Тетрация

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году[1].





Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа <math>a>0</math> и неотрицательного целого числа <math>n\geqslant 0</math>, тетрацию <math>{}^na</math> можно определить рекуррентно:

  • <math>{}^0a=1,</math>
  • <math>{}^na=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.</math>

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

<math>{}^42=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65\;536.</math>

Или:

<math>{}^52=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.</math>

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

<math>2^{2^{2^2}}\ne\left((2^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2}=2^8=256.</math>

Или:

<math>2^{2^{2^{2^2}}}\ne\left(((2^2)^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2\cdot2}=2^{16}=65536.</math>

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
    <math>a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b;</math>
  2. умножение:
    <math>a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b;</math>
  3. возведение в степень:
    <math>a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b;</math>
  4. тетрация:
    <math>{^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b.</math>

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка <math>n</math>» для <math>\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_n</math>.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}</math> Тетрация
<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}</math> Итерационные экспоненты
<math>a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}</math> Вложенные экспоненты (также башни)
<math>a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}</math> Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях <math>a</math> есть основание, и количество появляющихся <math>a</math> есть высота. В третьем выражении, <math>n</math> есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций) включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи <math>{}^na</math> Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута <math>a{\uparrow\uparrow}n</math> Позволяет удлинение путём добавление добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея <math>a\to n\to 2</math> Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана <math>{}^n2=\mathrm{A}(4,\;n-3)+3</math> Допускает особый случай <math>a=2</math> в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи <math>{}^na=\exp_a^n(1)</math> Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6] <math>\mathrm{uxp}_a n,\quad a^\frac{n}{}</math>
Система записи гипероператорами <math>a^{(4)}n,\quad\mathrm{hyper}_4(a,\;n)</math> Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

<math>\exp_a^n(x)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}}_n.</math>

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи <math>\exp_a^n(x)</math> Система записи <math>\exp_a(x)=a^x</math> и итерационная система записи <math>f^n(x)</math> была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута <math>(a{\uparrow})^n(x)</math> Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) <math>{}^n(a,\;x)</math> Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными.

<math>x</math> <math>{}^2x</math> <math>{}^3x</math> <math>{}^4x</math>
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987 <math>\exp_{10}^3(1{,}09902)</math>
4 256 <math>\exp_{10}^2(2{,}18788)</math> <math>\exp_{10}^3(2{,}18726)</math>
5 3 125 <math>\exp_{10}^2(3{,}33931)</math> <math>\exp_{10}^3(3{,}33928)</math>
6 46 656 <math>\exp_{10}^2(4{,}55997)</math> <math>\exp_{10}^3(4{,}55997)</math>
7 823 543 <math>\exp_{10}^2(5{,}84259)</math> <math>\exp_{10}^3(5{,}84259)</math>
8 16 777 216 <math>\exp_{10}^2(7{,}18045)</math> <math>\exp_{10}^3(7{,}18045)</math>
9 387 420 489 <math>\exp_{10}^2(8{,}56784)</math> <math>\exp_{10}^3(8{,}56784)</math>
10 10 000 000 000 <math>\exp_{10}^3(1)</math> <math>\exp_{10}^4(1)</math>

Открытые проблемы

  • Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли <math>{^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}</math> целым.
  • Неизвестно, может ли <math>{^n q}</math> быть рациональным числом, если <math>n</math> — целое число, большее 3, а <math>q</math> — рациональное, но не целое число (для <math>n=2,\,3</math> ответ отрицателен)[9].
  • Ни для какого целого <math>n>3</math> неизвестно, является ли положительный корень уравнения <math>{^n x}=2</math> рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Напишите отзыв о статье "Тетрация"

Примечания

  1. Goodstein R. L. (1947). «Transfinite ordinals in recursive number theory». Journal of Symbolic Logic 12. DOI:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. (1987). «[www.jstor.org/stable/2689566 Superexponentiation]». Mathematics Magazine 60 (3): 169–174.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F.. «Somecritical points of the hyperpower function <math>\scriptstyle{x^{x^{\dots».}</math>|journal=International Journal of Mathematical Education|year=1989|volume=20|issue=2|pages=297–305|id=MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=994348 994348]|url=www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm}}
  5. Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PowerTower.html Power Tower] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. (2006). «Ultra power and ultra exponential functions». Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. DOI:10.1080/10652460500422247.
  7. mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
  8. Galidakis I. [ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals].
  9. [condor.depaul.edu/mash/atotheamg.pdf Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.]

Ссылки

  • [web.archive.org/web/20081211072248/tetration.itgo.com/ Сайт про тетрацию Эндрю Робинса].
  • [www.tetration.org/ Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера].
  • [math.eretrandre.org/tetrationforum/index.php Форум по обсуждению тетрации].
  • Кузнецов Д. [www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2009vladir.pdf Тетрация как специальная функция] // Владикавказский математический журнал. — 2010.

Отрывок, характеризующий Тетрация

– Кто тут ходит за больными? – спросил он фельдшера. В это время из соседней комнаты вышел фурштадский солдат, больничный служитель, и отбивая шаг вытянулся перед Ростовым.
– Здравия желаю, ваше высокоблагородие! – прокричал этот солдат, выкатывая глаза на Ростова и, очевидно, принимая его за больничное начальство.
– Убери же его, дай ему воды, – сказал Ростов, указывая на казака.
– Слушаю, ваше высокоблагородие, – с удовольствием проговорил солдат, еще старательнее выкатывая глаза и вытягиваясь, но не трогаясь с места.
– Нет, тут ничего не сделаешь, – подумал Ростов, опустив глаза, и хотел уже выходить, но с правой стороны он чувствовал устремленный на себя значительный взгляд и оглянулся на него. Почти в самом углу на шинели сидел с желтым, как скелет, худым, строгим лицом и небритой седой бородой, старый солдат и упорно смотрел на Ростова. С одной стороны, сосед старого солдата что то шептал ему, указывая на Ростова. Ростов понял, что старик намерен о чем то просить его. Он подошел ближе и увидал, что у старика была согнута только одна нога, а другой совсем не было выше колена. Другой сосед старика, неподвижно лежавший с закинутой головой, довольно далеко от него, был молодой солдат с восковой бледностью на курносом, покрытом еще веснушками, лице и с закаченными под веки глазами. Ростов поглядел на курносого солдата, и мороз пробежал по его спине.
– Да ведь этот, кажется… – обратился он к фельдшеру.
– Уж как просили, ваше благородие, – сказал старый солдат с дрожанием нижней челюсти. – Еще утром кончился. Ведь тоже люди, а не собаки…
– Сейчас пришлю, уберут, уберут, – поспешно сказал фельдшер. – Пожалуйте, ваше благородие.
– Пойдем, пойдем, – поспешно сказал Ростов, и опустив глаза, и сжавшись, стараясь пройти незамеченным сквозь строй этих укоризненных и завистливых глаз, устремленных на него, он вышел из комнаты.


Пройдя коридор, фельдшер ввел Ростова в офицерские палаты, состоявшие из трех, с растворенными дверями, комнат. В комнатах этих были кровати; раненые и больные офицеры лежали и сидели на них. Некоторые в больничных халатах ходили по комнатам. Первое лицо, встретившееся Ростову в офицерских палатах, был маленький, худой человечек без руки, в колпаке и больничном халате с закушенной трубочкой, ходивший в первой комнате. Ростов, вглядываясь в него, старался вспомнить, где он его видел.
– Вот где Бог привел свидеться, – сказал маленький человек. – Тушин, Тушин, помните довез вас под Шенграбеном? А мне кусочек отрезали, вот… – сказал он, улыбаясь, показывая на пустой рукав халата. – Василья Дмитриевича Денисова ищете? – сожитель! – сказал он, узнав, кого нужно было Ростову. – Здесь, здесь и Тушин повел его в другую комнату, из которой слышался хохот нескольких голосов.
«И как они могут не только хохотать, но жить тут»? думал Ростов, всё слыша еще этот запах мертвого тела, которого он набрался еще в солдатском госпитале, и всё еще видя вокруг себя эти завистливые взгляды, провожавшие его с обеих сторон, и лицо этого молодого солдата с закаченными глазами.
Денисов, закрывшись с головой одеялом, спал не постели, несмотря на то, что был 12 й час дня.
– А, Г'остов? 3до'ово, здо'ово, – закричал он всё тем же голосом, как бывало и в полку; но Ростов с грустью заметил, как за этой привычной развязностью и оживленностью какое то новое дурное, затаенное чувство проглядывало в выражении лица, в интонациях и словах Денисова.
Рана его, несмотря на свою ничтожность, все еще не заживала, хотя уже прошло шесть недель, как он был ранен. В лице его была та же бледная опухлость, которая была на всех гошпитальных лицах. Но не это поразило Ростова; его поразило то, что Денисов как будто не рад был ему и неестественно ему улыбался. Денисов не расспрашивал ни про полк, ни про общий ход дела. Когда Ростов говорил про это, Денисов не слушал.
Ростов заметил даже, что Денисову неприятно было, когда ему напоминали о полке и вообще о той, другой, вольной жизни, которая шла вне госпиталя. Он, казалось, старался забыть ту прежнюю жизнь и интересовался только своим делом с провиантскими чиновниками. На вопрос Ростова, в каком положении было дело, он тотчас достал из под подушки бумагу, полученную из комиссии, и свой черновой ответ на нее. Он оживился, начав читать свою бумагу и особенно давал заметить Ростову колкости, которые он в этой бумаге говорил своим врагам. Госпитальные товарищи Денисова, окружившие было Ростова – вновь прибывшее из вольного света лицо, – стали понемногу расходиться, как только Денисов стал читать свою бумагу. По их лицам Ростов понял, что все эти господа уже не раз слышали всю эту успевшую им надоесть историю. Только сосед на кровати, толстый улан, сидел на своей койке, мрачно нахмурившись и куря трубку, и маленький Тушин без руки продолжал слушать, неодобрительно покачивая головой. В середине чтения улан перебил Денисова.
– А по мне, – сказал он, обращаясь к Ростову, – надо просто просить государя о помиловании. Теперь, говорят, награды будут большие, и верно простят…
– Мне просить государя! – сказал Денисов голосом, которому он хотел придать прежнюю энергию и горячность, но который звучал бесполезной раздражительностью. – О чем? Ежели бы я был разбойник, я бы просил милости, а то я сужусь за то, что вывожу на чистую воду разбойников. Пускай судят, я никого не боюсь: я честно служил царю, отечеству и не крал! И меня разжаловать, и… Слушай, я так прямо и пишу им, вот я пишу: «ежели бы я был казнокрад…
– Ловко написано, что и говорить, – сказал Тушин. Да не в том дело, Василий Дмитрич, – он тоже обратился к Ростову, – покориться надо, а вот Василий Дмитрич не хочет. Ведь аудитор говорил вам, что дело ваше плохо.
– Ну пускай будет плохо, – сказал Денисов. – Вам написал аудитор просьбу, – продолжал Тушин, – и надо подписать, да вот с ними и отправить. У них верно (он указал на Ростова) и рука в штабе есть. Уже лучше случая не найдете.
– Да ведь я сказал, что подличать не стану, – перебил Денисов и опять продолжал чтение своей бумаги.
Ростов не смел уговаривать Денисова, хотя он инстинктом чувствовал, что путь, предлагаемый Тушиным и другими офицерами, был самый верный, и хотя он считал бы себя счастливым, ежели бы мог оказать помощь Денисову: он знал непреклонность воли Денисова и его правдивую горячность.
Когда кончилось чтение ядовитых бумаг Денисова, продолжавшееся более часа, Ростов ничего не сказал, и в самом грустном расположении духа, в обществе опять собравшихся около него госпитальных товарищей Денисова, провел остальную часть дня, рассказывая про то, что он знал, и слушая рассказы других. Денисов мрачно молчал в продолжение всего вечера.
Поздно вечером Ростов собрался уезжать и спросил Денисова, не будет ли каких поручений?
– Да, постой, – сказал Денисов, оглянулся на офицеров и, достав из под подушки свои бумаги, пошел к окну, на котором у него стояла чернильница, и сел писать.
– Видно плетью обуха не пег'ешибешь, – сказал он, отходя от окна и подавая Ростову большой конверт. – Это была просьба на имя государя, составленная аудитором, в которой Денисов, ничего не упоминая о винах провиантского ведомства, просил только о помиловании.
– Передай, видно… – Он не договорил и улыбнулся болезненно фальшивой улыбкой.


Вернувшись в полк и передав командиру, в каком положении находилось дело Денисова, Ростов с письмом к государю поехал в Тильзит.
13 го июня, французский и русский императоры съехались в Тильзите. Борис Друбецкой просил важное лицо, при котором он состоял, о том, чтобы быть причислену к свите, назначенной состоять в Тильзите.
– Je voudrais voir le grand homme, [Я желал бы видеть великого человека,] – сказал он, говоря про Наполеона, которого он до сих пор всегда, как и все, называл Буонапарте.
– Vous parlez de Buonaparte? [Вы говорите про Буонапарта?] – сказал ему улыбаясь генерал.
Борис вопросительно посмотрел на своего генерала и тотчас же понял, что это было шуточное испытание.
– Mon prince, je parle de l'empereur Napoleon, [Князь, я говорю об императоре Наполеоне,] – отвечал он. Генерал с улыбкой потрепал его по плечу.
– Ты далеко пойдешь, – сказал он ему и взял с собою.
Борис в числе немногих был на Немане в день свидания императоров; он видел плоты с вензелями, проезд Наполеона по тому берегу мимо французской гвардии, видел задумчивое лицо императора Александра, в то время как он молча сидел в корчме на берегу Немана, ожидая прибытия Наполеона; видел, как оба императора сели в лодки и как Наполеон, приставши прежде к плоту, быстрыми шагами пошел вперед и, встречая Александра, подал ему руку, и как оба скрылись в павильоне. Со времени своего вступления в высшие миры, Борис сделал себе привычку внимательно наблюдать то, что происходило вокруг него и записывать. Во время свидания в Тильзите он расспрашивал об именах тех лиц, которые приехали с Наполеоном, о мундирах, которые были на них надеты, и внимательно прислушивался к словам, которые были сказаны важными лицами. В то самое время, как императоры вошли в павильон, он посмотрел на часы и не забыл посмотреть опять в то время, когда Александр вышел из павильона. Свидание продолжалось час и пятьдесят три минуты: он так и записал это в тот вечер в числе других фактов, которые, он полагал, имели историческое значение. Так как свита императора была очень небольшая, то для человека, дорожащего успехом по службе, находиться в Тильзите во время свидания императоров было делом очень важным, и Борис, попав в Тильзит, чувствовал, что с этого времени положение его совершенно утвердилось. Его не только знали, но к нему пригляделись и привыкли. Два раза он исполнял поручения к самому государю, так что государь знал его в лицо, и все приближенные не только не дичились его, как прежде, считая за новое лицо, но удивились бы, ежели бы его не было.