Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник, от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες — «четыре» + др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства тетраэдра

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.
• Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Разверткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделенный тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся ребра попарно равны.
• Трехгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням), равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Свойства ортоцентрического тетраэдра:

• Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
• Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
• Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
• Суммы квадратов противоположных ребер тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны.
• Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
• Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных ребер.
• У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
• У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере ( сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.  

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:

• существует сфера, касающаяся всех ребер,
• суммы длин скрещивающихся ребер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырёхугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

• Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его ребрам (ребрам, не имеющим общих вершин).
• Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).
• Грани описанного параллелепипеда равновелики.
• Выполняются соотношения: <math> 4a^2{a_1}^2- (b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2)^2=4b^2{b_1}^2- (c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2)^2=4c^2{c_1}^2- (a^2+{a_1}^2-b^2-(b_1)^2)^2</math>, где <math>a</math> и <math>a_1</math>, <math>b</math> и <math>b_1</math>, <math>c</math> и <math>c_1</math> - длины противоположных ребер.
• Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
• В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

• Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра ), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка - центр тяжести тетраэдра.
• Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров - инцентрических.
• Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы углов двух граней, проведенному к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
• Произведения длин противоположных ребер равны.
• Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трех ребер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани правильные треугольники. Является одним из пяти тел Платона.

Свойства правильного тетраэдра:

• все ребра тетраэдра равны между собой,
• все грани тетраэдра равны между собой,
• периметры и площади всех граней равны между собой.
• Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
• Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
• Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках <math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math> <math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math> <math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4),</math> равен

<math>V = \frac16

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} = \frac16 \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end{vmatrix},</math> или

<math>V = \frac{1}{3}\ S H,</math>

где <math>S</math> – площадь любой грани, а <math>H</math> – высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

<math>288 \cdot V^2 =

\begin{vmatrix}

 0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
 1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
 1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0

\end{vmatrix}.</math>

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол <math> \phi </math>, находится по формуле:

<math> V = \frac{1}{6} ab h \sin \phi . </math>

• Объём тетраэдра через длины трех его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы <math> \alpha, \beta, \gamma </math>, находится по формуле

<math> V = \frac{1}{3}\ abc \sqrt {D} ,</math>

где <math display="block"> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  & \cos \beta \\
 \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\
 \cos \beta & \cos \alpha & 1         
\end{vmatrix}.</math>

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол <math> \gamma </math>:

<math> S = \frac{1}{2}\ ab \sqrt {D} ,</math>

где <math> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  \\
 \cos \gamma & 1 \\
\end{vmatrix}.</math>

Тетраэдры в микромире

• Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
• Молекула метана СН₄
• Ион аммония NH₄⁺
• Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^- и многие другие ионы
• Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-

Тетраэдры в живой природе

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.

См. также

• Симплекс — n-мерный тетраэдр
• Тетраэдр Мейсснера
• Тетраэдр Рёло
• Треугольник

Литература

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. [mi.mathnet.ru/mp141 Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра] // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.

Отрывок, характеризующий Тетраэдр

На четвертый день пожары начались на Зубовском валу.
Пьера с тринадцатью другими отвели на Крымский Брод, в каретный сарай купеческого дома. Проходя по улицам, Пьер задыхался от дыма, который, казалось, стоял над всем городом. С разных сторон виднелись пожары. Пьер тогда еще не понимал значения сожженной Москвы и с ужасом смотрел на эти пожары.
В каретном сарае одного дома у Крымского Брода Пьер пробыл еще четыре дня и во время этих дней из разговора французских солдат узнал, что все содержащиеся здесь ожидали с каждым днем решения маршала. Какого маршала, Пьер не мог узнать от солдат. Для солдата, очевидно, маршал представлялся высшим и несколько таинственным звеном власти.
Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х
8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n'avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.
Очевидно, русское гнездо было разорено и уничтожено; но за уничтожением этого русского порядка жизни Пьер бессознательно чувствовал, что над этим разоренным гнездом установился свой, совсем другой, но твердый французский порядок. Он чувствовал это по виду тех, бодро и весело, правильными рядами шедших солдат, которые конвоировали его с другими преступниками; он чувствовал это по виду какого то важного французского чиновника в парной коляске, управляемой солдатом, проехавшего ему навстречу. Он это чувствовал по веселым звукам полковой музыки, доносившимся с левой стороны поля, и в особенности он чувствовал и понимал это по тому списку, который, перекликая пленных, прочел нынче утром приезжавший французский офицер. Пьер был взят одними солдатами, отведен в одно, в другое место с десятками других людей; казалось, они могли бы забыть про него, смешать его с другими. Но нет: ответы его, данные на допросе, вернулись к нему в форме наименования его: celui qui n'avoue pas son nom. И под этим названием, которое страшно было Пьеру, его теперь вели куда то, с несомненной уверенностью, написанною на их лицах, что все остальные пленные и он были те самые, которых нужно, и что их ведут туда, куда нужно. Пьер чувствовал себя ничтожной щепкой, попавшей в колеса неизвестной ему, но правильно действующей машины.
Пьера с другими преступниками привели на правую сторону Девичьего поля, недалеко от монастыря, к большому белому дому с огромным садом. Это был дом князя Щербатова, в котором Пьер часто прежде бывал у хозяина и в котором теперь, как он узнал из разговора солдат, стоял маршал, герцог Экмюльский.
Их подвели к крыльцу и по одному стали вводить в дом. Пьера ввели шестым. Через стеклянную галерею, сени, переднюю, знакомые Пьеру, его ввели в длинный низкий кабинет, у дверей которого стоял адъютант.
Даву сидел на конце комнаты над столом, с очками на носу. Пьер близко подошел к нему. Даву, не поднимая глаз, видимо справлялся с какой то бумагой, лежавшей перед ним. Не поднимая же глаз, он тихо спросил:
– Qui etes vous? [Кто вы такой?]
Пьер молчал оттого, что не в силах был выговорить слова. Даву для Пьера не был просто французский генерал; для Пьера Даву был известный своей жестокостью человек. Глядя на холодное лицо Даву, который, как строгий учитель, соглашался до времени иметь терпение и ждать ответа, Пьер чувствовал, что всякая секунда промедления могла стоить ему жизни; но он не знал, что сказать. Сказать то же, что он говорил на первом допросе, он не решался; открыть свое звание и положение было и опасно и стыдно. Пьер молчал. Но прежде чем Пьер успел на что нибудь решиться, Даву приподнял голову, приподнял очки на лоб, прищурил глаза и пристально посмотрел на Пьера.
– Я знаю этого человека, – мерным, холодным голосом, очевидно рассчитанным для того, чтобы испугать Пьера, сказал он. Холод, пробежавший прежде по спине Пьера, охватил его голову, как тисками.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu… [Вы не могли меня знать, генерал, я никогда не видал вас.]
– C'est un espion russe, [Это русский шпион,] – перебил его Даву, обращаясь к другому генералу, бывшему в комнате и которого не заметил Пьер. И Даву отвернулся. С неожиданным раскатом в голосе Пьер вдруг быстро заговорил.
– Non, Monseigneur, – сказал он, неожиданно вспомнив, что Даву был герцог. – Non, Monseigneur, vous n'avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n'ai pas quitte Moscou. [Нет, ваше высочество… Нет, ваше высочество, вы не могли меня знать. Я офицер милиции, и я не выезжал из Москвы.]
– Votre nom? [Ваше имя?] – повторил Даву.
– Besouhof. [Безухов.]
– Qu'est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Кто мне докажет, что вы не лжете?]
– Monseigneur! [Ваше высочество!] – вскрикнул Пьер не обиженным, но умоляющим голосом.
Даву поднял глаза и пристально посмотрел на Пьера. Несколько секунд они смотрели друг на друга, и этот взгляд спас Пьера. В этом взгляде, помимо всех условий войны и суда, между этими двумя людьми установились человеческие отношения. Оба они в эту одну минуту смутно перечувствовали бесчисленное количество вещей и поняли, что они оба дети человечества, что они братья.
В первом взгляде для Даву, приподнявшего только голову от своего списка, где людские дела и жизнь назывались нумерами, Пьер был только обстоятельство; и, не взяв на совесть дурного поступка, Даву застрелил бы его; но теперь уже он видел в нем человека. Он задумался на мгновение.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Чем вы докажете мне справедливость ваших слов?] – сказал Даву холодно.
Пьер вспомнил Рамбаля и назвал его полк, и фамилию, и улицу, на которой был дом.
– Vous n'etes pas ce que vous dites, [Вы не то, что вы говорите.] – опять сказал Даву.
Пьер дрожащим, прерывающимся голосом стал приводить доказательства справедливости своего показания.
Но в это время вошел адъютант и что то доложил Даву.
Даву вдруг просиял при известии, сообщенном адъютантом, и стал застегиваться. Он, видимо, совсем забыл о Пьере.
Когда адъютант напомнил ему о пленном, он, нахмурившись, кивнул в сторону Пьера и сказал, чтобы его вели. Но куда должны были его вести – Пьер не знал: назад в балаган или на приготовленное место казни, которое, проходя по Девичьему полю, ему показывали товарищи.
Он обернул голову и видел, что адъютант переспрашивал что то.
– Oui, sans doute! [Да, разумеется!] – сказал Даву, но что «да», Пьер не знал.
Пьер не помнил, как, долго ли он шел и куда. Он, в состоянии совершенного бессмыслия и отупления, ничего не видя вокруг себя, передвигал ногами вместе с другими до тех пор, пока все остановились, и он остановился. Одна мысль за все это время была в голове Пьера. Это была мысль о том: кто, кто же, наконец, приговорил его к казни. Это были не те люди, которые допрашивали его в комиссии: из них ни один не хотел и, очевидно, не мог этого сделать. Это был не Даву, который так человечески посмотрел на него. Еще бы одна минута, и Даву понял бы, что они делают дурно, но этой минуте помешал адъютант, который вошел. И адъютант этот, очевидно, не хотел ничего худого, но он мог бы не войти. Кто же это, наконец, казнил, убивал, лишал жизни его – Пьера со всеми его воспоминаниями, стремлениями, надеждами, мыслями? Кто делал это? И Пьер чувствовал, что это был никто.
Это был порядок, склад обстоятельств.
Порядок какой то убивал его – Пьера, лишал его жизни, всего, уничтожал его.


От дома князя Щербатова пленных повели прямо вниз по Девичьему полю, левее Девичьего монастыря и подвели к огороду, на котором стоял столб. За столбом была вырыта большая яма с свежевыкопанной землей, и около ямы и столба полукругом стояла большая толпа народа. Толпа состояла из малого числа русских и большого числа наполеоновских войск вне строя: немцев, итальянцев и французов в разнородных мундирах. Справа и слева столба стояли фронты французских войск в синих мундирах с красными эполетами, в штиблетах и киверах.
Преступников расставили по известному порядку, который был в списке (Пьер стоял шестым), и подвели к столбу. Несколько барабанов вдруг ударили с двух сторон, и Пьер почувствовал, что с этим звуком как будто оторвалась часть его души. Он потерял способность думать и соображать. Он только мог видеть и слышать. И только одно желание было у него – желание, чтобы поскорее сделалось что то страшное, что должно было быть сделано. Пьер оглядывался на своих товарищей и рассматривал их.
Два человека с края были бритые острожные. Один высокий, худой; другой черный, мохнатый, мускулистый, с приплюснутым носом. Третий был дворовый, лет сорока пяти, с седеющими волосами и полным, хорошо откормленным телом. Четвертый был мужик, очень красивый, с окладистой русой бородой и черными глазами. Пятый был фабричный, желтый, худой малый, лет восемнадцати, в халате.
Пьер слышал, что французы совещались, как стрелять – по одному или по два? «По два», – холодно спокойно отвечал старший офицер. Сделалось передвижение в рядах солдат, и заметно было, что все торопились, – и торопились не так, как торопятся, чтобы сделать понятное для всех дело, но так, как торопятся, чтобы окончить необходимое, но неприятное и непостижимое дело.
Чиновник француз в шарфе подошел к правой стороне шеренги преступников в прочел по русски и по французски приговор.
Потом две пары французов подошли к преступникам и взяли, по указанию офицера, двух острожных, стоявших с края. Острожные, подойдя к столбу, остановились и, пока принесли мешки, молча смотрели вокруг себя, как смотрит подбитый зверь на подходящего охотника. Один все крестился, другой чесал спину и делал губами движение, подобное улыбке. Солдаты, торопясь руками, стали завязывать им глаза, надевать мешки и привязывать к столбу.
Двенадцать человек стрелков с ружьями мерным, твердым шагом вышли из за рядов и остановились в восьми шагах от столба. Пьер отвернулся, чтобы не видать того, что будет. Вдруг послышался треск и грохот, показавшиеся Пьеру громче самых страшных ударов грома, и он оглянулся. Был дым, и французы с бледными лицами и дрожащими руками что то делали у ямы. Повели других двух. Так же, такими же глазами и эти двое смотрели на всех, тщетно, одними глазами, молча, прося защиты и, видимо, не понимая и не веря тому, что будет. Они не могли верить, потому что они одни знали, что такое была для них их жизнь, и потому не понимали и не верили, чтобы можно было отнять ее.
Пьер хотел не смотреть и опять отвернулся; но опять как будто ужасный взрыв поразил его слух, и вместе с этими звуками он увидал дым, чью то кровь и бледные испуганные лица французов, опять что то делавших у столба, дрожащими руками толкая друг друга. Пьер, тяжело дыша, оглядывался вокруг себя, как будто спрашивая: что это такое? Тот же вопрос был и во всех взглядах, которые встречались со взглядом Пьера.