Томография

Томогра́фия (др.-греч. τομή — сечение) — получение послойного изображения внутренней структуры объекта.

Виды томографии

Анатомическая томография

Анатомическая, или разрушающая томография (биотомия) основана на физическом выполнении срезов исследуемого организма с их последующей фиксацией с помощью химических веществ. Классическими примерами анатомической томографии являются пироговские срезы и изображения гистологических препаратов. Для сохранения формы организма при выполнении срезов организм фиксируется, например, путём замораживания.

Реконструктивная томография

Реконструктивная, или неразрушающая томография — получение тем или иным способом информации о распределении интересующего параметра в объекте большей размерности по его проекциям меньшей размерности без разрушения объекта; антоним анатомической томографии. В объём понятия входят аналоговая реконструктивная томография и вычислительная (компьютерная) томография.

Аналоговая реконструктивная томография — реконструктивная томография, использующая для восстановления распределения параметра объекта не цифровые, а аналоговые вычислительные устройства (например, оптические).

Метод был предложен для рентгенологического исследования французским врачом Бокажем и реализован в виде аппарата (названного «томографом») итальянским инженером Валлебоной (и, примерно в то же время, инженерами из других стран) в 20-х— начале 30-х годах ХХ в., и был основан на перемещении двух из трёх компонентов рентгенографии (рентгеновская трубка, рентгеновская плёнка, объект исследования). Томограф позволял получить один снимок — изображение слоя, лежащего на выбранной глубине исследуемого объекта. Наибольшее распространение получил метод съёмки, при котором исследуемый объект оставался неподвижным, а рентгеновская трубка и кассета с плёнкой согласованно перемещались в противоположных направлениях. При синхронном движении трубки и кассеты четким на пленке получается только необходимый слой, потому что только его вклад в общую тень остаётся неподвижным относительно плёнки, всё остальное смазывается, почти не мешая проводить анализ полученного изображения. Метод получил название классическая томография или линейная томография. В настоящее время доля последнего метода в исследованиях в мире уменьшается в связи со своей относительно малой информативностью.

В медицине при диагностике заболеваний зубочелюстной системы широко используется панорамная томография. За счёт движения излучателя и кассеты с рентгеновской плёнкой по специальным траекториям выделяется изображение в форме цилиндрической поверхности. Это позволяет получить снимок с изображением всех зубов пациента.

См. также Интроскопия, Линейная томография, Томосинтез.

Вычислительная томография — область математики, занимающаяся разработкой математических методов и алгоритмов реконструкции внутренней структуры объекта по проекционным данным — цифровым снимкам объекта, сделанным посредством многократного просвечивания этого объекта в различных пересекающихся направлениях. Внутренняя структура, как правило, представляется в воксельной форме. Получение массива вокселей по массиву проекционных снимков называется прямой томографической задачей. К области вычислительной томографии также относится и решение обратной томографической задачи — формирование произвольного проекционного вида на основании известной внутренней структуры.

Вычислительная томография является теоретической основой компьютерной томографии — метода получения послойных изображений объекта в трёх плоскостях с возможностью их трёхмерной реконструкции. Чаще всего под компьютерной томографией подразумевается рентгеновская компьютерная томография.

См. также преобразование Радона и экспоненциальное преобразование Радона.

История томографии

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

• До ХХ в. математики Фредгольм и Абель исследуют свойства семейства интегральных уравнений, позже ставших основой томографии.
• В 1895 г. В. К. Рентген открывает проникающие «Х-лучи», позже названные его именем — «рентгеновские».
• В 1905 г. Я. Ван-Циттерт осуществил томографическое измерение распределение яркости далёкой звезды по радиусу как численное обратное преобразование Абеля.
• В 1917 году австрийский математик Иоганн Радон предложил способ обращения интегрального преобразования, впоследствии получившего его имя (см. преобразование Радона), благодаря которому стало возможно восстанавливать изначальную функцию, зная её преобразование. Однако в то время работа Радона не попала в поле зрения исследователей и вскоре была незаслуженно забыта современниками.
• В 20-х гг. ХХ в. французский врач Бокаж изобрёл и запатентовал томографический механический сканер, который должен был оставлять на рентгенограмме неразмытым только заданный слой тела пациента. Это называлось «рентгеновская планиграфия», а также «биотомия», а позже было названо «классическая томография».
• В 1930 г. итальянский инженер А. Валлебона реализовал идею сканера, предложенную Бокажем, на практике.
• В 1934 г. В. И. Феоктистов создал первый в СССР действующий рентгеновский томограф.
• В 1937 г. польский математик Качмаж опубликовал алгоритм, который впоследствии был использован Кормаком и Хаунсфилдом без ссылки на автора.
• В 1937 г. И. Раби открыл новое явление — ядерный магнитный резонанс (ЯМР) в изолированном ядре.
• В 1938 г. А. Ощепков изобрёл СВЧ-интроскопию.
• В 1941 г. А. Н. Тихонов изобрёл метод регуляризации, сделавший возможным реконструкцию при неточных проекциях.
• 1941—1945 гг. Рентгеновские, гамма- и нейтронные интроскопы с вычислительной томографической обработкой по Тихонову осуществлены в СССР для задач дефектоскопии в авиационной и пушечной отраслях промышленности, а к концу войны — и для контроля объёмного распределения процессов в ядерных реакторах.
• В 1944 г. Е. К. Завойский открыл новое явление — электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).
• В 1946 г. Ф. Блох и Э. Парселл повторили открытие И. Раби в конденсированных средах.
• В 1953 г. И. А. Бочек изобрёл стохастическую версию алгоритма Качмажа, избавившую реконструкции от регулярных артефактов и значительно увеличивший качество изображений.
• В 1953 г. советский математик Вайнштейн доказал теорему о связи минимального достаточного количества проекций с группой симметрии объекта, резко упростившую томографию.
• В 1960 г. В. А. Иванов изобрёл ЯМР-томографию (внутривидение на основе ядерного магнитного резонанса).
• В 1963 году американский физик А. Кормак повторно (но отличным от Радона способом) решил задачу томографического восстановления, а в 1969 году английский инженер-физик Г. Хаунсфилд из фирмы EMI Ltd. сконструировал «ЭМИ-сканер» (EMI-scanner) — первый компьютерный рентгеновский томограф, чьи клинические испытания прошли в 1972 году. В 1979 году Кормак и Хаунсфилд «за разработку компьютерной томографии» были удостоены Нобелевской премии по физиологии и медицине.
• А в 2003 за изобретение метода магнитно-резонансной томографии, на основе открытия Реймонда Дамадьяна, Нобелевскую премию по физиологии и медицине получили Питер Мэнсфилд и Пол Лотербур.
• В 1991 г. в одном из крупнейших медицинских учреждений России НЦПЗ РАМН был установлен 1-й отечественный МР-томограф «Образ-1», произведенный [www.mrtom.ru Научно Производственной Фирмой «Аз»] организованной в 1988 году как инновационное предприятие в области разработки и производства отечественных магнитно-резонансных томографов, до сих пор успешно эксплуатируется.
• В 2010 году создана так называемая четырёхмерная электронная томография — техника визуализирования динамики трёхмерных объектов во времени. Эта техника позволяет наблюдать за пространственно-временными характеристиками микрообъектов.

Классификация видов томографии

Взаиморасположение источника зондирующего излучения, объекта и детектора

С точки зрения взаиморасположения источника зондирующего излучения, объекта и детектора томографические методы могут быть разделены на следующие группы:

• трансмиссионные — регистрируется зондирующее внешнее излучение, прошедшее через пассивный (неизлучающий) объект, частично ослабляясь при этом (тень от объекта);
• эмиссионные — регистрируется излучение, выходящее из активного (излучающего) объекта с некоторым пространственным распределением источников излучения;
• комбинированные трансмиссионно-эмиссионные (люминесцентные, акустооптические и оптоакустические и др.) — регистрируется вторичное излучение от источников, распределённых по объёму объекта и возбуждённых внешним излучением;
• эхозондирование — регистрируется зондирующее внешнее излучение, отражённое от внутренних структур пассивного объекта.

Размеры исследуемых объектов

• Микроуровень (микротомография) — исследуются объекты размером с отдельную клетку.
• Уровень объектов, соизмеримых с человеческим телом (от отдельного органа или лабораторной мыши до самолёта).
• Макроуровень — атмосферные явления (облака, циклоны, торнадо), планеты и звёзды.

Сфера применения

По сфере применения выделяют:

• медицинскую томографию (как вид медицинской визуализации и медицинской диагностики);
• промышленную (техническую) томографию (как вид дефектоскопии);
• томографию макрообъектов.

Зондирующее излучение

• Томография с использованием звуковых волн (в том числе сейсмических):
  • ультразвуковая томография (УЗТ);
  • сейсмическая томография.
• Томография с использованием электромагнитного излучения:
  • радионуклидная эмиссионная томография (гамма-излучение);
    • однофотонная эмиссионная томография (ОФЭКТ);
    • двухфотонная эмиссионная или позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ);
  • рентгеновская томография;
    • рентгеновская компьютерная томография (КТ, РКТ);
  • оптическая (лазерная) томография (ОТ);
  • томография в радиодиапазоне.
• Томография с использованием электромагнитных полей:
  • магнитно-резонансная томография (МРТ);
  • электро-импедансная томография.
• Томография с использованием элементарных частиц:
  • нейтронная томография;
  • электронная и позитронная томография;
  • протонная томография;
  • нейтринная томография.

Томографические алгоритмы

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Известны несколько тысяч алгоритмов, применяемых для задач вычислительной (реконструктивной) томографии. Их можно объединить в несколько больших основных групп.

Со времён Абеля, Радона, Вайнштейна применялись алгоритмы аналитического обратного преобразования. Математической особенностью этих задач является то, что они принадлежат классу некорректно по Адамару поставленных задач, как правило, родственных интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А. Н. Тихонова, развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Тананой и многими др.

Для осесимметричных систем применяют непосредственно обратное преобразование Абеля. Его дискретная версия впервые была применена Ван-Циттертом для задачи разрешения сверх предела Рэлея.

Для 2-мерных систем, описываемых двумя разделяющимися переменными, применяют элементарное преобразование Агравала и Содха. Для систем с известной группой симметрии теорема Вайнштейна указывает наименьшее число проекций, достаточных для точной реконструкции системы.

С 40-х годов (Тихонов и др.) томографические задачи для 2- и 3-мерных объектов поддаются решению численными методами. Численная дискретная модель системы интегральных уравнений сводится, в конечном итоге, как правило, к особенной (недоопределённой либо, напротив, переопределённой и несовместной) системе линейных уравнений большого размера, причём с размерностью от 3-х и 4-х (для 2-мерной томографии) до 5- и 6-мерной (для 3-мерной томографии). В экспериментальной ядерной физике и физике пучков заряженных частиц известна 4-мерная томография (Sandia Nat.Lab., Broockhaiwen Nat.Lab., CERN, Исследовательский центр им. М. В. Келдыша, МФТИ и др.).

Таким образом, решение таких систем классическими «точными» методами (Гаусса-Жордана и т. п.) нереально вследствие кубически по числу элементов объекта =N^M, где N — характерный линейный размер объекта, M — размерность, больших вычислительных затрат (что доказано теоремой Клюева — Коковкина — Щербака). Например, для 2-мерных задач порядка 100х100 потребуется порядка 1 трлн операций с накоплением погрешностей округления, а для 3-мерных 100х100х100 — порядка 10¹⁸ операций, что соответствует времени порядка 1 часа счёта на рекордных современных в мире многопетафлопных супер-ЭВМ. Итак, класс 1 вычислительно неудовлетворителен.

Для их решения применяют 3 иных класса алгоритмов.

Класс 2. Безытерационное обратное преобразование разложения проекций по ортогональным функциям (Фурье, Чебышёва, Котельникова, Хартли, Уолша, Радемахера и др.).

Класс 3. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными методами многомерного поиска — спуска, Монте-Карло и др.

Класс 4. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными проекционными алгоритмами. Все проекционные алгоритмы базируются на теореме математика Банаха (г. Львов) о сжимающих отображениях. Важным их достоинством является гарантированная и устойчивая сходимость итераций. Ещё более важным их достоинством для многомерной томографии является радикально более низкая вычислительная трудоёмкость — квадратичная по N**M. Для вышеуказанных параметров объекта в 2-мерном случае это пропорционально 100 млн операций и числу итераций, то есть порядка 1 часа счёта на рядовой современной ПЭВМ (для итераций первого порядка) и порядка 1 сек. для итераций второго порядка. В 3-мерном случае (100х100х100) это пропорционально 1 трлн операций и числу итераций, то есть порядка 1 сек. (если первого порядка) или порядка 1 миллисекунды (если второго порядка) на супер-ЭВМ.

Первые технические и биологические вычислительные интроскопы-томографы в СССР (40-е — 50-е гг.) и первые медицинские вычислительные томографы в США (70-е гг.) фактически использовали ряд версий метода польского математика Качмажа (1937 г.), в том числе советского математика И. А. Бочека (1953 г., МФТИ). Так, награждённые Нобелевской премией Кормак и Хаунсфилд использованный ими алгоритм Качмажа (обеспечивающий достижение точки наименьших квадратов) называли ART (1973 г.), алгоритм советского математика Тараско (обеспечивающий достижение точки максимума правдоподобия, 60-е гг., ФЭИ, г. Обнинск) они назвали MART, также они использовали алгоритм японского математика Куино Танабе (1972 г.), являющийся релаксационной и сверхрелаксационной версией алгоритма Качмажа. Часто используется алгоритм Фридена (обеспечивающий достижение точки максимума энтропии). Стохастические методы перебора уравнений в проекциях (первым из таких была стохастическая версия алгоритма И. А. Бочека, опубликованная в 1971 г.) позволяют избежать регулярных артефактов и значительно улучшить качество изображения.

Если для схем сканирования «тонкими лучами» система уравнений сравнительно хорошо обусловлена (следовательно, результат реконструкции мало чувствителен к неизбежным погрешностям измерений проекций), то для сканирования «толстыми лучами» (что характерно для задач ЯМР-томографии, УЗИ, ПЭТ, СВЧ-интроскопии Ощепкова, электротоковой томографии, система уравнений оказывается очень плохо обусловленной. Это приводит к резкому замедлению приближения итераций вышеупомянутых проекционных методов к решению. Для решения таких систем используют методы А. В. Горшкова (МФТИ) и С. Елсакова (ЮУрГУ), отличающиеся нечувствительностью к плохой обусловленности решаемых систем уравнений, а также, за счёт необходимого стохастического перебора уравнений в них, отсутствием регулярных артефактов, и, наконец, скоростью сходимости (в практических задачах) на 2-3 порядка большей, чем указанные ранее.

Для нелинейных уравнений и томографии объектов большой размерности (3-мерной в медицине, науке и технике, 4-, 5-, 6-мерной в ядерной физике и физике плазмы и пучков заряженных частиц, в ускорительной технике) эффективным методом решения являются варианты метода Монте-Карло в метрических пространствах большой размерности.

Алгоритм советского и российского математика А. А. Абрамова (МФТИ) одновременных сжимающих итерации к решению и итерации к ортогонализации обеспечивает гарантию устойчивой сходимости к решению и заодно весьма точную оценку погрешности и скорости реконструкции. Укажем, что в плохо обусловленных системах в качестве его элементарных итераций рекомендуются не итерации первого порядка (Качмажа-Бочека, Тараско, Фридена и т. п.), а второго порядка (Горшкова, Елсакова и др.), или даже (в случае необходимости, пока не встреченной в практических задачах) итерации 3-го или большего порядков.

Заметим, что не следует без необходимости использовать итерации слишком высоких порядков, так как вычислительные затраты на них при неограниченном увеличении порядка итерации стремятся к кубическим (по N**M) (как у прямого обращения Гаусса-Жордана).

Для решения вычислительных задач синфазных УЗ-, СВЧ-, СБММ- и электропотенциальной томографии используют алгоритм академика Лаврентьева.

Литература

• [www.slaney.org/pct/index.html A. C. Kak, M. Slaney Principles of Computerized Tomographic imaging. (IEEE Press, NY 1988)]
• [www.cis.rit.edu/htbooks/mri/inside-r.htm Хорнак Дж. П. Основы МРТ (1996—1999)]
• [nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/cormack-lecture.html Cormack A.M. Early two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it] // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — p. 551—563
• [nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/hounsfield-lecture.html Hounsfield G.N. Computed Medical Imaging] // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — p. 568—586
• [nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/2003/lauterbur-lecture.html Lauterbur P.C. All science is interdisciplinary — from magnetic moments to molecules to men] // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — p. 245—251
• [nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/2003/mansfield-lecture.html Mansfield P. Snap-shot MRI] // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — p. 266—283
• [www.ufn.ru/ufn05/ufn05_10/Russian/nob0510c.pdf Мэнсфилд П. Быстрая магнитно-резонансная томография] // Успехи физических наук, 2005, т. 175, № 10, с. 1044—1052 (перевод на русский)
• [www.lib.vsu.ru/elib/texts/method/vsu/sep06184.pdf Дьячкова С. Я., Николаевский В. А. Рентгеноконтрастные средства. — Воронеж, 2006.]
• Важенин А. В., Ваганов Н. В. Медицинско-физическое обеспечение лучевой терапии. — Челябинск, 2007.
• Левин Г. Г., Вишняков Г. Н. Оптическая томография. — М.: Радио и связь, 1989. — 224 с.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 160 с.
• Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 232 с.
• Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М.: Мир, 1990. — 288 с.
• Васильев М. Н., Горшков А. В. Аппаратно-программный комплекс GEMMA и томографический метод измерения многомерных функций распределения в траекторном и фазовом пространствах при диагностике пучков заряженных частиц. // Приборы и техника эксперимента. — 1994. № 5. — С.79-94. // Перевод на англ.: Instruments and Experimental Techniques. — V.37. № 5. Part 1. 1994. -P.581-591.
• Горшков А. В. Пакет программ REIMAGE для существенного улучшения разрешения изображений при обработке данных физического эксперимента и метод нахождения неизвестной аппаратной функции. 26.01.94. // Приборы и техника эксперимента. — 1995. № 2. — С.68-78. // Перевод на англ.: Instruments and Experimental Techniques. — V.38. № 2. 1995. — P.185-191.
• Москалёв И. Н., Стефановский А. М. Диагностика плазмы с помощью открытых цилиндрических резонаторов. — М.: Энергоатомиздат, 1985.
• Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. — М.: Мир, 1983. — 352 с.
• [www.rmj.ru/articles_1134.htm Горелова Л. Е. Нобелевская премия. Нобель, Мечников, Рентген.] // Сайт ММА им. И. М. Сеченова.
• Вайнберг Э. И., Клюев В. В., Курозаев В. П., Промышленная рентгеновская вычислительная томография, в кн.: Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий. Справочник, под ред. В. В. Клюева, 2 изд., т. 1, M., 1986

Ссылки

• [itam.nsc.ru/lab17/WIN/r8-main.php Группа Вычислительной томографии], Институт теоретической и прикладной механики Сибирского отделения РАН

Отрывок, характеризующий Томография

Пьер молчал.
– Peut etre plus tard je vous dirai, mon cher, que si je n'avais pas ete la, Dieu sait ce qui serait arrive. Vous savez, mon oncle avant hier encore me promettait de ne pas oublier Boris. Mais il n'a pas eu le temps. J'espere, mon cher ami, que vous remplirez le desir de votre pere. [После я, может быть, расскажу вам, что если б я не была там, то Бог знает, что бы случилось. Вы знаете, что дядюшка третьего дня обещал мне не забыть Бориса, но не успел. Надеюсь, мой друг, вы исполните желание отца.]
Пьер, ничего не понимая и молча, застенчиво краснея, смотрел на княгиню Анну Михайловну. Переговорив с Пьером, Анна Михайловна уехала к Ростовым и легла спать. Проснувшись утром, она рассказывала Ростовым и всем знакомым подробности смерти графа Безухого. Она говорила, что граф умер так, как и она желала бы умереть, что конец его был не только трогателен, но и назидателен; последнее же свидание отца с сыном было до того трогательно, что она не могла вспомнить его без слез, и что она не знает, – кто лучше вел себя в эти страшные минуты: отец ли, который так всё и всех вспомнил в последние минуты и такие трогательные слова сказал сыну, или Пьер, на которого жалко было смотреть, как он был убит и как, несмотря на это, старался скрыть свою печаль, чтобы не огорчить умирающего отца. «C'est penible, mais cela fait du bien; ca eleve l'ame de voir des hommes, comme le vieux comte et son digne fils», [Это тяжело, но это спасительно; душа возвышается, когда видишь таких людей, как старый граф и его достойный сын,] говорила она. О поступках княжны и князя Василья она, не одобряя их, тоже рассказывала, но под большим секретом и шопотом.


В Лысых Горах, имении князя Николая Андреевича Болконского, ожидали с каждым днем приезда молодого князя Андрея с княгиней; но ожидание не нарушало стройного порядка, по которому шла жизнь в доме старого князя. Генерал аншеф князь Николай Андреевич, по прозванию в обществе le roi de Prusse, [король прусский,] с того времени, как при Павле был сослан в деревню, жил безвыездно в своих Лысых Горах с дочерью, княжною Марьей, и при ней компаньонкой, m lle Bourienne. [мадмуазель Бурьен.] И в новое царствование, хотя ему и был разрешен въезд в столицы, он также продолжал безвыездно жить в деревне, говоря, что ежели кому его нужно, то тот и от Москвы полтораста верст доедет до Лысых Гор, а что ему никого и ничего не нужно. Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развивать в ней обе главные добродетели, до двадцати лет давал ей уроки алгебры и геометрии и распределял всю ее жизнь в беспрерывных занятиях. Сам он постоянно был занят то писанием своих мемуаров, то выкладками из высшей математики, то точением табакерок на станке, то работой в саду и наблюдением над постройками, которые не прекращались в его имении. Так как главное условие для деятельности есть порядок, то и порядок в его образе жизни был доведен до последней степени точности. Его выходы к столу совершались при одних и тех же неизменных условиях, и не только в один и тот же час, но и минуту. С людьми, окружавшими его, от дочери до слуг, князь был резок и неизменно требователен, и потому, не быв жестоким, он возбуждал к себе страх и почтительность, каких не легко мог бы добиться самый жестокий человек. Несмотря на то, что он был в отставке и не имел теперь никакого значения в государственных делах, каждый начальник той губернии, где было имение князя, считал своим долгом являться к нему и точно так же, как архитектор, садовник или княжна Марья, дожидался назначенного часа выхода князя в высокой официантской. И каждый в этой официантской испытывал то же чувство почтительности и даже страха, в то время как отворялась громадно высокая дверь кабинета и показывалась в напудренном парике невысокая фигурка старика, с маленькими сухими ручками и серыми висячими бровями, иногда, как он насупливался, застилавшими блеск умных и точно молодых блестящих глаз.
В день приезда молодых, утром, по обыкновению, княжна Марья в урочный час входила для утреннего приветствия в официантскую и со страхом крестилась и читала внутренно молитву. Каждый день она входила и каждый день молилась о том, чтобы это ежедневное свидание сошло благополучно.
Сидевший в официантской пудреный старик слуга тихим движением встал и шопотом доложил: «Пожалуйте».
Из за двери слышались равномерные звуки станка. Княжна робко потянула за легко и плавно отворяющуюся дверь и остановилась у входа. Князь работал за станком и, оглянувшись, продолжал свое дело.
Огромный кабинет был наполнен вещами, очевидно, беспрестанно употребляемыми. Большой стол, на котором лежали книги и планы, высокие стеклянные шкафы библиотеки с ключами в дверцах, высокий стол для писания в стоячем положении, на котором лежала открытая тетрадь, токарный станок, с разложенными инструментами и с рассыпанными кругом стружками, – всё выказывало постоянную, разнообразную и порядочную деятельность. По движениям небольшой ноги, обутой в татарский, шитый серебром, сапожок, по твердому налеганию жилистой, сухощавой руки видна была в князе еще упорная и много выдерживающая сила свежей старости. Сделав несколько кругов, он снял ногу с педали станка, обтер стамеску, кинул ее в кожаный карман, приделанный к станку, и, подойдя к столу, подозвал дочь. Он никогда не благословлял своих детей и только, подставив ей щетинистую, еще небритую нынче щеку, сказал, строго и вместе с тем внимательно нежно оглядев ее:
– Здорова?… ну, так садись!
Он взял тетрадь геометрии, писанную его рукой, и подвинул ногой свое кресло.
– На завтра! – сказал он, быстро отыскивая страницу и от параграфа до другого отмечая жестким ногтем.
Княжна пригнулась к столу над тетрадью.
– Постой, письмо тебе, – вдруг сказал старик, доставая из приделанного над столом кармана конверт, надписанный женскою рукой, и кидая его на стол.
Лицо княжны покрылось красными пятнами при виде письма. Она торопливо взяла его и пригнулась к нему.
– От Элоизы? – спросил князь, холодною улыбкой выказывая еще крепкие и желтоватые зубы.
– Да, от Жюли, – сказала княжна, робко взглядывая и робко улыбаясь.
– Еще два письма пропущу, а третье прочту, – строго сказал князь, – боюсь, много вздору пишете. Третье прочту.
– Прочтите хоть это, mon pere, [батюшка,] – отвечала княжна, краснея еще более и подавая ему письмо.
– Третье, я сказал, третье, – коротко крикнул князь, отталкивая письмо, и, облокотившись на стол, пододвинул тетрадь с чертежами геометрии.
– Ну, сударыня, – начал старик, пригнувшись близко к дочери над тетрадью и положив одну руку на спинку кресла, на котором сидела княжна, так что княжна чувствовала себя со всех сторон окруженною тем табачным и старчески едким запахом отца, который она так давно знала. – Ну, сударыня, треугольники эти подобны; изволишь видеть, угол abc…
Княжна испуганно взглядывала на близко от нее блестящие глаза отца; красные пятна переливались по ее лицу, и видно было, что она ничего не понимает и так боится, что страх помешает ей понять все дальнейшие толкования отца, как бы ясны они ни были. Виноват ли был учитель или виновата была ученица, но каждый день повторялось одно и то же: у княжны мутилось в глазах, она ничего не видела, не слышала, только чувствовала близко подле себя сухое лицо строгого отца, чувствовала его дыхание и запах и только думала о том, как бы ей уйти поскорее из кабинета и у себя на просторе понять задачу.
Старик выходил из себя: с грохотом отодвигал и придвигал кресло, на котором сам сидел, делал усилия над собой, чтобы не разгорячиться, и почти всякий раз горячился, бранился, а иногда швырял тетрадью.
Княжна ошиблась ответом.
– Ну, как же не дура! – крикнул князь, оттолкнув тетрадь и быстро отвернувшись, но тотчас же встал, прошелся, дотронулся руками до волос княжны и снова сел.
Он придвинулся и продолжал толкование.
– Нельзя, княжна, нельзя, – сказал он, когда княжна, взяв и закрыв тетрадь с заданными уроками, уже готовилась уходить, – математика великое дело, моя сударыня. А чтобы ты была похожа на наших глупых барынь, я не хочу. Стерпится слюбится. – Он потрепал ее рукой по щеке. – Дурь из головы выскочит.
Она хотела выйти, он остановил ее жестом и достал с высокого стола новую неразрезанную книгу.
– Вот еще какой то Ключ таинства тебе твоя Элоиза посылает. Религиозная. А я ни в чью веру не вмешиваюсь… Просмотрел. Возьми. Ну, ступай, ступай!
Он потрепал ее по плечу и сам запер за нею дверь.
Княжна Марья возвратилась в свою комнату с грустным, испуганным выражением, которое редко покидало ее и делало ее некрасивое, болезненное лицо еще более некрасивым, села за свой письменный стол, уставленный миниатюрными портретами и заваленный тетрадями и книгами. Княжна была столь же беспорядочная, как отец ее порядочен. Она положила тетрадь геометрии и нетерпеливо распечатала письмо. Письмо было от ближайшего с детства друга княжны; друг этот была та самая Жюли Карагина, которая была на именинах у Ростовых:
Жюли писала:
«Chere et excellente amie, quelle chose terrible et effrayante que l'absence! J'ai beau me dire que la moitie de mon existence et de mon bonheur est en vous, que malgre la distance qui nous separe, nos coeurs sont unis par des liens indissolubles; le mien se revolte contre la destinee, et je ne puis, malgre les plaisirs et les distractions qui m'entourent, vaincre une certaine tristesse cachee que je ressens au fond du coeur depuis notre separation. Pourquoi ne sommes nous pas reunies, comme cet ete dans votre grand cabinet sur le canape bleu, le canape a confidences? Pourquoi ne puis je, comme il y a trois mois, puiser de nouvelles forces morales dans votre regard si doux, si calme et si penetrant, regard que j'aimais tant et que je crois voir devant moi, quand je vous ecris».
[Милый и бесценный друг, какая страшная и ужасная вещь разлука! Сколько ни твержу себе, что половина моего существования и моего счастия в вас, что, несмотря на расстояние, которое нас разлучает, сердца наши соединены неразрывными узами, мое сердце возмущается против судьбы, и, несмотря на удовольствия и рассеяния, которые меня окружают, я не могу подавить некоторую скрытую грусть, которую испытываю в глубине сердца со времени нашей разлуки. Отчего мы не вместе, как в прошлое лето, в вашем большом кабинете, на голубом диване, на диване «признаний»? Отчего я не могу, как три месяца тому назад, почерпать новые нравственные силы в вашем взгляде, кротком, спокойном и проницательном, который я так любила и который я вижу перед собой в ту минуту, как пишу вам?]
Прочтя до этого места, княжна Марья вздохнула и оглянулась в трюмо, которое стояло направо от нее. Зеркало отразило некрасивое слабое тело и худое лицо. Глаза, всегда грустные, теперь особенно безнадежно смотрели на себя в зеркало. «Она мне льстит», подумала княжна, отвернулась и продолжала читать. Жюли, однако, не льстила своему другу: действительно, и глаза княжны, большие, глубокие и лучистые (как будто лучи теплого света иногда снопами выходили из них), были так хороши, что очень часто, несмотря на некрасивость всего лица, глаза эти делались привлекательнее красоты. Но княжна никогда не видала хорошего выражения своих глаз, того выражения, которое они принимали в те минуты, когда она не думала о себе. Как и у всех людей, лицо ее принимало натянуто неестественное, дурное выражение, как скоро она смотрелась в зеркало. Она продолжала читать: 211
«Tout Moscou ne parle que guerre. L'un de mes deux freres est deja a l'etranger, l'autre est avec la garde, qui se met en Marieche vers la frontiere. Notre cher еmpereur a quitte Petersbourg et, a ce qu'on pretend, compte lui meme exposer sa precieuse existence aux chances de la guerre. Du veuille que le monstre corsicain, qui detruit le repos de l'Europe, soit terrasse par l'ange que le Tout Рuissant, dans Sa misericorde, nous a donnee pour souverain. Sans parler de mes freres, cette guerre m'a privee d'une relation des plus cheres a mon coeur. Je parle du jeune Nicolas Rostoff, qui avec son enthousiasme n'a pu supporter l'inaction et a quitte l'universite pour aller s'enroler dans l'armee. Eh bien, chere Marieie, je vous avouerai, que, malgre son extreme jeunesse, son depart pour l'armee a ete un grand chagrin pour moi. Le jeune homme, dont je vous parlais cet ete, a tant de noblesse, de veritable jeunesse qu'on rencontre si rarement dans le siecle оu nous vivons parmi nos villards de vingt ans. Il a surtout tant de franchise et de coeur. Il est tellement pur et poetique, que mes relations avec lui, quelque passageres qu'elles fussent, ont ete l'une des plus douees jouissances de mon pauvre coeur, qui a deja tant souffert. Je vous raconterai un jour nos adieux et tout ce qui s'est dit en partant. Tout cela est encore trop frais. Ah! chere amie, vous etes heureuse de ne pas connaitre ces jouissances et ces peines si poignantes. Vous etes heureuse, puisque les derienieres sont ordinairement les plus fortes! Je sais fort bien, que le comte Nicolas est trop jeune pour pouvoir jamais devenir pour moi quelque chose de plus qu'un ami, mais cette douee amitie, ces relations si poetiques et si pures ont ete un besoin pour mon coeur. Mais n'en parlons plus. La grande nouvelle du jour qui occupe tout Moscou est la mort du vieux comte Безухой et son heritage. Figurez vous que les trois princesses n'ont recu que tres peu de chose, le prince Basile rien, est que c'est M. Pierre qui a tout herite, et qui par dessus le Marieche a ete reconnu pour fils legitime, par consequent comte Безухой est possesseur de la plus belle fortune de la Russie. On pretend que le prince Basile a joue un tres vilain role dans toute cette histoire et qu'il est reparti tout penaud pour Petersbourg.
«Je vous avoue, que je comprends tres peu toutes ces affaires de legs et de testament; ce que je sais, c'est que depuis que le jeune homme que nous connaissions tous sous le nom de M. Pierre les tout court est devenu comte Безухой et possesseur de l'une des plus grandes fortunes de la Russie, je m'amuse fort a observer les changements de ton et des manieres des mamans accablees de filles a Marieier et des demoiselles elles memes a l'egard de cet individu, qui, par parenthese, m'a paru toujours etre un pauvre, sire. Comme on s'amuse depuis deux ans a me donner des promis que je ne connais pas le plus souvent, la chronique matrimoniale de Moscou me fait comtesse Безухой. Mais vous sentez bien que je ne me souc nullement de le devenir. A propos de Marieiage, savez vous que tout derienierement la tante en general Анна Михайловна, m'a confie sous le sceau du plus grand secret un projet de Marieiage pour vous. Ce n'est ni plus, ni moins, que le fils du prince Basile, Anatole, qu'on voudrait ranger en le Marieiant a une personne riche et distinguee, et c'est sur vous qu'est tombe le choix des parents. Je ne sais comment vous envisagerez la chose, mais j'ai cru de mon devoir de vous en avertir. On le dit tres beau et tres mauvais sujet; c'est tout ce que j'ai pu savoir sur son compte.
«Mais assez de bavardage comme cela. Je finis mon second feuillet, et maman me fait chercher pour aller diner chez les Apraksines. Lisez le livre mystique que je vous envoie et qui fait fureur chez nous. Quoiqu'il y ait des choses dans ce livre difficiles a atteindre avec la faible conception humaine, c'est un livre admirable dont la lecture calme et eleve l'ame. Adieu. Mes respects a monsieur votre pere et mes compliments a m elle Bourienne. Je vous embrasse comme je vous aime. Julie».
«P.S.Donnez moi des nouvelles de votre frere et de sa charmante petite femme».
[Вся Москва только и говорит что о войне. Один из моих двух братьев уже за границей, другой с гвардией, которая выступает в поход к границе. Наш милый государь оставляет Петербург и, как предполагают, намерен сам подвергнуть свое драгоценное существование случайностям войны. Дай Бог, чтобы корсиканское чудовище, которое возмущает спокойствие Европы, было низвергнуто ангелом, которого Всемогущий в Своей благости поставил над нами повелителем. Не говоря уже о моих братьях, эта война лишила меня одного из отношений самых близких моему сердцу. Я говорю о молодом Николае Ростове; который, при своем энтузиазме, не мог переносить бездействия и оставил университет, чтобы поступить в армию. Признаюсь вам, милая Мари, что, несмотря на его чрезвычайную молодость, отъезд его в армию был для меня большим горем. В молодом человеке, о котором я говорила вам прошлым летом, столько благородства, истинной молодости, которую встречаешь так редко в наш век между двадцатилетними стариками! У него особенно так много откровенности и сердца. Он так чист и полон поэзии, что мои отношения к нему, при всей мимолетности своей, были одною из самых сладостных отрад моего бедного сердца, которое уже так много страдало. Я вам расскажу когда нибудь наше прощанье и всё, что говорилось при прощании. Всё это еще слишком свежо… Ах! милый друг, вы счастливы, что не знаете этих жгучих наслаждений, этих жгучих горестей. Вы счастливы, потому что последние обыкновенно сильнее первых. Я очень хорошо знаю, что граф Николай слишком молод для того, чтобы сделаться для меня чем нибудь кроме как другом. Но эта сладкая дружба, эти столь поэтические и столь чистые отношения были потребностью моего сердца. Но довольно об этом.
«Главная новость, занимающая всю Москву, – смерть старого графа Безухого и его наследство. Представьте себе, три княжны получили какую то малость, князь Василий ничего, а Пьер – наследник всего и, сверх того, признан законным сыном и потому графом Безухим и владельцем самого огромного состояния в России. Говорят, что князь Василий играл очень гадкую роль во всей этой истории, и что он уехал в Петербург очень сконфуженный. Признаюсь вам, я очень плохо понимаю все эти дела по духовным завещаниям; знаю только, что с тех пор как молодой человек, которого мы все знали под именем просто Пьера, сделался графом Безухим и владельцем одного из лучших состояний России, – я забавляюсь наблюдениями над переменой тона маменек, у которых есть дочери невесты, и самих барышень в отношении к этому господину, который (в скобках будь сказано) всегда казался мне очень ничтожным. Так как уже два года все забавляются тем, чтобы приискивать мне женихов, которых я большею частью не знаю, то брачная хроника Москвы делает меня графинею Безуховой. Но вы понимаете, что я нисколько этого не желаю. Кстати о браках. Знаете ли вы, что недавно всеобщая тетушка Анна Михайловна доверила мне, под величайшим секретом, замысел устроить ваше супружество. Это ни более ни менее как сын князя Василья, Анатоль, которого хотят пристроить, женив его на богатой и знатной девице, и на вас пал выбор родителей. Я не знаю, как вы посмотрите на это дело, но я сочла своим долгом предуведомить вас. Он, говорят, очень хорош и большой повеса. Вот всё, что я могла узнать о нем.
Но будет болтать. Кончаю мой второй листок, а маменька прислала за мной, чтобы ехать обедать к Апраксиным.
Прочитайте мистическую книгу, которую я вам посылаю; она имеет у нас огромный успех. Хотя в ней есть вещи, которые трудно понять слабому уму человеческому, но это превосходная книга; чтение ее успокоивает и возвышает душу. Прощайте. Мое почтение вашему батюшке и мои приветствия m lle Бурьен. Обнимаю вас от всего сердца. Юлия.
PS. Известите меня о вашем брате и о его прелестной жене.]
Княжна подумала, задумчиво улыбаясь (при чем лицо ее, освещенное ее лучистыми глазами, совершенно преобразилось), и, вдруг поднявшись, тяжело ступая, перешла к столу. Она достала бумагу, и рука ее быстро начала ходить по ней. Так писала она в ответ: