Теория катастроф

Не следует путать с катастрофизмом.

Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и Кристофером Зиманом (Christopher Zeeman) в конце 1960-х — начале 1970-х годов («катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности «точки катастрофы» и построенная на этой основе классификация объектов.

Теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике.

История

Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких отображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1940-х — 1950-х гг., которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.

В конце 1960-х развитием этого направления занялся известный французский математик и филдсофский лауреат 1958 года Рене Том. Однако популярность идеи Уитни и Тома приобрели благодаря нескольким публикациям К. Зимана в 1970-х, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера ([en.wikipedia.org/wiki/John_Mather_(mathematician) John Mather]), Б. Мальгранжа ([en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Malgrange Bernard Malgrange]), Р. Тома, Т. Волла, К. Зимана и особенно В. И. Арнольда и его учеников (И. А. Богаевский, А. Н. Варченко, В. А. Васильев, А. Б. Гивенталь, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, М. Э. Казарян, В. Д. Седых и др.).

Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

Потенциальные функции с одной активной переменной

Катастрофа типа «Складка»

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»

<math>V = x^3 + ax</math>

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

Катастрофа типа «Сборка»

<math>V = x^4 + ax^2 + bx</math>

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a, b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это — пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф . Это — шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

<math>V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx</math>

Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф .

Катастрофа типа «Бабочка»

<math>V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx</math>

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

Гиперболическая омбилика

<math>V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy</math>

Эллиптическая омбилика

<math>V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy</math>

Параболическая омбилика

<math>V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy</math>

Запись и классификация катастроф по Арнольду

В. И. Арнольд предложил классификацию катастроф en:ADE classification, использующую глубокие связи с теорией групп Ли.

• A₀ — несингулярная точка: <math>V = x</math>.
• A₁ — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум <math>V = \pm x^2 + a x</math>.
• A₂ — складка
• A₃ — сборка
• A₄ — ласточкин хвост
• A₅ — бабочка
• A_k — бесконечная последовательность форм от одной переменной <math>V=x^{k+1}+\cdots</math>
• D₄⁺ — кошелёк = гиперболическая омбилика
• D₄^- — пирамида = эллиптическая омбилика
• D₅ — параболическая омбилика
• D_k — бесконечная последовательность других омбилик
• E₆ — символическая омбилика <math>V = x^3+y^4+a x y^2 +bxy+cx+dy</math>
• E₇
• E₈

В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству других простых групп Ли.

Применения теории катастроф

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).

См. также

• Каскад бифуркаций
• Особенность
• Переход количественных изменений в качественные
• Критическая точка
• Ласточкин хвост (поверхность)
• Лемма Морса. Теорема Тужрона
• Формула произведения корангов
• Теорема Сарда

Литература

На русском языке

• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intf&paperid=41&what=fullt&option_lang=rus В. И. Арнольд. Теория катастроф.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intd&paperid=61&what=fullt&option_lang=rus В. И. Арнольд. Особенности в вариационном исчислении.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intf&paperid=40&what=fullt&option_lang=rus В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intf&paperid=43&what=fullt&option_lang=rus В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. I. Локальная и глобальная теория.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intf&paperid=133&what=fullt&option_lang=rus В. И. Арнольд, В. А. Васильев, В. В. Горюнов, О. В. Ляшко. Особенности. II. Классификация и приложения.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intd&paperid=107&what=fullt&option_lang=rus А. Б. Гивенталь. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения.]
• [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=intd&paperid=62&what=fullt&option_lang=rus В. М. Закалюкин. Перестройки фронтов, каустик, зависящих от параметра, версальность отображений.]

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
• Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
• Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения, — М.: Мир, 1980.
• Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез, — М.: Логос, 2002.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.

На английском языке

• Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
• Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
• Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
• Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
• Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.
• Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Ссылки

На русском языке

• [nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159456 Д. В. Аносов. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века.]

На английском языке

• [www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon.html CompLexicon: Catastrophe Theory]
• [perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/ct/eng_index.html Catastrophe teacher]

Отрывок, характеризующий Теория катастроф

Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.


На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.
Русские и французские услужливые руки, мгновенно подхватив крест, прицепили его к мундиру. Лазарев мрачно взглянул на маленького человечка, с белыми руками, который что то сделал над ним, и продолжая неподвижно держать на караул, опять прямо стал глядеть в глаза Александру, как будто он спрашивал Александра: всё ли еще ему стоять, или не прикажут ли ему пройтись теперь, или может быть еще что нибудь сделать? Но ему ничего не приказывали, и он довольно долго оставался в этом неподвижном состоянии.
Государи сели верхами и уехали. Преображенцы, расстроивая ряды, перемешались с французскими гвардейцами и сели за столы, приготовленные для них.
Лазарев сидел на почетном месте; его обнимали, поздравляли и жали ему руки русские и французские офицеры. Толпы офицеров и народа подходили, чтобы только посмотреть на Лазарева. Гул говора русского французского и хохота стоял на площади вокруг столов. Два офицера с раскрасневшимися лицами, веселые и счастливые прошли мимо Ростова.
– Каково, брат, угощенье? Всё на серебре, – сказал один. – Лазарева видел?
– Видел.
– Завтра, говорят, преображенцы их угащивать будут.
– Нет, Лазареву то какое счастье! 10 франков пожизненного пенсиона.
– Вот так шапка, ребята! – кричал преображенец, надевая мохнатую шапку француза.
– Чудо как хорошо, прелесть!
– Ты слышал отзыв? – сказал гвардейский офицер другому. Третьего дня было Napoleon, France, bravoure; [Наполеон, Франция, храбрость;] вчера Alexandre, Russie, grandeur; [Александр, Россия, величие;] один день наш государь дает отзыв, а другой день Наполеон. Завтра государь пошлет Георгия самому храброму из французских гвардейцев. Нельзя же! Должен ответить тем же.
Борис с своим товарищем Жилинским тоже пришел посмотреть на банкет преображенцев. Возвращаясь назад, Борис заметил Ростова, который стоял у угла дома.
– Ростов! здравствуй; мы и не видались, – сказал он ему, и не мог удержаться, чтобы не спросить у него, что с ним сделалось: так странно мрачно и расстроено было лицо Ростова.
– Ничего, ничего, – отвечал Ростов.
– Ты зайдешь?
– Да, зайду.
Ростов долго стоял у угла, издалека глядя на пирующих. В уме его происходила мучительная работа, которую он никак не мог довести до конца. В душе поднимались страшные сомнения. То ему вспоминался Денисов с своим изменившимся выражением, с своей покорностью и весь госпиталь с этими оторванными руками и ногами, с этой грязью и болезнями. Ему так живо казалось, что он теперь чувствует этот больничный запах мертвого тела, что он оглядывался, чтобы понять, откуда мог происходить этот запах. То ему вспоминался этот самодовольный Бонапарте с своей белой ручкой, который был теперь император, которого любит и уважает император Александр. Для чего же оторванные руки, ноги, убитые люди? То вспоминался ему награжденный Лазарев и Денисов, наказанный и непрощенный. Он заставал себя на таких странных мыслях, что пугался их.
Запах еды преображенцев и голод вызвали его из этого состояния: надо было поесть что нибудь, прежде чем уехать. Он пошел к гостинице, которую видел утром. В гостинице он застал так много народу, офицеров, так же как и он приехавших в статских платьях, что он насилу добился обеда. Два офицера одной с ним дивизии присоединились к нему. Разговор естественно зашел о мире. Офицеры, товарищи Ростова, как и большая часть армии, были недовольны миром, заключенным после Фридланда. Говорили, что еще бы подержаться, Наполеон бы пропал, что у него в войсках ни сухарей, ни зарядов уж не было. Николай молча ел и преимущественно пил. Он выпил один две бутылки вина. Внутренняя поднявшаяся в нем работа, не разрешаясь, всё также томила его. Он боялся предаваться своим мыслям и не мог отстать от них. Вдруг на слова одного из офицеров, что обидно смотреть на французов, Ростов начал кричать с горячностью, ничем не оправданною, и потому очень удивившею офицеров.
– И как вы можете судить, что было бы лучше! – закричал он с лицом, вдруг налившимся кровью. – Как вы можете судить о поступках государя, какое мы имеем право рассуждать?! Мы не можем понять ни цели, ни поступков государя!
– Да я ни слова не говорил о государе, – оправдывался офицер, не могший иначе как тем, что Ростов пьян, объяснить себе его вспыльчивости.
Но Ростов не слушал.
– Мы не чиновники дипломатические, а мы солдаты и больше ничего, – продолжал он. – Умирать велят нам – так умирать. А коли наказывают, так значит – виноват; не нам судить. Угодно государю императору признать Бонапарте императором и заключить с ним союз – значит так надо. А то, коли бы мы стали обо всем судить да рассуждать, так этак ничего святого не останется. Этак мы скажем, что ни Бога нет, ничего нет, – ударяя по столу кричал Николай, весьма некстати, по понятиям своих собеседников, но весьма последовательно по ходу своих мыслей.
– Наше дело исполнять свой долг, рубиться и не думать, вот и всё, – заключил он.
– И пить, – сказал один из офицеров, не желавший ссориться.
– Да, и пить, – подхватил Николай. – Эй ты! Еще бутылку! – крикнул он.



В 1808 году император Александр ездил в Эрфурт для нового свидания с императором Наполеоном, и в высшем Петербургском обществе много говорили о величии этого торжественного свидания.
В 1809 году близость двух властелинов мира, как называли Наполеона и Александра, дошла до того, что, когда Наполеон объявил в этом году войну Австрии, то русский корпус выступил за границу для содействия своему прежнему врагу Бонапарте против прежнего союзника, австрийского императора; до того, что в высшем свете говорили о возможности брака между Наполеоном и одной из сестер императора Александра. Но, кроме внешних политических соображений, в это время внимание русского общества с особенной живостью обращено было на внутренние преобразования, которые были производимы в это время во всех частях государственного управления.
Жизнь между тем, настоящая жизнь людей с своими существенными интересами здоровья, болезни, труда, отдыха, с своими интересами мысли, науки, поэзии, музыки, любви, дружбы, ненависти, страстей, шла как и всегда независимо и вне политической близости или вражды с Наполеоном Бонапарте, и вне всех возможных преобразований.
Князь Андрей безвыездно прожил два года в деревне. Все те предприятия по именьям, которые затеял у себя Пьер и не довел ни до какого результата, беспрестанно переходя от одного дела к другому, все эти предприятия, без выказыванья их кому бы то ни было и без заметного труда, были исполнены князем Андреем.
Он имел в высшей степени ту недостававшую Пьеру практическую цепкость, которая без размахов и усилий с его стороны давала движение делу.
Одно именье его в триста душ крестьян было перечислено в вольные хлебопашцы (это был один из первых примеров в России), в других барщина заменена оброком. В Богучарово была выписана на его счет ученая бабка для помощи родильницам, и священник за жалованье обучал детей крестьянских и дворовых грамоте.
Одну половину времени князь Андрей проводил в Лысых Горах с отцом и сыном, который был еще у нянек; другую половину времени в богучаровской обители, как называл отец его деревню. Несмотря на выказанное им Пьеру равнодушие ко всем внешним событиям мира, он усердно следил за ними, получал много книг, и к удивлению своему замечал, когда к нему или к отцу его приезжали люди свежие из Петербурга, из самого водоворота жизни, что эти люди, в знании всего совершающегося во внешней и внутренней политике, далеко отстали от него, сидящего безвыездно в деревне.
Кроме занятий по именьям, кроме общих занятий чтением самых разнообразных книг, князь Андрей занимался в это время критическим разбором наших двух последних несчастных кампаний и составлением проекта об изменении наших военных уставов и постановлений.
Весною 1809 года, князь Андрей поехал в рязанские именья своего сына, которого он был опекуном.
Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.


По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Князю Андрею вдруг стало от чего то больно. День был так хорош, солнце так ярко, кругом всё так весело; а эта тоненькая и хорошенькая девушка не знала и не хотела знать про его существование и была довольна, и счастлива какой то своей отдельной, – верно глупой – но веселой и счастливой жизнию. «Чему она так рада? о чем она думает! Не об уставе военном, не об устройстве рязанских оброчных. О чем она думает? И чем она счастлива?» невольно с любопытством спрашивал себя князь Андрей.