Тождество параллелограмма

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Тождество параллелограмма — одно из равеств в векторной алгебре и векторном анализе.





В Евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

<math>\ (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.</math>

В пространствах со скалярным произведением

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так:

<math>\ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2</math>

где

<math>\ \|x\|^2=\langle x, x\rangle.</math>

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, <math>\| \cdot \|</math>), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение <math>\langle x, \ y \rangle</math>, поражающее эту норму, то есть такое что <math>\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle</math> всех векторов <math>x</math> пространства <math> V</math>. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану[1][2]. Это можно сделать следующем способом:

  • для действительного пространства
    <math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},</math> или <math>{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2},</math> или <math> {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.</math>
  • для комплексного пространства
    <math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.</math>

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом <math>\ \|x\|^2=\langle x, x\rangle</math>, будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

<math>\ Q(v) = B(v,v)</math>,

тогда

<math>

\begin{array}{l} 4 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u-v), \\ 2 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u) - Q(v), \\ 2 B(u,v) = Q(u) + Q(v) - Q(u-v). \end{array} </math>

Напишите отзыв о статье "Тождество параллелограмма"

Примечания

  1. Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // [books.google.com/books?id=1g2rikccHcgC&pg=PA192 Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods]. — Birkhäuser, 2003. — P. 192. — ISBN 0817642285.
  2. Gerald Teschl. Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann) // [www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators]. — American Mathematical Society Bookstore, 2009. — P. 19. — ISBN 0-8218-4660-4.

Ссылки

  • [www.pm298.ru/reshenie/vektor2.php Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебра] (рус.)

Отрывок, характеризующий Тождество параллелограмма

Когда он приехал домой, уже смеркалось. Человек восемь разных людей побывало у него в этот вечер. Секретарь комитета, полковник его батальона, управляющий, дворецкий и разные просители. У всех были дела до Пьера, которые он должен был разрешить. Пьер ничего не понимал, не интересовался этими делами и давал на все вопросы только такие ответы, которые бы освободили его от этих людей. Наконец, оставшись один, он распечатал и прочел письмо жены.
«Они – солдаты на батарее, князь Андрей убит… старик… Простота есть покорность богу. Страдать надо… значение всего… сопрягать надо… жена идет замуж… Забыть и понять надо…» И он, подойдя к постели, не раздеваясь повалился на нее и тотчас же заснул.
Когда он проснулся на другой день утром, дворецкий пришел доложить, что от графа Растопчина пришел нарочно посланный полицейский чиновник – узнать, уехал ли или уезжает ли граф Безухов.
Человек десять разных людей, имеющих дело до Пьера, ждали его в гостиной. Пьер поспешно оделся, и, вместо того чтобы идти к тем, которые ожидали его, он пошел на заднее крыльцо и оттуда вышел в ворота.
С тех пор и до конца московского разорения никто из домашних Безуховых, несмотря на все поиски, не видал больше Пьера и не знал, где он находился.


Ростовы до 1 го сентября, то есть до кануна вступления неприятеля в Москву, оставались в городе.
После поступления Пети в полк казаков Оболенского и отъезда его в Белую Церковь, где формировался этот полк, на графиню нашел страх. Мысль о том, что оба ее сына находятся на войне, что оба они ушли из под ее крыла, что нынче или завтра каждый из них, а может быть, и оба вместе, как три сына одной ее знакомой, могут быть убиты, в первый раз теперь, в это лето, с жестокой ясностью пришла ей в голову. Она пыталась вытребовать к себе Николая, хотела сама ехать к Пете, определить его куда нибудь в Петербурге, но и то и другое оказывалось невозможным. Петя не мог быть возвращен иначе, как вместе с полком или посредством перевода в другой действующий полк. Николай находился где то в армии и после своего последнего письма, в котором подробно описывал свою встречу с княжной Марьей, не давал о себе слуха. Графиня не спала ночей и, когда засыпала, видела во сне убитых сыновей. После многих советов и переговоров граф придумал наконец средство для успокоения графини. Он перевел Петю из полка Оболенского в полк Безухова, который формировался под Москвою. Хотя Петя и оставался в военной службе, но при этом переводе графиня имела утешенье видеть хотя одного сына у себя под крылышком и надеялась устроить своего Петю так, чтобы больше не выпускать его и записывать всегда в такие места службы, где бы он никак не мог попасть в сражение. Пока один Nicolas был в опасности, графине казалось (и она даже каялась в этом), что она любит старшего больше всех остальных детей; но когда меньшой, шалун, дурно учившийся, все ломавший в доме и всем надоевший Петя, этот курносый Петя, с своими веселыми черными глазами, свежим румянцем и чуть пробивающимся пушком на щеках, попал туда, к этим большим, страшным, жестоким мужчинам, которые там что то сражаются и что то в этом находят радостного, – тогда матери показалось, что его то она любила больше, гораздо больше всех своих детей. Чем ближе подходило то время, когда должен был вернуться в Москву ожидаемый Петя, тем более увеличивалось беспокойство графини. Она думала уже, что никогда не дождется этого счастия. Присутствие не только Сони, но и любимой Наташи, даже мужа, раздражало графиню. «Что мне за дело до них, мне никого не нужно, кроме Пети!» – думала она.