Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера:

Теоремы

• Теорема Эйлера (теория чисел) — обобщение малой теоремы Ферма.
• Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси.
• Теорема Эйлера (планиметрия) — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Две теоремы Эйлера, Пентагональная теорема Эйлера (комбинаторика).
• Гипотеза Эйлера (теория чисел) — утверждение, что для любого натурального числа <math>n > 2</math> никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы из <math>(n - 1)</math> натуральных чисел, возведённых в <math>n</math>-ю степень. Опровергнуто.
• Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, ребер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа.
• Теорема Эйлера для однородных функций — утверждение, что дифференцируемая функция <math> f(x_1,x_2,...,x_n) </math> является однородной с порядком однородности <math>q</math>, тогда и только тогда, когда выполнено соотношение Эйлера: <math> \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). </math>

Уравнения

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов, зависящих от неизвестной функции и её производной.
• Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
• Уравнения Эйлера (механика) (механика твёрдого тела) — описывают вращение твердого тела.
• Уравнение Эйлера (гидродинамика) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
• Эйлеровы точки либрации (коллинеарные точки).
• Уравнение Эйлера — Бернулли — описывает равновесие балки.

Функции

• Функция Эйлера <math>\varphi(n)</math> — количество натуральных чисел, не превосходящих <math>n</math> и взаимно простых с ним. <math>\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right),\;\;n>1,</math>

где <math>p</math> — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении <math>n</math> на простые сомножители.

• Функция Эйлера (комплексный анализ) — модулярная функция <math>\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty(1-q^k), \; |q| \le 1</math>. Является классическим примером, показывающим связь между комбинаторикой и комплексным анализом.

Тождества

• Тождество Эйлера в теории чисел
• Тождество Эйлера (комплексный анализ) — частный случай формулы Эйлера, связывающий пять фундаментальных чисел математики.
• Тождество Эйлера (кватернионы), «тождество Эйлера о четырёх квадратах» (алгебра) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
• Тождество Эйлера (алгебра многочленов) — соотношение <math>\sum_{i=1}^{n} x_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i} \equiv k F,</math> которое справедливо для любой алгебраической формы (однородного многочлена) <math> F(x_1,\ldots,x_n)</math> степени <math>k.</math>

Формулы

• Формула Эйлера (комплексный анализ): <math>e^{i x} = \cos x + i \sin x</math>, связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
• Формула Эйлера (дифференциальная геометрия): <math>\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha</math>, где <math>\kappa_e</math> — кривизна нормального сечения поверхности в направлении <math>e</math>, <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> — главные кривизны (с соответствующими главными направлениями <math>e_1</math> и <math>e_2</math>), <math>\alpha</math> — угол между направлениями <math>e</math> и <math>e_1</math>.
• Формула Эйлера (кинематика твёрдого тела): <math>\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB}</math>, связывает скорости двух точек твёрдого тела.
• Формула Эйлера (механика трения качения в витках): <math>F = f e^{k \alpha}</math>, связывает зависимость силы трения от числа оборотов (витков); <math>F</math> — сила, против которой направлено наше усилие <math>f</math> (наприм., подъёмная сила кранов с наматывающимся тросом), <math>e</math> — основание натуральных логарифмов, <math>k</math> — коэффициент трения между верёвкой (тросом, швартовами, талями) и наматывающей поверхностью (цилиндром-сваей, фрикционным колесом, воротом, кабестаном), <math>\alpha</math> — «угол навивания», то есть отношение длины дуги, охваченной верёвкой (числа оборотов), к радиусу этой дуги (см. также радиан).
• Формула Эйлера в геометрии треугольника — то же, что Теорема Эйлера (планиметрия) — формула для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.

• Формула Эйлера в геометрии четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма, длину медианы треугольника.
• Формула Эйлера для суммы первых n членов гармоничного ряда.
• Формула Эйлера в теории графов: <math>|V(G)|-|E(G)|+|F(G)| = 2,</math> связывающая количество вершин, ребер и граней планарного графа.

Интегралы

• Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
• Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
• Интеграл Эйлера — Пуассона (т. н. гауссов интеграл).

Числа

• Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
• e (число) — основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.
• Число Эйлера (физика) — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.
• Числа Эйлера I рода
• Удобное число
• Счастливое число Эйлера
• Целое число Эйлера (Целое число Эйзенштейна)

Прочие математические понятия

• Эйлерова характеристика (алгебраическая топология) — топологический инвариант.
• Углы Эйлера — обобщённые координаты при вращении вокруг неподвижной точки.
• Многочлены Эйлера.
• Преобразование Эйлера — интегральное преобразование.
• Прямая Эйлера (геометрия треугольника) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
• Окружность Эйлера, «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
• Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами.
• Эйлеров путь (теория графов) — путь в графе, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. О связанных понятия: эйлеров цикл, эйлеров граф, полуэйлеров граф см. ту же статью.
• Эйлеров сплайн — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
• Эйлерова сила — в механике, такая сила, которая при сжимании стержня вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
• Подстановки Эйлера — замены переменных, решающие некоторые виды интегралов.

Прочее

• Эйлер — кратер ударного происхождения на видимой части Луны, диаметр 28 км.
• Олимпиада им. Леонарда Эйлера — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8 классов. См. [www.matol.ru Официальный сайт олимпиады им. Эйлера].
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской академии наук.
• Медаль (англ. Euler Medal), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its Applications) за достижения в этой области математики, а также Пермским государственным университетом за заслуги в физико-математическом образовании Пермского края.
• Проект Эйлер — проект в Интернете, объединяющий сотни тысяч любителей математики и программирования.

См. также

• Список объектов, названных в честь Исаака Ньютона
• Список объектов, названных в честь Лагранжа
• Список объектов, названных в честь Лейбница