Теория пределов
Содержание
История
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Предел последовательности
- Основная статья: Предел последовательности
Число <math>a</math> называется пределом последовательности <math>a_n=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> , если <math>\forall</math> <math>\epsilon > 0</math> , <math>\exists</math> <math>N(\epsilon)</math> , <math>\forall</math> <math>n>N(\epsilon)</math>: <math>|a_n-a|<\epsilon</math>. Предел последовательности обозначается <math>\lim_{n\to +\infty} a_n</math>. Куда именно стремится <math>n</math>, можно не указывать, поскольку <math>n</math> <math>\in\mathbb N</math>, оно может стремиться только к <math>+\infty</math>.
Свойства:
- Если предел последовательности существует, то он единственный.
- <math>\lim c = c </math> <math>,c - const</math>
- <math>\lim (x_n + y_n) = \lim x_n + \lim y_n</math> (если оба предела существуют)
- <math>\lim (q x_n) = q \lim x_n </math> <math>,q - const</math>
- <math>\lim (x_n y_n) = \lim x_n \lim y_n</math> (если оба предела существуют)
- <math>\lim (x_n / y_n) = \lim x_n / \lim y_n</math> (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
- Если <math> a_n > x_n > b_n \forall n</math> и <math>\lim a_n = \lim b_n</math> , то <math>\lim x_n = \lim a_n = \lim b_n</math> (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)
Предел функции
- Основная статья: Предел функции
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если <math>\forall \epsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, такое что <math>\forall x, 0 < |x-a| <\delta </math> выполняется <math>|f(x) - b| < \epsilon </math>.
Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, <math>\lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x)</math>, если все члены существуют.
Обобщенное понятие предела последовательности
Пусть <math>X</math> — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности <math>U</math> (например, метрическое пространство). Пусть <math>x_i \in X</math> — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что <math>x \in X</math> есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки <math>x</math> лежат почти все члены последовательности то есть <math>\forall U(x) \exist n \forall i>n x_i \in U(x) </math>
Напишите отзыв о статье "Теория пределов"
Примечания
- ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Теория пределов
– Нет нашего согласия, пускай разоряет! Не берем твоего хлеба, нет согласия нашего!Княжна Марья старалась уловить опять чей нибудь взгляд из толпы, но ни один взгляд не был устремлен на нее; глаза, очевидно, избегали ее. Ей стало странно и неловко.
– Вишь, научила ловко, за ней в крепость иди! Дома разори да в кабалу и ступай. Как же! Я хлеб, мол, отдам! – слышались голоса в толпе.
Княжна Марья, опустив голову, вышла из круга и пошла в дом. Повторив Дрону приказание о том, чтобы завтра были лошади для отъезда, она ушла в свою комнату и осталась одна с своими мыслями.
Долго эту ночь княжна Марья сидела у открытого окна в своей комнате, прислушиваясь к звукам говора мужиков, доносившегося с деревни, но она не думала о них. Она чувствовала, что, сколько бы она ни думала о них, она не могла бы понять их. Она думала все об одном – о своем горе, которое теперь, после перерыва, произведенного заботами о настоящем, уже сделалось для нее прошедшим. Она теперь уже могла вспоминать, могла плакать и могла молиться. С заходом солнца ветер затих. Ночь была тихая и свежая. В двенадцатом часу голоса стали затихать, пропел петух, из за лип стала выходить полная луна, поднялся свежий, белый туман роса, и над деревней и над домом воцарилась тишина.
Одна за другой представлялись ей картины близкого прошедшего – болезни и последних минут отца. И с грустной радостью она теперь останавливалась на этих образах, отгоняя от себя с ужасом только одно последнее представление его смерти, которое – она чувствовала – она была не в силах созерцать даже в своем воображении в этот тихий и таинственный час ночи. И картины эти представлялись ей с такой ясностью и с такими подробностями, что они казались ей то действительностью, то прошедшим, то будущим.
То ей живо представлялась та минута, когда с ним сделался удар и его из сада в Лысых Горах волокли под руки и он бормотал что то бессильным языком, дергал седыми бровями и беспокойно и робко смотрел на нее.
«Он и тогда хотел сказать мне то, что он сказал мне в день своей смерти, – думала она. – Он всегда думал то, что он сказал мне». И вот ей со всеми подробностями вспомнилась та ночь в Лысых Горах накануне сделавшегося с ним удара, когда княжна Марья, предчувствуя беду, против его воли осталась с ним. Она не спала и ночью на цыпочках сошла вниз и, подойдя к двери в цветочную, в которой в эту ночь ночевал ее отец, прислушалась к его голосу. Он измученным, усталым голосом говорил что то с Тихоном. Ему, видно, хотелось поговорить. «И отчего он не позвал меня? Отчего он не позволил быть мне тут на месте Тихона? – думала тогда и теперь княжна Марья. – Уж он не выскажет никогда никому теперь всего того, что было в его душе. Уж никогда не вернется для него и для меня эта минута, когда бы он говорил все, что ему хотелось высказать, а я, а не Тихон, слушала бы и понимала его. Отчего я не вошла тогда в комнату? – думала она. – Может быть, он тогда же бы сказал мне то, что он сказал в день смерти. Он и тогда в разговоре с Тихоном два раза спросил про меня. Ему хотелось меня видеть, а я стояла тут, за дверью. Ему было грустно, тяжело говорить с Тихоном, который не понимал его. Помню, как он заговорил с ним про Лизу, как живую, – он забыл, что она умерла, и Тихон напомнил ему, что ее уже нет, и он закричал: „Дурак“. Ему тяжело было. Я слышала из за двери, как он, кряхтя, лег на кровать и громко прокричал: „Бог мой!Отчего я не взошла тогда? Что ж бы он сделал мне? Что бы я потеряла? А может быть, тогда же он утешился бы, он сказал бы мне это слово“. И княжна Марья вслух произнесла то ласковое слово, которое он сказал ей в день смерти. «Ду ше нь ка! – повторила княжна Марья это слово и зарыдала облегчающими душу слезами. Она видела теперь перед собою его лицо. И не то лицо, которое она знала с тех пор, как себя помнила, и которое она всегда видела издалека; а то лицо – робкое и слабое, которое она в последний день, пригибаясь к его рту, чтобы слышать то, что он говорил, в первый раз рассмотрела вблизи со всеми его морщинами и подробностями.