Теория теплоёмкости Эйнштейна

Статистическая физика

<math>S = k_B \, \ln\Omega</math>

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Энионная статистика Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнтальпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решетке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна <math>\nu=\omega/2\pi </math>.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно <math>3 N_a</math>, где <math>N_a</math> — число Авогадро.
• Энергия их квантована: <math>\varepsilon = n \hbar \omega </math>, где <math>n \in N </math>, <math>\hbar </math> — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана: <math>N = N_0 \exp \left\{ -{\hbar \omega \over k T} n \right\} </math>, где <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

<math> \bar{U}_\mu = 3 \bar{\varepsilon} N_a </math>.

Среднее значение энергии одного осциллятора <math>\bar{\varepsilon}</math> находится из соотношения для среднего значения:

<math>\bar{\varepsilon} = \sum^{\infty}_{n=0} {\varepsilon_n N \over N_0} </math>

и составляет:

<math> \bar{\varepsilon} = {\hbar \omega \over \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 } </math>,

отсюда:

<math> \bar{U}_\mu = 3 N_a \hbar \omega{ 1 \over \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 } </math>.

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

<math> C = {dU \over dT } = 3 R \left( {\hbar \omega \over kT } \right) ^2 { \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\} \over \left( \exp \left\{ {\hbar\omega \over kT} \right\}-1 \right)^2 } </math>.

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина <math>\theta_E={\hbar \omega \over k }</math> иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов в силу неточности некоторых предположений Эйнштейна, в частности, предположения о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

См. также

• Модель Дебая
• Закон Дюлонга — Пти
• Закон Джоуля — Коппа

Источники

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика.

Отрывок, характеризующий Теория теплоёмкости Эйнштейна

– Семь новых и три старых.
– Ах,сквег'но! Ну, что стоишь, чучела, пошли вахмистг'а, – крикнул Денисов на Лаврушку.
– Пожалуйста, Денисов, возьми у меня денег, ведь у меня есть, – сказал Ростов краснея.
– Не люблю у своих занимать, не люблю, – проворчал Денисов.
– А ежели ты у меня не возьмешь деньги по товарищески, ты меня обидишь. Право, у меня есть, – повторял Ростов.
– Да нет же.
И Денисов подошел к кровати, чтобы достать из под подушки кошелек.
– Ты куда положил, Ростов?
– Под нижнюю подушку.
– Да нету.
Денисов скинул обе подушки на пол. Кошелька не было.
– Вот чудо то!
– Постой, ты не уронил ли? – сказал Ростов, по одной поднимая подушки и вытрясая их.
Он скинул и отряхнул одеяло. Кошелька не было.
– Уж не забыл ли я? Нет, я еще подумал, что ты точно клад под голову кладешь, – сказал Ростов. – Я тут положил кошелек. Где он? – обратился он к Лаврушке.
– Я не входил. Где положили, там и должен быть.
– Да нет…
– Вы всё так, бросите куда, да и забудете. В карманах то посмотрите.
– Нет, коли бы я не подумал про клад, – сказал Ростов, – а то я помню, что положил.
Лаврушка перерыл всю постель, заглянул под нее, под стол, перерыл всю комнату и остановился посреди комнаты. Денисов молча следил за движениями Лаврушки и, когда Лаврушка удивленно развел руками, говоря, что нигде нет, он оглянулся на Ростова.
– Г'остов, ты не школьнич…
Ростов почувствовал на себе взгляд Денисова, поднял глаза и в то же мгновение опустил их. Вся кровь его, бывшая запертою где то ниже горла, хлынула ему в лицо и глаза. Он не мог перевести дыхание.
– И в комнате то никого не было, окромя поручика да вас самих. Тут где нибудь, – сказал Лаврушка.
– Ну, ты, чог'това кукла, повог`ачивайся, ищи, – вдруг закричал Денисов, побагровев и с угрожающим жестом бросаясь на лакея. – Чтоб был кошелек, а то запог'ю. Всех запог'ю!
Ростов, обходя взглядом Денисова, стал застегивать куртку, подстегнул саблю и надел фуражку.
– Я тебе говог'ю, чтоб был кошелек, – кричал Денисов, тряся за плечи денщика и толкая его об стену.
– Денисов, оставь его; я знаю кто взял, – сказал Ростов, подходя к двери и не поднимая глаз.
Денисов остановился, подумал и, видимо поняв то, на что намекал Ростов, схватил его за руку.
– Вздог'! – закричал он так, что жилы, как веревки, надулись у него на шее и лбу. – Я тебе говог'ю, ты с ума сошел, я этого не позволю. Кошелек здесь; спущу шкуг`у с этого мег`завца, и будет здесь.
– Я знаю, кто взял, – повторил Ростов дрожащим голосом и пошел к двери.