Тождество Поллачека — Спитцера

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Формулировка

При <math>|z|<1</math> , <math>Im \lambda \geqslant 0</math> справедливо тождество: <math>\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}Me^{\lambda \overline{S_{n}}}=\exp \mathcal{f} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k} M e^{i\lambda max(0, S_{k})} \mathcal{g}</math>

Пояснения

В формулировке теоремы <math>\mathcal{f} \xi_{k} \mathcal{g}</math> последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим <math>S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}, S_{0}=0</math>, а <math>\overline{S_{n}}=\max (0, \xi_{n}) = \max (0, S_{1}, ..., S_{n})</math>. Тождество связывает характеристическую функцию <math>\overline{S_{n}}</math> с характеристическими функциями <math>\max(0, S_{n})</math>.

Литература

• Боровков, А. А. Курс теории вероятностей. — М. : Наука, 1972. — С. 184.</span>

Математика

Отрывок, характеризующий Тождество Поллачека — Спитцера

Через неделю в Москве уже было пятнадцать тысяч жителей, через две было двадцать пять тысяч и т. д. Все возвышаясь и возвышаясь, число это к осени 1813 года дошло до цифры, превосходящей население 12 го года.
Первые русские люди, которые вступили в Москву, были казаки отряда Винцингероде, мужики из соседних деревень и бежавшие из Москвы и скрывавшиеся в ее окрестностях жители. Вступившие в разоренную Москву русские, застав ее разграбленною, стали тоже грабить. Они продолжали то, что делали французы. Обозы мужиков приезжали в Москву с тем, чтобы увозить по деревням все, что было брошено по разоренным московским домам и улицам. Казаки увозили, что могли, в свои ставки; хозяева домов забирали все то, что они находили и других домах, и переносили к себе под предлогом, что это была их собственность.
Но за первыми грабителями приезжали другие, третьи, и грабеж с каждым днем, по мере увеличения грабителей, становился труднее и труднее и принимал более определенные формы.