}{\partial \ddot y} \right)^0\Delta \ddot y+R_n = 0, R_n, </math> — остаточный член

<math> F(x,y)^0+\left(-b_1 \right)\Delta x+\left(-b_0 \right)\Delta \dot x+\left(a_2 \right)\Delta y +\left(a_1 \right)\Delta \dot y+\left(a_0 \right)\Delta \ddot y+R_n = 0 </math>

<math> \left\{\begin{matrix} \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow R_n \rightarrow 0 </math>

<math> a_0\frac{d^2y}{dt^2}+a_1\frac{dy}{dt}+a_2y = b_0\frac{dx}{dt}+b_1x </math>

От нелинейной записи перешли в линейную. Перейдем к операторному уравнению:

<math> (a_0p^2+a_1p+a_2)y = (b_0p+b_1)x </math>

<math> F()\rightarrow F(\Delta x, \Delta y) \rightarrow LE \rightarrow OE </math>

Управляемость, наблюдаемость САУ

См. также: Управляемость (теория управления) и Наблюдаемость (теория управления)

САУ управляема (полностью управляема), если она может быть переведена из любого начального состояния x₀(t) в другое произвольное состояние x₁(t) в произвольный момент времени путём приложения кусочно-непрерывного воздействия U(t)∈[t₀;t₁].

САУ наблюдаема (полностью наблюдаема), если все переменные состояния x(t) можно определить по выходному (измеряемому) воздействию y(t).

Устойчивость линейных систем

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения. Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

<math>(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = (b_0p^m+b_1p^{m-1}+...+b_m)g</math> — операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = y_уст(t)+y_п = y_вын(t)+y_св

y_уст(y_вын) — частное решение линеаризированного уравнения.

y_п(y_св) — общее решение линеаризированного уравнения как однородного дифференциального уравнения, то есть <math>D(p)=(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = 0</math>

САУ устойчива, если переходные процессы у_n(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть <math>y_n(t)\rightarrow 0</math> при <math>t\rightarrow \mathcal {1}</math>

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни p_i, p_i+1 = ±α_i ± jβ_i

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

<math> c_ie^{(\alpha_i+j\beta_i)t}+c_{i+1}e^{(\alpha_i-j\beta_i)t}=\alpha_i(c_ie^{j\beta_it}+c_{i+1}e^{-j\beta_it}) = Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)} </math> , где <math> A = \sqrt{c_i^2+c_{i+1}^2} </math>, <math> \operatorname{tg} {\varphi_i} = {c_i+c_{i+1} \over c_i-c_{i+1}} </math>

Из полученных результатов видно, что:

• при ∀α_i<0 выполняется условие устойчивости, то есть переходный процесс с течением времени стремится к у_уст (теорема Ляпунова 1);
• при ∃α_i>0, выполняется условие неустойчивости (теорема Ляпунова 2), то есть <math> Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}\rightarrow \mathcal{1} </math> , что приводит к расходящимся колебаниям;
• при ∃α_i=0 и ¬∃α_i>0 <math> Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}=const </math>, что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы (система на границе устойчивости) (теорема Ляпунова 3).

Критерии устойчивости

Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты	Строки	столбец 1	столбец 2	столбец 3
	1	<math>C_{11}=a_0=T_1T_2T_3</math>	<math>C_{12}=a_2=T_1+T_2+T_3</math>	<math>C_{13}=a_4</math>
	2	<math>C_{21}=a_1=T_1T_2+T_2T_3+T_1+T_3</math>	<math>C_{22}=a_3=1+k</math>	<math>C_{23}=a_5</math>
<math>r_3 = \frac{C_{11}}{C_{21}}</math>	3	<math>C_{31}=C_{12}-r_3C_{22}</math>	<math>C_{32}=C_{13}-r_3C_{23}</math>	<math>C_{33}=C_{14}-r_3C_{24}</math>
<math>r_4 = \frac{C_{21}}{C_{31}}</math>	4	<math>C_{41}=C_{22}-r_4C_{32}</math>	<math>C_{42}=C_{23}-r_4C_{33}</math>	<math>C_{43}=C_{24}-r_4C_{34}</math>

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица

<math> D(p)=a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n </math>

<math> \Delta_n = a_n\cdot \Delta_{n-1}= \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & ... & 0 \\ a_0 & a_2 & a_4 & ... & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & ... & a_n \end{vmatrix} </math> — определитель Гурвица

Теорема: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при <math> a_0>0. </math>

Критерий Михайлова

<math> D(p)=a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n </math>

Заменим <math> p = j\omega </math> , где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

<math> D(j\omega) = X(\omega) + jY(\omega) = A(\omega)e^{j\psi (\omega)} </math>

<math> X(\omega) = a_n - a_{n-2}\omega^2+... </math>

<math> Y(\omega) = a_{n-1}\omega - a_{n-3}\omega^3+... </math>

Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах <math> X(\omega),Y(\omega) </math>, проходила последовательно через n квадрантов.

<math> D(p)=a_0(p-p_1)(p-p_2)...(p-p_n) </math>

<math> p=j\omega \Rightarrow D(j\omega)=a_0(j\omega-p_1)(j\omega-p_2)...(j\omega-p_n) </math>

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения — отрицательное вещественное число <math> p_1 = - \alpha _1 </math>

Соответствующий данному корню сомножитель <math> (\alpha_1+j\omega) </math>

<math> \left\{\begin{matrix}\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\ p_1=-\alpha _1\end{matrix}\right. \Rightarrow \psi \rightarrow \frac{\pi}{2} </math>

2) Корень характеристического уравнения — положительное вещественное число <math> p_1 = + \alpha _1 </math>

Соответствующий данному корню сомножитель <math> (\alpha_1-j\omega) </math>

<math> \left\{\begin{matrix}\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\ p_1=+\alpha _1\end{matrix}\right. \Rightarrow \psi \rightarrow - \frac{\pi}{2} </math>

3) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью <math> p_{2,3} = - \alpha _1 \pm j\beta </math>

Соответствующий данному корню сомножитель <math> (j\omega+\alpha_1-j\beta)(j\omega+\alpha_1+j\beta) </math>

<math> \left\{\begin{matrix} \omega \rightarrow +\mathcal{1} \\ p_2=-\alpha _1+j\beta \\ p_3=-\alpha _1-j\beta \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \psi_2 \rightarrow + \frac{\pi}{2} - \gamma \\ \psi_3 \rightarrow + \frac{\pi}{2} + \gamma \end{matrix}\right. \Rightarrow \psi \rightarrow + 2\frac{\pi}{2}=+\pi </math> , где <math> \gamma = \operatorname{arctg} \frac{\beta}{\alpha} </math>

4) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с положительной вещественной частью <math> p_{2,3} = + \alpha _1 \pm j\beta </math>

Соответствующий данному корню сомножитель <math> (j\omega-\alpha_1-j\beta)(j\omega-\alpha_1+j\beta) </math>

<math> \left\{\begin{matrix} \omega \rightarrow +\mathcal{1} \\ p_2=+\alpha _1+j\beta \\ p_3=+\alpha _1-j\beta \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \psi_2 \rightarrow - \frac{\pi}{2} + \gamma \\ \psi_3 \rightarrow - \frac{\pi}{2} - \gamma \end{matrix}\right. \Rightarrow \psi \rightarrow - 2\frac{\pi}{2}=-\pi </math> , где <math> \gamma = \operatorname{arctg} \frac{\beta}{\alpha} </math>

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома <math> W(p)=\frac{R(p)}{Q(p)}= \frac{b_0p^n+b_1p^{n-1}+...+a^n}{a_0p^m+a_1p^{m-1}+...+a^m} </math>

тогда сделаем подстановку <math> p=j\omega </math> и получим: <math> W(j\omega) = \frac{R(j\omega)}{Q(j\omega)} (*)= X(\omega)+jY(\omega) = A(\omega)e^{j\psi(\omega)} </math>

Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду: <math> W(j\omega) = \frac{K(1+j\omega\tau_1)(1+j\omega\tau_2)[(1-\tau_3^2\omega^2)+2j\xi_3\tau_3\omega]...}{(j\omega)'[(1-T_2^2\omega^2)+2j\xi_2T_2\omega](-1+j\omega T_3)...} </math>

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции:

Сомножитель	<math>A(\omega)</math>	<math>\psi(\omega)</math>
k	k	0
p	ω	<math>\frac{\pi}{2}</math>
<math>p^2</math>	<math>\omega^2</math>	<math>\pi</math>
<math>Tp+1</math>	<math>\sqrt{1+T^2\omega^2}</math>	<math>\operatorname{arctg} \omega T</math>
<math>Tp-1</math>	<math>\sqrt{1+T^2\omega^2}</math>	<math>\pi - \operatorname{arctg} \omega T</math>
<math>1-Tp</math>	<math>\sqrt{1+T^2\omega^2}</math>	<math>-\operatorname{arctg} \omega T</math>
<math>T^2p^2+1</math>	1-T^2\omega^2\right|</math>	<math> \begin{matrix} 0, & \omega<\frac{1}{T} \\ \pi, & \omega>\frac{1}{T} \end{matrix} </math>
<math>T^2p^2+2\xi Tp+1</math>	<math>\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+4\xi^2T^2\omega^2}</math>	<math> \begin{matrix} \operatorname{arctg} \frac{2\xi\omega T}{1-T^2\omega^2}, & \omega<\frac{1}{T} \\ \pi+\operatorname{arctg} \frac{2\xi\omega T}{1-T^2\omega^2}, & \omega\geqslant\frac{1}{T} \end{matrix} </math>

После чего построим годограф для вспомогательной функции <math> W_1(j\omega)=1+W(j\omega) </math> , для чего будем изменять <math> \omega [0; \mathcal{1}) </math>

При <math> \omega = 0,\quad W_1(j\omega) = K+1 </math> , а при <math> \omega = \mathcal{1},\quad W_1(j\omega) = 1 </math> (так как n<m и <math>W(j\omega) = 0 </math> )

Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя <math> \psi_1 </math> и знаменателя <math> \psi_2 </math>

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует <math> \psi_1=\psi_2 </math> , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции <math> W(j\omega) </math> , соответственно, точку с координатами <math> (-1; j0) </math>

Запас устойчивости САУ

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:

• Отбрасывание нелинейных слагаемых при линеаризации.
• Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САУ, определяются с погрешностью.
• Устойчивость исследования для типовых систем при типовых условиях.

Критерии

• Критерий Рауса: чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.
• Критерий Гурвица: запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.
• Критерий Михайлова: вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О (0; 0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.
• Критерий Найквиста: здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

Сравнительная характеристика критериев устойчивости

Частотный критерий Найквиста применим, главным образом, когда трудно получить фазовые характеристики экспериментально. Однако вычисление АФХ, особенно частотных, сложнее, чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от критерия Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учётом влияния каждого звена, что придаёт критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

См. также

• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теория линейных стационарных систем
• Устойчивость

Использованная литература

• Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления: учеб. пособие. — СПб.: Профессия, 2007.
• Бесекерский В.А., Попов Е.П. 4-е изд // Теория систем автоматического управления. — СПб.: Профессия, 2003.
• Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. — М.: Бином, Лаборатория базовых знаний, 2004.
• Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Бином, Лаборатория базовых знаний, 2004.
• Егоров, А. И. Основы теории управления: учеб. пособие. — М.: Физматлит, 2007.
• Зубов, В. И. Лекции по теории управления: учеб. пособие. — СПб.: Лань, 2009.
• Кнорринг, В. И. Теория, практика и искусство управления: учебник для вузов. — М.: Норма, 2007 (гриф МО РФ).
• Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — СПб.: Питер, 2005.
• Огвоздин, В. Ю. Управление качеством. Основы теории и практики: учеб. пособие. — М.: Дело и сервис, 2009.
• Парахина В.Н. Практикум по теории управления: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2009 (гриф УМО МО РФ).
• Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука, 1986.
• Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления.. — М.: Наука, 1989.
• Ружников Г.М. Курс лекций по ТАУ.
• Сенигов П. Н. Теория Автоматического Управления. Конспект лекций.
• Макаров И. М., Лохин В. М., Манько С. В., Романов М. П. Искусственный интеллект и интеллектуальные системы управления. — М.: Наука, 2006. — 333 с. — ISBN 5-02-033782-X.

Отрывок, характеризующий Теория автоматического управления

– Женись, женись, голубчик… Родство хорошее!… Умные люди, а? Богатые, а? Да. Хороша мачеха у Николушки будет! Напиши ты ему, что пускай женится хоть завтра. Мачеха Николушки будет – она, а я на Бурьенке женюсь!… Ха, ха, ха, и ему чтоб без мачехи не быть! Только одно, в моем доме больше баб не нужно; пускай женится, сам по себе живет. Может, и ты к нему переедешь? – обратился он к княжне Марье: – с Богом, по морозцу, по морозцу… по морозцу!…
После этой вспышки, князь не говорил больше ни разу об этом деле. Но сдержанная досада за малодушие сына выразилась в отношениях отца с дочерью. К прежним предлогам насмешек прибавился еще новый – разговор о мачехе и любезности к m lle Bourienne.
– Отчего же мне на ней не жениться? – говорил он дочери. – Славная княгиня будет! – И в последнее время, к недоуменью и удивлению своему, княжна Марья стала замечать, что отец ее действительно начинал больше и больше приближать к себе француженку. Княжна Марья написала князю Андрею о том, как отец принял его письмо; но утешала брата, подавая надежду примирить отца с этою мыслью.
Николушка и его воспитание, Andre и религия были утешениями и радостями княжны Марьи; но кроме того, так как каждому человеку нужны свои личные надежды, у княжны Марьи была в самой глубокой тайне ее души скрытая мечта и надежда, доставлявшая ей главное утешение в ее жизни. Утешительную эту мечту и надежду дали ей божьи люди – юродивые и странники, посещавшие ее тайно от князя. Чем больше жила княжна Марья, чем больше испытывала она жизнь и наблюдала ее, тем более удивляла ее близорукость людей, ищущих здесь на земле наслаждений и счастия; трудящихся, страдающих, борющихся и делающих зло друг другу, для достижения этого невозможного, призрачного и порочного счастия. «Князь Андрей любил жену, она умерла, ему мало этого, он хочет связать свое счастие с другой женщиной. Отец не хочет этого, потому что желает для Андрея более знатного и богатого супружества. И все они борются и страдают, и мучают, и портят свою душу, свою вечную душу, для достижения благ, которым срок есть мгновенье. Мало того, что мы сами знаем это, – Христос, сын Бога сошел на землю и сказал нам, что эта жизнь есть мгновенная жизнь, испытание, а мы всё держимся за нее и думаем в ней найти счастье. Как никто не понял этого? – думала княжна Марья. Никто кроме этих презренных божьих людей, которые с сумками за плечами приходят ко мне с заднего крыльца, боясь попасться на глаза князю, и не для того, чтобы не пострадать от него, а для того, чтобы его не ввести в грех. Оставить семью, родину, все заботы о мирских благах для того, чтобы не прилепляясь ни к чему, ходить в посконном рубище, под чужим именем с места на место, не делая вреда людям, и молясь за них, молясь и за тех, которые гонят, и за тех, которые покровительствуют: выше этой истины и жизни нет истины и жизни!»
Была одна странница, Федосьюшка, 50 ти летняя, маленькая, тихенькая, рябая женщина, ходившая уже более 30 ти лет босиком и в веригах. Ее особенно любила княжна Марья. Однажды, когда в темной комнате, при свете одной лампадки, Федосьюшка рассказывала о своей жизни, – княжне Марье вдруг с такой силой пришла мысль о том, что Федосьюшка одна нашла верный путь жизни, что она решилась сама пойти странствовать. Когда Федосьюшка пошла спать, княжна Марья долго думала над этим и наконец решила, что как ни странно это было – ей надо было итти странствовать. Она поверила свое намерение только одному духовнику монаху, отцу Акинфию, и духовник одобрил ее намерение. Под предлогом подарка странницам, княжна Марья припасла себе полное одеяние странницы: рубашку, лапти, кафтан и черный платок. Часто подходя к заветному комоду, княжна Марья останавливалась в нерешительности о том, не наступило ли уже время для приведения в исполнение ее намерения.
Часто слушая рассказы странниц, она возбуждалась их простыми, для них механическими, а для нее полными глубокого смысла речами, так что она была несколько раз готова бросить всё и бежать из дому. В воображении своем она уже видела себя с Федосьюшкой в грубом рубище, шагающей с палочкой и котомочкой по пыльной дороге, направляя свое странствие без зависти, без любви человеческой, без желаний от угодников к угодникам, и в конце концов, туда, где нет ни печали, ни воздыхания, а вечная радость и блаженство.
«Приду к одному месту, помолюсь; не успею привыкнуть, полюбить – пойду дальше. И буду итти до тех пор, пока ноги подкосятся, и лягу и умру где нибудь, и приду наконец в ту вечную, тихую пристань, где нет ни печали, ни воздыхания!…» думала княжна Марья.
Но потом, увидав отца и особенно маленького Коко, она ослабевала в своем намерении, потихоньку плакала и чувствовала, что она грешница: любила отца и племянника больше, чем Бога.



Библейское предание говорит, что отсутствие труда – праздность была условием блаженства первого человека до его падения. Любовь к праздности осталась та же и в падшем человеке, но проклятие всё тяготеет над человеком, и не только потому, что мы в поте лица должны снискивать хлеб свой, но потому, что по нравственным свойствам своим мы не можем быть праздны и спокойны. Тайный голос говорит, что мы должны быть виновны за то, что праздны. Ежели бы мог человек найти состояние, в котором он, будучи праздным, чувствовал бы себя полезным и исполняющим свой долг, он бы нашел одну сторону первобытного блаженства. И таким состоянием обязательной и безупречной праздности пользуется целое сословие – сословие военное. В этой то обязательной и безупречной праздности состояла и будет состоять главная привлекательность военной службы.
Николай Ростов испытывал вполне это блаженство, после 1807 года продолжая служить в Павлоградском полку, в котором он уже командовал эскадроном, принятым от Денисова.
Ростов сделался загрубелым, добрым малым, которого московские знакомые нашли бы несколько mauvais genre [дурного тона], но который был любим и уважаем товарищами, подчиненными и начальством и который был доволен своей жизнью. В последнее время, в 1809 году, он чаще в письмах из дому находил сетования матери на то, что дела расстраиваются хуже и хуже, и что пора бы ему приехать домой, обрадовать и успокоить стариков родителей.
Читая эти письма, Николай испытывал страх, что хотят вывести его из той среды, в которой он, оградив себя от всей житейской путаницы, жил так тихо и спокойно. Он чувствовал, что рано или поздно придется опять вступить в тот омут жизни с расстройствами и поправлениями дел, с учетами управляющих, ссорами, интригами, с связями, с обществом, с любовью Сони и обещанием ей. Всё это было страшно трудно, запутано, и он отвечал на письма матери, холодными классическими письмами, начинавшимися: Ma chere maman [Моя милая матушка] и кончавшимися: votre obeissant fils, [Ваш послушный сын,] умалчивая о том, когда он намерен приехать. В 1810 году он получил письма родных, в которых извещали его о помолвке Наташи с Болконским и о том, что свадьба будет через год, потому что старый князь не согласен. Это письмо огорчило, оскорбило Николая. Во первых, ему жалко было потерять из дома Наташу, которую он любил больше всех из семьи; во вторых, он с своей гусарской точки зрения жалел о том, что его не было при этом, потому что он бы показал этому Болконскому, что совсем не такая большая честь родство с ним и что, ежели он любит Наташу, то может обойтись и без разрешения сумасбродного отца. Минуту он колебался не попроситься ли в отпуск, чтоб увидать Наташу невестой, но тут подошли маневры, пришли соображения о Соне, о путанице, и Николай опять отложил. Но весной того же года он получил письмо матери, писавшей тайно от графа, и письмо это убедило его ехать. Она писала, что ежели Николай не приедет и не возьмется за дела, то всё именье пойдет с молотка и все пойдут по миру. Граф так слаб, так вверился Митеньке, и так добр, и так все его обманывают, что всё идет хуже и хуже. «Ради Бога, умоляю тебя, приезжай сейчас же, ежели ты не хочешь сделать меня и всё твое семейство несчастными», писала графиня.
Письмо это подействовало на Николая. У него был тот здравый смысл посредственности, который показывал ему, что было должно.
Теперь должно было ехать, если не в отставку, то в отпуск. Почему надо было ехать, он не знал; но выспавшись после обеда, он велел оседлать серого Марса, давно не езженного и страшно злого жеребца, и вернувшись на взмыленном жеребце домой, объявил Лаврушке (лакей Денисова остался у Ростова) и пришедшим вечером товарищам, что подает в отпуск и едет домой. Как ни трудно и странно было ему думать, что он уедет и не узнает из штаба (что ему особенно интересно было), произведен ли он будет в ротмистры, или получит Анну за последние маневры; как ни странно было думать, что он так и уедет, не продав графу Голуховскому тройку саврасых, которых польский граф торговал у него, и которых Ростов на пари бил, что продаст за 2 тысячи, как ни непонятно казалось, что без него будет тот бал, который гусары должны были дать панне Пшаздецкой в пику уланам, дававшим бал своей панне Боржозовской, – он знал, что надо ехать из этого ясного, хорошего мира куда то туда, где всё было вздор и путаница.
Через неделю вышел отпуск. Гусары товарищи не только по полку, но и по бригаде, дали обед Ростову, стоивший с головы по 15 руб. подписки, – играли две музыки, пели два хора песенников; Ростов плясал трепака с майором Басовым; пьяные офицеры качали, обнимали и уронили Ростова; солдаты третьего эскадрона еще раз качали его, и кричали ура! Потом Ростова положили в сани и проводили до первой станции.
До половины дороги, как это всегда бывает, от Кременчуга до Киева, все мысли Ростова были еще назади – в эскадроне; но перевалившись за половину, он уже начал забывать тройку саврасых, своего вахмистра Дожойвейку, и беспокойно начал спрашивать себя о том, что и как он найдет в Отрадном. Чем ближе он подъезжал, тем сильнее, гораздо сильнее (как будто нравственное чувство было подчинено тому же закону скорости падения тел в квадратах расстояний), он думал о своем доме; на последней перед Отрадным станции, дал ямщику три рубля на водку, и как мальчик задыхаясь вбежал на крыльцо дома.
После восторгов встречи, и после того странного чувства неудовлетворения в сравнении с тем, чего ожидаешь – всё то же, к чему же я так торопился! – Николай стал вживаться в свой старый мир дома. Отец и мать были те же, они только немного постарели. Новое в них било какое то беспокойство и иногда несогласие, которого не бывало прежде и которое, как скоро узнал Николай, происходило от дурного положения дел. Соне был уже двадцатый год. Она уже остановилась хорошеть, ничего не обещала больше того, что в ней было; но и этого было достаточно. Она вся дышала счастьем и любовью с тех пор как приехал Николай, и верная, непоколебимая любовь этой девушки радостно действовала на него. Петя и Наташа больше всех удивили Николая. Петя был уже большой, тринадцатилетний, красивый, весело и умно шаловливый мальчик, у которого уже ломался голос. На Наташу Николай долго удивлялся, и смеялся, глядя на нее.
– Совсем не та, – говорил он.
– Что ж, подурнела?
– Напротив, но важность какая то. Княгиня! – сказал он ей шопотом.
– Да, да, да, – радостно говорила Наташа.
Наташа рассказала ему свой роман с князем Андреем, его приезд в Отрадное и показала его последнее письмо.
– Что ж ты рад? – спрашивала Наташа. – Я так теперь спокойна, счастлива.
– Очень рад, – отвечал Николай. – Он отличный человек. Что ж ты очень влюблена?
– Как тебе сказать, – отвечала Наташа, – я была влюблена в Бориса, в учителя, в Денисова, но это совсем не то. Мне покойно, твердо. Я знаю, что лучше его не бывает людей, и мне так спокойно, хорошо теперь. Совсем не так, как прежде…
Николай выразил Наташе свое неудовольствие о том, что свадьба была отложена на год; но Наташа с ожесточением напустилась на брата, доказывая ему, что это не могло быть иначе, что дурно бы было вступить в семью против воли отца, что она сама этого хотела.
– Ты совсем, совсем не понимаешь, – говорила она. Николай замолчал и согласился с нею.
Брат часто удивлялся глядя на нее. Совсем не было похоже, чтобы она была влюбленная невеста в разлуке с своим женихом. Она была ровна, спокойна, весела совершенно по прежнему. Николая это удивляло и даже заставляло недоверчиво смотреть на сватовство Болконского. Он не верил в то, что ее судьба уже решена, тем более, что он не видал с нею князя Андрея. Ему всё казалось, что что нибудь не то, в этом предполагаемом браке.
«Зачем отсрочка? Зачем не обручились?» думал он. Разговорившись раз с матерью о сестре, он, к удивлению своему и отчасти к удовольствию, нашел, что мать точно так же в глубине души иногда недоверчиво смотрела на этот брак.
– Вот пишет, – говорила она, показывая сыну письмо князя Андрея с тем затаенным чувством недоброжелательства, которое всегда есть у матери против будущего супружеского счастия дочери, – пишет, что не приедет раньше декабря. Какое же это дело может задержать его? Верно болезнь! Здоровье слабое очень. Ты не говори Наташе. Ты не смотри, что она весела: это уж последнее девичье время доживает, а я знаю, что с ней делается всякий раз, как письма его получаем. А впрочем Бог даст, всё и хорошо будет, – заключала она всякий раз: – он отличный человек.


Первое время своего приезда Николай был серьезен и даже скучен. Его мучила предстоящая необходимость вмешаться в эти глупые дела хозяйства, для которых мать вызвала его. Чтобы скорее свалить с плеч эту обузу, на третий день своего приезда он сердито, не отвечая на вопрос, куда он идет, пошел с нахмуренными бровями во флигель к Митеньке и потребовал у него счеты всего. Что такое были эти счеты всего, Николай знал еще менее, чем пришедший в страх и недоумение Митенька. Разговор и учет Митеньки продолжался недолго. Староста, выборный и земский, дожидавшиеся в передней флигеля, со страхом и удовольствием слышали сначала, как загудел и затрещал как будто всё возвышавшийся голос молодого графа, слышали ругательные и страшные слова, сыпавшиеся одно за другим.
– Разбойник! Неблагодарная тварь!… изрублю собаку… не с папенькой… обворовал… – и т. д.
Потом эти люди с неменьшим удовольствием и страхом видели, как молодой граф, весь красный, с налитой кровью в глазах, за шиворот вытащил Митеньку, ногой и коленкой с большой ловкостью в удобное время между своих слов толкнул его под зад и закричал: «Вон! чтобы духу твоего, мерзавец, здесь не было!»
Митенька стремглав слетел с шести ступеней и убежал в клумбу. (Клумба эта была известная местность спасения преступников в Отрадном. Сам Митенька, приезжая пьяный из города, прятался в эту клумбу, и многие жители Отрадного, прятавшиеся от Митеньки, знали спасительную силу этой клумбы.)
Жена Митеньки и свояченицы с испуганными лицами высунулись в сени из дверей комнаты, где кипел чистый самовар и возвышалась приказчицкая высокая постель под стеганным одеялом, сшитым из коротких кусочков.
Молодой граф, задыхаясь, не обращая на них внимания, решительными шагами прошел мимо них и пошел в дом.
Графиня узнавшая тотчас через девушек о том, что произошло во флигеле, с одной стороны успокоилась в том отношении, что теперь состояние их должно поправиться, с другой стороны она беспокоилась о том, как перенесет это ее сын. Она подходила несколько раз на цыпочках к его двери, слушая, как он курил трубку за трубкой.
На другой день старый граф отозвал в сторону сына и с робкой улыбкой сказал ему:
– А знаешь ли, ты, моя душа, напрасно погорячился! Мне Митенька рассказал все.
«Я знал, подумал Николай, что никогда ничего не пойму здесь, в этом дурацком мире».
– Ты рассердился, что он не вписал эти 700 рублей. Ведь они у него написаны транспортом, а другую страницу ты не посмотрел.
– Папенька, он мерзавец и вор, я знаю. И что сделал, то сделал. А ежели вы не хотите, я ничего не буду говорить ему.
– Нет, моя душа (граф был смущен тоже. Он чувствовал, что он был дурным распорядителем имения своей жены и виноват был перед своими детьми но не знал, как поправить это) – Нет, я прошу тебя заняться делами, я стар, я…
– Нет, папенька, вы простите меня, ежели я сделал вам неприятное; я меньше вашего умею.
«Чорт с ними, с этими мужиками и деньгами, и транспортами по странице, думал он. Еще от угла на шесть кушей я понимал когда то, но по странице транспорт – ничего не понимаю», сказал он сам себе и с тех пор более не вступался в дела. Только однажды графиня позвала к себе сына, сообщила ему о том, что у нее есть вексель Анны Михайловны на две тысячи и спросила у Николая, как он думает поступить с ним.
– А вот как, – отвечал Николай. – Вы мне сказали, что это от меня зависит; я не люблю Анну Михайловну и не люблю Бориса, но они были дружны с нами и бедны. Так вот как! – и он разорвал вексель, и этим поступком слезами радости заставил рыдать старую графиню. После этого молодой Ростов, уже не вступаясь более ни в какие дела, с страстным увлечением занялся еще новыми для него делами псовой охоты, которая в больших размерах была заведена у старого графа.


Уже были зазимки, утренние морозы заковывали смоченную осенними дождями землю, уже зелень уклочилась и ярко зелено отделялась от полос буреющего, выбитого скотом, озимого и светло желтого ярового жнивья с красными полосами гречихи. Вершины и леса, в конце августа еще бывшие зелеными островами между черными полями озимей и жнивами, стали золотистыми и ярко красными островами посреди ярко зеленых озимей. Русак уже до половины затерся (перелинял), лисьи выводки начинали разбредаться, и молодые волки были больше собаки. Было лучшее охотничье время. Собаки горячего, молодого охотника Ростова уже не только вошли в охотничье тело, но и подбились так, что в общем совете охотников решено было три дня дать отдохнуть собакам и 16 сентября итти в отъезд, начиная с дубравы, где был нетронутый волчий выводок.
В таком положении были дела 14 го сентября.
Весь этот день охота была дома; было морозно и колко, но с вечера стало замолаживать и оттеплело. 15 сентября, когда молодой Ростов утром в халате выглянул в окно, он увидал такое утро, лучше которого ничего не могло быть для охоты: как будто небо таяло и без ветра спускалось на землю. Единственное движенье, которое было в воздухе, было тихое движенье сверху вниз спускающихся микроскопических капель мги или тумана. На оголившихся ветвях сада висели прозрачные капли и падали на только что свалившиеся листья. Земля на огороде, как мак, глянцевито мокро чернела, и в недалеком расстоянии сливалась с тусклым и влажным покровом тумана. Николай вышел на мокрое с натасканной грязью крыльцо: пахло вянущим лесом и собаками. Чернопегая, широкозадая сука Милка с большими черными на выкате глазами, увидав хозяина, встала, потянулась назад и легла по русачьи, потом неожиданно вскочила и лизнула его прямо в нос и усы. Другая борзая собака, увидав хозяина с цветной дорожки, выгибая спину, стремительно бросилась к крыльцу и подняв правило (хвост), стала тереться о ноги Николая.
– О гой! – послышался в это время тот неподражаемый охотничий подклик, который соединяет в себе и самый глубокий бас, и самый тонкий тенор; и из за угла вышел доезжачий и ловчий Данило, по украински в скобку обстриженный, седой, морщинистый охотник с гнутым арапником в руке и с тем выражением самостоятельности и презрения ко всему в мире, которое бывает только у охотников. Он снял свою черкесскую шапку перед барином, и презрительно посмотрел на него. Презрение это не было оскорбительно для барина: Николай знал, что этот всё презирающий и превыше всего стоящий Данило всё таки был его человек и охотник.
– Данила! – сказал Николай, робко чувствуя, что при виде этой охотничьей погоды, этих собак и охотника, его уже обхватило то непреодолимое охотничье чувство, в котором человек забывает все прежние намерения, как человек влюбленный в присутствии своей любовницы.
– Что прикажете, ваше сиятельство? – спросил протодиаконский, охриплый от порсканья бас, и два черные блестящие глаза взглянули исподлобья на замолчавшего барина. «Что, или не выдержишь?» как будто сказали эти два глаза.
– Хорош денек, а? И гоньба, и скачка, а? – сказал Николай, чеша за ушами Милку.
Данило не отвечал и помигал глазами.
– Уварку посылал послушать на заре, – сказал его бас после минутного молчанья, – сказывал, в отрадненский заказ перевела, там выли. (Перевела значило то, что волчица, про которую они оба знали, перешла с детьми в отрадненский лес, который был за две версты от дома и который был небольшое отъемное место.)
– А ведь ехать надо? – сказал Николай. – Приди ка ко мне с Уваркой.
– Как прикажете!
– Так погоди же кормить.
– Слушаю.
Через пять минут Данило с Уваркой стояли в большом кабинете Николая. Несмотря на то, что Данило был не велик ростом, видеть его в комнате производило впечатление подобное тому, как когда видишь лошадь или медведя на полу между мебелью и условиями людской жизни. Данило сам это чувствовал и, как обыкновенно, стоял у самой двери, стараясь говорить тише, не двигаться, чтобы не поломать как нибудь господских покоев, и стараясь поскорее всё высказать и выйти на простор, из под потолка под небо.
Окончив расспросы и выпытав сознание Данилы, что собаки ничего (Даниле и самому хотелось ехать), Николай велел седлать. Но только что Данила хотел выйти, как в комнату вошла быстрыми шагами Наташа, еще не причесанная и не одетая, в большом, нянином платке. Петя вбежал вместе с ней.
– Ты едешь? – сказала Наташа, – я так и знала! Соня говорила, что не поедете. Я знала, что нынче такой день, что нельзя не ехать.
– Едем, – неохотно отвечал Николай, которому нынче, так как он намеревался предпринять серьезную охоту, не хотелось брать Наташу и Петю. – Едем, да только за волками: тебе скучно будет.
– Ты знаешь, что это самое большое мое удовольствие, – сказала Наташа.
– Это дурно, – сам едет, велел седлать, а нам ничего не сказал.
– Тщетны россам все препоны, едем! – прокричал Петя.
– Да ведь тебе и нельзя: маменька сказала, что тебе нельзя, – сказал Николай, обращаясь к Наташе.
– Нет, я поеду, непременно поеду, – сказала решительно Наташа. – Данила, вели нам седлать, и Михайла чтоб выезжал с моей сворой, – обратилась она к ловчему.
И так то быть в комнате Даниле казалось неприлично и тяжело, но иметь какое нибудь дело с барышней – для него казалось невозможным. Он опустил глаза и поспешил выйти, как будто до него это не касалось, стараясь как нибудь нечаянно не повредить барышне.


Старый граф, всегда державший огромную охоту, теперь же передавший всю охоту в ведение сына, в этот день, 15 го сентября, развеселившись, собрался сам тоже выехать.
Через час вся охота была у крыльца. Николай с строгим и серьезным видом, показывавшим, что некогда теперь заниматься пустяками, прошел мимо Наташи и Пети, которые что то рассказывали ему. Он осмотрел все части охоты, послал вперед стаю и охотников в заезд, сел на своего рыжего донца и, подсвистывая собак своей своры, тронулся через гумно в поле, ведущее к отрадненскому заказу. Лошадь старого графа, игреневого меренка, называемого Вифлянкой, вел графский стремянной; сам же он должен был прямо выехать в дрожечках на оставленный ему лаз.
Всех гончих выведено было 54 собаки, под которыми, доезжачими и выжлятниками, выехало 6 человек. Борзятников кроме господ было 8 человек, за которыми рыскало более 40 борзых, так что с господскими сворами выехало в поле около 130 ти собак и 20 ти конных охотников.
Каждая собака знала хозяина и кличку. Каждый охотник знал свое дело, место и назначение. Как только вышли за ограду, все без шуму и разговоров равномерно и спокойно растянулись по дороге и полю, ведшими к отрадненскому лесу.
Как по пушному ковру шли по полю лошади, изредка шлепая по лужам, когда переходили через дороги. Туманное небо продолжало незаметно и равномерно спускаться на землю; в воздухе было тихо, тепло, беззвучно. Изредка слышались то подсвистыванье охотника, то храп лошади, то удар арапником или взвизг собаки, не шедшей на своем месте.
Отъехав с версту, навстречу Ростовской охоте из тумана показалось еще пять всадников с собаками. Впереди ехал свежий, красивый старик с большими седыми усами.
– Здравствуйте, дядюшка, – сказал Николай, когда старик подъехал к нему.
– Чистое дело марш!… Так и знал, – заговорил дядюшка (это был дальний родственник, небогатый сосед Ростовых), – так и знал, что не вытерпишь, и хорошо, что едешь. Чистое дело марш! (Это была любимая поговорка дядюшки.) – Бери заказ сейчас, а то мой Гирчик донес, что Илагины с охотой в Корниках стоят; они у тебя – чистое дело марш! – под носом выводок возьмут.
– Туда и иду. Что же, свалить стаи? – спросил Николай, – свалить…
Гончих соединили в одну стаю, и дядюшка с Николаем поехали рядом. Наташа, закутанная платками, из под которых виднелось оживленное с блестящими глазами лицо, подскакала к ним, сопутствуемая не отстававшими от нее Петей и Михайлой охотником и берейтором, который был приставлен нянькой при ней. Петя чему то смеялся и бил, и дергал свою лошадь. Наташа ловко и уверенно сидела на своем вороном Арабчике и верной рукой, без усилия, осадила его.
Дядюшка неодобрительно оглянулся на Петю и Наташу. Он не любил соединять баловство с серьезным делом охоты.
– Здравствуйте, дядюшка, и мы едем! – прокричал Петя.
– Здравствуйте то здравствуйте, да собак не передавите, – строго сказал дядюшка.
– Николенька, какая прелестная собака, Трунила! он узнал меня, – сказала Наташа про свою любимую гончую собаку.
«Трунила, во первых, не собака, а выжлец», подумал Николай и строго взглянул на сестру, стараясь ей дать почувствовать то расстояние, которое должно было их разделять в эту минуту. Наташа поняла это.
– Вы, дядюшка, не думайте, чтобы мы помешали кому нибудь, – сказала Наташа. Мы станем на своем месте и не пошевелимся.
– И хорошее дело, графинечка, – сказал дядюшка. – Только с лошади то не упадите, – прибавил он: – а то – чистое дело марш! – не на чем держаться то.